6.2.1 空间向量基本定理 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（苏教版）

6.2.1　空间向量基本定理 [课时跟踪检测] 1.[多选]在空间四点O,A,B,C中,若{,,}是空间向量的一个基底,则下列说法正确的是 (　　) A.O,A,B,C四点不共线 B.O,A,B,C四点共面,但不共线 C.O,A,B,C四点不共面 D.O,A,B,C四点中任意三点不共线 解析:选ACD　A正确,若四点共线,则,,共面,构不成基底;B错误,C正确,若四点共面,则,,共面,构不成基底;D正确,若有三点共线,则这四点共面,,,构不成基底. 2.[多选]已知A,B,C,D,E是空间五点,且任何三点不共线.若{,,}与{,,}均不能构成空间的一个基底,则下列结论正确的是 (　　) A.{,,}不能构成空间的一个基底 B.{,,}不能构成空间的一个基底 C.{,,}不能构成空间的一个基底 D.{,,}能构成空间的一个基底 解析:选ABC　因为{,,}与{,,}均不能构成空间的一个基底,且A,B,C,D,E是空间五点,且任何三点不共线,所以空间五点A,B,C,D,E共面,所以这五点A,B,C,D,E中,任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底,所以A、B、C正确,D错误. 3.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意一点,设=a,=b,=c,则向量可用a,b,c表示为 (　　) A.a-b+2c B.a-b-2c C.-a+b+c D.a-b+c 解析:选D　=+=+=+(-)=a-b+c. 4.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点,若AB=a,则MN的长为 (　　) A.a 　　　　B.a C.a 　　　　D.a 解析:选A　设=i,=j,=k,=++=i+j+(-j+k)=i+j+k,故||2=a2+a2+a2=a2,所以MN=a. 5.已知空间四边形OABC,其对角线为OB,AC,M,N分别是边CB,OA的中点,点G在线段MN上,且使NG=2GM,用向量,,正确表示向量的是 (　　) A.=++ B.=++ C.=++ D.=++ 解析:选C　根据题意可得=+,由NG=2GM可得=,所以=+=+(+)=+×(+)=×+(+)=++. 6.如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别在棱BB1和DD1上,且DF=DD1,记=x+y+z,若x+y+z=,则等于 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　设=λ,因为=+++=-λ-++=-λ-++=-++,所以x=-1,y=1,z=-λ. 因为x+y+z=-λ=,所以λ=. 7.在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1=AB=AC=BC=1,M是B1C1的中点,则AM= (　　) A. B. C. D. 解析:选C　如图,=++=++(-)=++,故||2==||2+||2+||2+·+·+·,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,易知AA1⊥AC,AA1⊥AB,在△ABC中,由AB=AC=BC,则∠BAC=60°,由AA1=AB=AC=1,则=+1++×1×1×=,则AM=. 8.[多选]如图,已知AO⊥平面OBC,∠BOC=,OA=OB=2,OC=3,E为AB的中点,=3,则以下正确的是 (　　) A.OF= B.EF= C.AB与OC所成角的余弦值为 D.OE与OF所成角的余弦值为 解析:选ABC　因为AO⊥平面OBC,OB,OC⊂平面OBC,所以OA⊥OB,OA⊥OC,所以·=0,·=0,·=||·||cos=-3,在△OAC中,=+=+(-)=+,所以||====,所以A正确;在△OEF中,=-=+-(+)=-+ ,||2==++-·+·-·=+1+1+1=,故||=,所以B正确;因为=-,·=(-)·=·-·=-3,||==2,cos<,>===-,所以AB与OC所成角的余弦值为,所以C正确;由以上知OF=,EF=,且OE=AB=,在△OEF中,由余弦定理得cos∠EOF==,所以D错误. 9.(5分)已知{a,b,c}是空间的一个基底,向量p=3a+b+c,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,向量p=x(a+b)+y(a-b)+c,则x+y=　　　　.  解析:∵p=x(a+b)+y(a-b)+c=(x+y)a+(x-y)b+c,且p=3a+b+c,∴x+y=3. 答案:3 10.(5分)在空间中平移△ABC到△A1B1C1(使△A1B1C1与△ABC不共面),连接对应顶点.设=a,=b,=c,M是BC1的中点,N是B1C1的中点,用基底{a,b,c}表示向量+的结果为　　　　.  解析:如图,+=(+)+(+)=++=b+(a+b)+(a+c)=a+b+c. 答案:a+b+c 11.(5分)在正四面体P⁃ABC中,M是PA上的点,且PM=2MA,N是BC的中点,若=x+y+z,则x+y+z的值为　　　　.  解析:如图所示,连接PN,=+=-+(+)=-++, ∴x=-,y=,z=. ∴x+y+z=. 答案: 12.(5分)如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=2,AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点.则AM与PM所成的角为　　　　.  解析:=+,=-=+---=+---=--,故·=·=-·-·+·--·=×4-×8=0,即⊥,则AM与PM所成的角为90°. 答案:90° 13.(10分)如图,已知ABCD⁃A1B1C1D1是平行六面体. (1)化简++;(4分) (2)设M是底面ABCD的中心,N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点,设=α+β+γ,试求α,β,γ的值.(6分) 解:(1)∵ABCD⁃A1B1C1D1是平行六面体, ∴++=++=. (2)∵=+=+=(-)+(+)=++,又=α+β+γ,∴α=,β=,γ=. 14.(15分)如图,已知空间四边形ABCD各边的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点. (1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;(7分) (2)求MN的长.(8分) 解:(1)证明:设=p,=q,=r. 由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量两两夹角均为60°. ∵=-=(+)-=(q+r-p),∴·=(q+r-p)·p=(q·p+r·p-p2)=(a2cos 60°+a2cos 60°-a2)=0,∴MN⊥AB, 同理可证MN⊥CD. (2)由(1)可知=(q+r-p). ∴||2=(q+r-p)2=[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)]==×2a2=. ∴||=a,∴MN的长为a. 15.(15分)如图,在平行六面体ABCD⁃A'B'C'D'中,E,F,G分别是A'D',DD',D'C'的中点,请选择恰当的基向量证明: (1)EG∥AC;(5分) (2)平面EFG∥平面AB'C.(10分) 证明:取基底{,,}. (1)因为=+=+, =+=2,所以∥, 又EG,AC无公共点,所以EG∥AC. (2)因为=+=+,=+=2, 所以∥,又FG,AB'无公共点, 所以FG∥AB'. 又FG⊄平面AB'C,AB'⊂平面AB'C, 所以FG∥平面AB'C. 又由(1)知EG∥AC,由EG⊄平面AB'C,AC⊂平面AB'C,可得EG∥平面AB'C, 又FG∩EG=G,FG,EG⊂平面EFG, 所以平面EFG∥平面AB'C. 学科网（北京）股份有限公司 $