6.3.2 第1课时 向量方法研究平行关系 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（苏教版）

6.3.2 第1课时 向量方法研究平行关系 [课时跟踪检测] 1.在空间直角坐标系中,a=(1,2,1)为直线l的一个方向向量,n=(2,t,4)为平面α的一个法向量,且l∥α,则t= (　　) A.3 B.1 C.-3 D.-1 解析:选C　因为l∥α,所以a=(1,2,1)与n=(2,t,4)垂直,故a·n=(1,2,1)·(2,t,4)=2+2t+4=0,解得t=-3. 2.设u=(2,0,-1)是平面α的一个法向量,a=(1,0,2)是直线l的一个方向向量,则直线l与平面α的位置关系是 (　　) A.平行或直线在平面内 B.不能确定 C.相交但不垂直 D.垂直 解析:选A　因为u·a=2+0-2=0,所以u⊥a,所以直线l与平面α的位置关系是平行或直线在平面内. 3.已知A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3),则直线AB与CD的位置关系是 (　　) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.无法确定 解析:选A　因为=(-2,-2,2),=(1,1,-1),所以=-2,所以与平行.又四点不共线,所以直线AB与CD平行. 4.若平面α的一个法向量为u1=(-3,y,2),平面β的一个法向量为u2=(6,-2,z),且α∥β,则y+z的值是 (　　) A.-3 B.-4 C.3 D.4 解析:选A　∵α∥β,∴u1∥u2,故存在实数λ,使得u1=λu2,即(-3,y,2)=λ(6,-2,z),故解得∴y+z=1-4=-3. 5.[多选]在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E为AA1中点,若直线EF∥平面A1BC1,则点F的位置可能是 (　　) A.线段CC1中点 B.线段BC中点 C.线段CD中点 D.线段C1D1中点 解析:选ABD　如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,设CC1,BC,CD,C1D1的中点分别为M,N,P,Q, 不妨设棱长为2,则A1(2,0,2),B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,0,1),M(0,2,1),N(1,2,0),P(0,1,0),Q(0,1,2),=(0,2,-2),=(-2,2,0),设平面A1BC1的法向量n=(x,y,z),则令y=1,则n=(1,1,1),又=(-2,2,0),=(-1,2,-1),=(-2,1,-1),=(-2,1,1),则·n=-2×1+2×1=0,·n=-1×1+2×1-1×1=0,·n=-2×1+1×1-1×1=-2,·n=-2×1+1×1+1×1=0,又EM,EN,EQ⊄平面A1BC1,则EM,EN,EQ都平行于平面A1BC1,即若直线EF∥平面A1BC1,则点F的位置可能是线段CC1中点,线段BC中点或线段C1D1中点. 6.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点,点F在棱C1D1上,且=λ(0≤λ≤1),若B1F∥平面A1BE,则λ= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　如图所示,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为1,则B(1,0,0),E,D1(0,1,1),C1(1,1,1),A1(0,0,1),可得=(-1,0,1),=,设n=(x,y,z)是平面A1BE的法向量,则令z=2,则x=2,y=1,即n=(2,1,2).由=(1,0,0),且=λ,可得F(λ,1,1)(0≤λ≤1),又因为B1(1,0,1),则=(λ-1,1,0),由B1F∥平面A1BE,可得n·=2(λ-1)+1×1+0×2=0,解得λ=. 7.在棱长为2的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,点E,F分别是棱BC,CC1的中点,P是侧面BCC1B1内一点,若A1P平行于平面AEF,则线段A1P长度的最小值为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,A(2,0,0),E(1,2,0), F(0,2,1),A1(2,0,2),所以=(-1,2,0),=(-2,2,1),设平面AEF的法向量n=(x,y,z),则⇒取y=1,得n=(2,1,2),设P(a,2,c),0≤a≤2,0≤c≤2,则=(a-2,2,c-2),因为A1P平行于平面AEF,所以·n=2(a-2)+2+2(c-2)=0,整理得a+c=3,∴线段A1P长度||===,当且仅当a=c=时,线段A1P长度取最小值. 8.(5分)已知直线a,b的方向向量分别为m=(4,k,k-1)和n=,若a∥b,则k=　　　　.  解析:因为a∥b,所以m=λn,即(4,k,k-1)=λ,所以解得λ=-2,k=-2. 答案:-2 9.(5分)设平面α,β的一个法向量分别为u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),则α,β的位置关系为　　　　.  