第7章 专题探究05 计数原理与排列组合的综合应用-【学霸黑白题】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册（苏教版）

专题探究05计数原理与排列组合的综合应用 课堂 题组已数字排列问题 两块展板相邻，且“清明”与“惊蛰”两块展板 1.(2024·广东东莞高二月考)从1,2,3,4,5,6 不相邻，则不同的放置方式有 () 六个数字中，选出一个奇数和两个偶数，组成 A.192种 B.240种 一个没有重复数字的三位数，这样的三位数 C.120种 D.288种 共有 ( 6.(2024·山东济宁高二期中)某中学元旦晚会 A.9个 B.24个 共由7个节目组成，演出顺序有如下要求：节 C.36个 D.54个 目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一 2.（2024·江苏常州高二期末)在100,101,102， 位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有 …,999这些数中，各位数字按严格递增（如 种.（用数字作答） “145”)或严格递减（如“321”）顺序排列的数 7.(2024·天津和平区高二期中)从A,B,C等 的个数是 7人中选5人排成一排.（用数字作答） A.120 B.204 (1)若A必须在内，有多少种排法？ C.168 D.216 (2)若A,B都在内，且A,B之间只有一人，有 3.用1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的六位 多少种排法？ 数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同， (3)若A,B,C都在内，且A,B必须相邻，C 且1和2相邻，则这样的六位数的个数为 与A,B都不相邻，有多少种排法？ A.20 B.40 C.60 D.80 题组三排队问题 4.(2024·浙江湖州高二月考)植树节这天，某 学校组织5名学生依次给树木浇水，其中甲 和乙是好朋友，必须相邻，丙不在第三位，则 不同的浇水顺序的种数为 A.30 B.36 C.40 D.42 题组目“至多”“至少”问题 5.（2024·陕西西安高二月考)2024年龙年春 8.（2024·重庆南开中学高二月考)现有12张 晚西安分会场的节目《山河诗长安》引起巨大 不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色卡片各 反响，让观众感受到了传统文化的魅力.我校 4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是 新学期开学以来为了弘扬我国二十四节气文 同一颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取 化，特制作出“立春”“惊蛰”“清明”“立夏” 法种数为 () “芒种”“小暑”六张知识展板分别放置在六 A.84 B.172 个并排的文化橱窗里，要求“立春”和“惊蛰” C.160 D.230 选择性必修第二册·SJ学霸054 9.(多选)(2024·陕西西安高二月考)某校环保 各安排1人，则有60种不同的方案 兴趣小组准备开展一次关于环境保护的研讨 D.若每项工作至少安排1人，每人均需参加 会，现有10名学生，其中5名男生、5名女生， 一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工 若从中选取4名学生参加研讨会，则( 作，则有126种不同的方案 A.选取的4名学生都是女生的不同选法共有 13.（2024·广东东莞高二月考)一组学生共有 5种 6人，其中3名男生和3名女生 B.选取的4名学生中恰有2名女生的不同选 (1)如果从中选出3人参加一项活动，共有 法共有400种 多少种选法？ C.选取的4名学生中至少有1名女生的不同 (2)如果从中选出4人分别参加数学、物理 选法共有420种 化学、生物学科竞赛，其中男生甲不能参 D.选取的4名学生中至多有2名男生的不同 加数学竞赛，女生乙不能参加物理竞赛， 选法共有155种 共有多少种选法？ 10.（2024·安徽马鞍山高二月考)小李同学准 (3)如果从中选出男生2人，女生2人，参加 备从4本讲义类图书与5本试卷类图书中 三项不同的活动，要求每人参加一项且 选3本购买，则讲义类图书与试卷类图书至 每项活动都有人参加的选法有多少种？ 少各选1本的选择方法种数为 题组四分组与分配问题 11.(2024·河南濮阳高二期末)2024年5月 15日是全国低碳日，5月13~19日是全国节 能宣传周.现有5位工作人员要到3个社区 进行节能宣传，要求每个社区至少派1位工 题组五涂色问题 作人员，且每位工作人员只去1个社区，则 14.(2024·辽宁省实验中学高二月考)如图所 不同的分派方法种数为 ( 示，将四棱锥S-ABCD的每一个顶点染上一 A.92 B.108 C.124 D.150 种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果 12.