解析:因为u=(1,2,-2),v=(-3,-6,6),所以v=(-3,-6,6)=-3(1,2,-2)=-3u,所以v∥u,所以α∥β. 答案:平行 10.(5分)平面α经过点A(0,0,2)且一个法向量n=(1,-1,-1),则平面α与x轴的交点坐标是　　　　.  解析:设平面α与x轴的交点为B(m,0,0),因为平面α经过点A(0,0,2),所以AB⊂平面α.又=(m,0,-2),平面α的一个法向量n=(1,-1,-1),所以·n=0,即m×1+(-2)×(-1)=0,解得m=-2,故平面α与x轴的交点坐标是(-2,0,0). 答案:(-2,0,0) 11.(10分)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=,PA⊥底面ABCD,PA=2,点M为PA的中点,点N为BC的中点,AF⊥CD于F,如图建立空间直角坐标系.求出平面PCD的一个法向量并证明MN∥平面PCD. 证明:由题设知,在Rt△AFD中,AF=FD=,A(0,0,0),B(1,0,0),F,D,P(0,0,2),M(0,0,1),N. =,=, =. 设平面PCD的法向量为n=(x,y,z), 则⇒ 令z=,得n=(0,4,). 因为·n=·(0,4,)=0, 又MN⊄平面PCD,所以MN∥平面PCD. 12.(15分)如图,已知在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD,B1C的中点,利用向量法证明. (1)MN∥平面CC1D1D;(8分) (2)平面MNP∥平面CC1D1D.(7分) 证明:(1)以D为坐标原点,,,分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系, 设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),C(0,2,0), D(0,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1). 由正方体的性质,知AD⊥平面CC1D1D, 所以=(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量. 由于=(0,1,-1),则·=0×2+1×0+(-1)×0=0,所以⊥. 又MN⊄平面CC1D1D, 所以MN∥平面CC1D1D. (2)由(1)知=(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量,由于=(0,2,0),=(0,1,-1),则即=(2,0,0)也是平面MNP的一个法向量,所以平面MNP∥平面CC1D1D. 13.(15分)如图,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP=2,D是AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,使得PD⊥平面ABCD.试用向量法证明AP∥平面EFG. 证明:如图,以D为原点,以,,分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系, 则P(0,0,2),C(0,2,0),G(1,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1),A(2,0,0),=(-2,0,2),=(0,-1,0),=(1,1,-1). 设平面EFG的法向量为n=(x,y,z). ∴即 令x=1,则y=0,z=1,∴n=(1,0,1). ∵n·=1×(-2)+0×0+1×2=0,∴n⊥. 又AP⊄平面EFG,∴AP∥平面EFG. 14.(15分)如图,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥底面ABC,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,且AB⊥BC,O为AC的中点.在BC1上是否存在一点E,使得OE∥平面A1AB?若存在,确定点E的位置;若不存在,请说明理由. 解:连接OA1,因为AA1=A1C,且O为AC的中点,所以A1O⊥AC, 又平面AA1C1C⊥平面ABC,交线为AC,且A1O⊂平面AA1C1C,所以A1O⊥平面ABC.连接OB,由AB=BC,得OB⊥AC,以O为原点,OB,OC,OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系. 由题意可知,AA1=A1C=AC=2,AB=BC,AB⊥BC,所以OB=AC=1, 所以O(0,0,0),A(0,-1,0),A1(0,0,),C1(0,2,),B(1,0,0), 则=(0,1,),=(1,1,0). 设平面AA1B的法向量为n=(x,y,z), 则有即 令y=1,得x=-1,z=-, 所以n=. 设E(x0,y0,z0),=λ(0≤λ≤1),由=(-1,2,)得(x0-1,y0,z0)=λ(-1,2,), 所以所以E(1-λ,2λ,λ), 所以=(1-λ,2λ,λ). 由OE∥平面AA1B,得·n=0,即-1+λ+2λ-λ=0,解得λ=. 所以在BC1上存在点E使得OE∥平面A1AB,且E为BC1的中点. 学科网（北京）股份有限公司 $