（多选)(2024·山东泰安高二月考)现安排 只有4种颜色可供使用，则不同的染色方法 甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“山东书城” 种数为 ( 暑期志愿者服务活动，有翻译、导购员、收银 A.120 B.96 C.72 D.48 员、仓库管理员四项工作可供选择，每人至 多从事一项工作，下列说法正确的是( A.若5人每人可任选一项工作，则有54种 E 不同的选法 (第14题) （第15题) B.若安排甲和乙分别从事翻译、收银工作， 15.（2024·江西赣州高二期中)提供6种不同 其余3人中任选2人分别从事导购、仓库 颜色的颜料给图中A,B,C,D,E,F六个区域 管理工作，则有12种不同的方案 涂色，要求相邻区域不能涂相同颜色，则不 C.若仓库管理工作必须安排2人，其余工作 同的涂色方法共有 种 第7章学霸0554.C解析：依题意每位同学均有5种选择，则四位同学一共有54种 方案，若小李看A电影，且4人中恰有两人看同一部电影，有两人 看A电影，则有C3A子种方案，有一人看A电影，则有CA好种方案， 即满足小李看A电影，且4人中恰有两人看同一部电影一共有 (CA促+C9)种方案，所以所求概率P=AG+c故 54 625 选C. 8 5.5解析：先把3个歌舞类节目全排列，中间形成2个空，从这 2个空中选一个位置安排一个语言类节目，然后将这4个节目捆绑 在一起，与剩余的3个语言类节目全排列，共有ACC4A4种情况， 又因为7个节目全排列有A号种情况，所以所求概率为A3CCA A3 分妆答案为号 6.解：(1)用0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数的个数是A5A= 5×5×4×3=300, 能被5整除的四位数有两种：个位数字是0的四位数有A?个，个 位数字是5的四位数有A4A子个， 因此能被5整除的四位数的总个数是A?+A1A2=5×4×3+4×4×3= 18,所以能被5整除的概率是P=108-9 300251 (2)组成的四位数偶数中，个位数字是0的有A?个，个位数字是2 或4的有A2A4A个，因此组成的四位数偶数的总个数是A+ AAA号=5x4x3+2x4x4x3=156,所以是偶数的概率P=156_13 300251 (3)千位大于百位大于十位大于个位的四位数有C哈=x5x4x3 4x3×2×1 15(个)，所以千位大于百位大于十位大于个位的概率P=5= 30020 7.解：(1)方法1：设事件A:“2名女生的摄影作品获得特等奖”，则 C33 P(A)= =0.3.因为事件A的对立事件A为“至少有1名男 C210 生的摄影作品获得特等奖”，则P(A)=1-P(A)=1-0.3=0.7,所以 至少有1名男生的摄影作品获得特等奖的概率为0.7.方法2：设事 件A:“恰有1名男生的摄影作品获得特等奖”，则P(A)-CC。 C 2×3 =0.6.设事件B:“有2名男生的摄影作品获得特等奖”，则 10 P(B) C21 C10=01.因为事件A与B为互斥事件，所以至少有 1名男生的摄影作品获得特等奖的概率为P(A+B)=P(A)+ P(B)=0.6+0.1=0.7. (2)设事件2：“5名同学依次进行创作陈述”，则n(2)=A=120 设事件C:“恰好有2名女生相邻进行创作陈述”，则n(C)= A3A2A3=6×2×6=72,所以决赛时，恰好有2名女生相邻进行创作 72 陈述的概率P(C)=120=0.6, (3)设事件D:“在2名男生都陈述结束时，还有(k=0,1,2,3)名 女生没有陈述”，则n(D)=C4kA号A号=(4-k)×2×6=12(4-k).由已 知，得2(4)=0.2，解得k=2,所以k的值为2 120 专题探究05计数原理与排列组合的综合应用 1.D解析：从1,2,3,4,5,6六个数字中，选出一个奇数和两个偶数， 共有C!C?=9(种)选法，所以组成一个没有重复数字的三位数，共 有9×A=54(个).故选D. 2.B解析：分两类，第一类不含数字“0”，从1到9的自然数中任意 取出3个，都可以得到严格递增或严格递减顺序排列的三位数，共 有2C=168(个)；第二类含有数字“0”，从1到9的自然数中任意 选择性必修第二册·SJ 取出2个，三个数只能排出严格递减顺序的三位数，共有C?= 36(个)，根据分类加法计数原理，所以共有168+36=204（个）.故 选B. 3.B解析：依题意分三步完成，第一步：将3,5排列，共有A号种排 法；第二步：将4,6插空排列，共有2A3种排法；第三步：将1,2放 到3,5,4,6形成的空中，共有Cg种排法.由分步乘法计数原理得共 有A号·2A号·Cg=40(种).故选B. 4.C解析：若丙在第一或第五位，则将甲、乙进行捆绑，内部可以全 排列，再将甲、乙看作一个整体，和剩余的两名学生进行全排列，故 不同的浇水顺序有2A子A=24(种)，若丙在第二位或第四位，则将 甲、乙进行捆绑，内部可以全排列，且甲、乙只能有两个位置可以选 择，再将剩余的两名同学进行排列，则不同的浇水顺序有2× 2A2A2=16(种)，则不同的浇水顺序共有24+16=40（种）.故选C. 5.A解析：依题意，只考虑“立春”和“惊蛰”时，利用捆绑法得到 有A2A=240(种)排法，当“立春”和“惊蛰”和“清明”均相邻时， 只有2种排法，即“惊蛰”在中间，“立春”“清明”分布两侧，此时再 用捆绑法，将三者捆在一起，即有2A4=48(种)排法，所以最终满 足题意的排法为240-48=192（种）.故选A. 6.2160解析：因为丙不能排在最后一位，所以编排方案共有 A6A=4320(种)，又因为甲、乙处于对称位置，即节目甲排在乙的 前面与节目乙排在甲的前面数量相等，所以该晚会节目演出顺序 的编排方案共有，2160（种）.放答案为2160 7.解：(1)根据题意，若A必须在内，则在其余6人中选出4人，再与A 全排列，共有C4A=1800(种)排法. (2)先选出一人，将A、此人、B看作一个整体进行捆绑，再与另外 两人一起排列，共有C!AC2A?=360(种)排法，所以一共有360种 排法。 (3)根据题意，先在其他4人中选出2人，有C?=6(种)选法，将A, B看成一个整体，与选出的2人全排列，有AA=12(种)选法，排 好后，有2个空位可用，在其中选出1个，安排C,有2种情况，所以 共有6×12×2=144（种）排法. 8.C解析：根据题意，不考虑限制，从12张卡片中任取3张，共有 C2种取法，如果取出的3张为同一种颜色，则有3C种情况，如果 取出的3张有2张红色卡片，则有CC8种情况，故所求的取法共 有C32-3C-CC8=160(种).故选C. 9.AD解析：选取的4名学生都是女生的不同选法共有C=5(种)， 故A正确：恰有2名女生的不同选法共有C?C号=100（种），故B错 误；至少有1名女生的不同选法共有C1。-C4=205(种)，故C错误； 选取的4名学生中至多有2名男生的不同选法共有CC+CC+ CC=155(种)，故D正确.故选AD. 10.70解析：讲义类图书与试卷类图书至少各选1本的选择方法种 数为CC+C1C2=30+40=70.故答案为70. 11.D解析：将5位工作人员分成三组，有两种类型，即1,1,3与1， 2,2,其中分成1,1,3三组的方法有C=10(种)，分成1,2,2三组 c 的方法有- =15(种)，一共有10+15=25（种）分组方法，将分 好的三组全排列有A=6(种)方法，则不同的分派方法有25×6= 150(种).故选D. 易错提醒 1.对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是 一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复 计数. 2.对于部分均分，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数， 即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m!,分组过程中有几个 这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数. 3.对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素 的个数都不相等，所以不需要除以全排列数 学霸40 12.CD解析：对于A,安排5人参加4项工作，若每人可任选一项工 作，每人有4种安排方式，则有45种安排方法，故A不正确：对于 B,安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，则有1种方案，其余3人 中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有A号=3×2=6（种） 方案，则共有1×6=6（种）方案，则B错误：对于C,若仓库管理工 作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有C2A?=60(种)不同 的方案，故C正确：对于D,①从剩下的三人中选一个人从事翻译 工作，则有C=3(种)方案，则甲、乙和三人中剩下的2人从事其 余的三个工作共有c3CC! ·A?=36(种)方案，则共有36×3= A好 108(种)方案.②从剩下的三人中选2个人从事翻译工作，则有 C?=3(种)方案，则甲、乙和三人中剩下的1人从事其余的三个工 作共有A=6(种)方案，则共有6×3=18（种）方案，所以若每项工 作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻 译工作，则有108+18=126（种）不同的方案，故D正确.故选CD. 13.解：(1)所有的不同选法种数，就是从6名学生中选出3人的组合 数，所以选法种数为C8=3x2× 6×5×4 =20. (2)从6人中任选4人分别参加数学、物理、化学、生物学科竞赛 的安排方法有A。种方法，其中男生甲被安排到参加数学竞赛的 安排方法有A?种，女生乙被安排到参加物理竞赛的安排方法 有A?种，男生甲参加数学竞赛且女生乙参加物理竞赛的安排方 法有A种，所以满足要求的安排方法有A。-2A+A子=252（种）. (3)从6名学生中选2名男生和2名女生的选法有CC号= 9(种)，将所选四人安排参加三项活动的安排方法有C?A= 36(种)方法，根据分步计数原理得共有9×36=324（种）选法. 14.C解析：由题意知，S与A,B,C,D任意一点均不同色.只用3种 颜色，即B,D同色，且A,C同色，此时不同染色方法的种数 为A=24:用4种颜色，此时可能B,D同色，而A,C不同色或A, C同色，而B,D不同色.若B,D同色，而A,C不同色，此时不同染 色方法的种数为A4=24;若A,C同色，而B,D不同色，此时不同 染色方法的种数为A4=24.根据分类加法计数原理可得，不同染 色方法的种数为24+24+24=72.故选C. 15.6120解析：假定涂色顺序为D-C-E-F-A-B, 若C,E涂相同颜色，则有6×5×1×4×4×3=1440（种）涂法；若C, E涂不同颜色，A,E涂相同颜色，则有6×5×4×3×1×4=1440（种） 涂法；若C,E涂不同颜色，A,E涂不同颜色，则有6×5×4×3×3× 3=3240(种)涂法；故由分类加法计数原理得不同的涂色方法共 有1440+1440+3240=6120（种）.故答案为6120. 第7章真题演练 1.D解析：根据分层抽样的定义知，初中部共抽取60x4O0 600 40(人)，商中部共抽取60x3测20（人），根搭分步柔法计数原理， 得不同的抽样结果共有C,·C0种.故选D. 2.D解析：依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，基 本事件一共有C?=6(件)，其中这2名学生来自不同年级的基本事 件有C以C=4(件)，所以这2名学生来自不同年级的概率为专 子放选D 3.C解析：首先确定相同的读物，共有C。种情况，然后确定两人各 自的另外一种读物，相当于在剩余的5种读物里选出两种进行排 列，共有A3种，根据分步乘法计数原理，得共有C6·A3=120(种). 故选C. 4.B解析：不妨记五名志愿者分别为a,b,c,d,e,假设a连续参加了 两天公益活动，再从剩余的4人中抽取2人分别参加星期六与星 期日的公益活动，共有A子=12（种）方法.同理，选b,c,d,e分别连续 参加两天公益活动时，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了 两天公益活动的选择种数有5×12=60（种）.故选B. 参考答案 重难点拨 排列组合问题虽然种类繁多，但只要能把握住最常见的原理和方 法，即“分步用乘、分类用加、有序排列、无序组合”，留心容易出错 的地方就能够以不变应万变，把排列组合学好. 5.C解析：解法一：画出树状图，如图， 丙 丙丁乙丁乙丙 丙丁甲丁甲丙 丁丙丁乙丙乙 丁丙丁甲丙甲 乙丁甲丁甲乙 乙丙甲丙甲乙 丁乙丁甲乙甲丙乙丙甲乙甲 由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人出场顺序共有24种，其中丙不是 第一个出场，且甲或乙最后出场的顺序共有8种，故所求概率P= 81 24-3 解法二：当甲最后出场，乙第一个出场，丙有2种排法，丁就1种 共2种：当甲最后出场，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就 1种，共2种：于是甲最后出场共4种排法，同理，乙最后出场共 4种排法，于是共8种排法符合题意：基本事件总数显然是A4= 24,根据古典概型的计算公式，丙不是第一个出场，甲或乙最后出 场的概率为丹了故选℃ 6.64解析：当从8门课中选修2门时，不同的选课方案共有C4C4= 4×4=16(种). 当从8门课中选修3门时 ①若选修1门体育类选修课，则不同的选课方案共有C4C=4×6= 24(种)； ②若选修2门体育类选修课，则不同的选课方案共有CC4=6×4= 24(种). 综上所述，不同的选课方案共有16+24+24=64（种）.故答案为64. 7.15 解析：从6个不同的球中不放回地抽取3次，共有A;= 120(种)，设前两个球的号码为a,b,第三个球的号码为c,则 a+b+c a+b 32 ≤2，故12c-(a+b)1≤3，故-3≤2c-(a+b)≤3，故 a+b-3≤2c≤a+b+3,若c=1,则a+b≤5，则(a,b)为(2,3)，(3,2)， 故有2种，若c=2,则1≤a+b≤7，则(a,b)为(1,3)，(1,4)，(1,5)， (1,6),(3,4),(3,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4,3),故有10种， 若c=3,则3≤a+b≤9，则(a,b)为(1,2)，(1,4)，（1,5)，(1,6)， (2,4),(2,5),(2,6),(4,5),(2,1),(4,1),(5,1),(6,1),(4, 2),(5,2),(6,2),(5,4),故有16种，若c=4,则5≤a+b≤11，同理 有16种，若c=5,则7≤a+b≤13，同理有10种，若c=6,则9≤a+ 6≤15，同理有2种，m与n的差的绝对值不大于号时不同的抽取 方法总数为2×(2+10+16)=56，故所求概率为56=7 1206故答案 为6 8.24112解析：由题意知，选4个方格，每行和每列均恰有一个方 格被选中，则第一列有4个方格可选，第二列有3个方格可选，第 三列有2个方格可选，第四列有1个方格可选，所以共有4×3×2× 1=24(种)选法；每种选法可标记为(a,b,c,d),a,b,c,d分别表示 学霸41