7.2 第3课时 排列、排列数的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（苏教版）

第3课时　排列、排列数的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] [课时目标] 进一步学习排列数及排列数公式,掌握几种有限制条件的排列,能应用排列数公式解决简单的实际问题. 题型(一)　特殊元素或特殊位置问题 [例1]　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列,求解下列问题. (1)甲不在首位的排法有多少种? (2)甲既不在首位也不在末位的排法有多少种? 解:(1)法一　把元素作为研究对象. 第一类,不含甲,此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名排在5个位置上,有种排法;第二类,含有甲,甲不在首位,先从除首位以外的其他4个位置中选出1个排甲,再从甲以外的6名同学中选出4名排在另外4个位置上,有种排法.根据分步计数原理,有4×种排法.由分类计数原理知,共有+4×=2 160(种)排法. 法二　把位置作为研究对象. 第一步,从甲以外的6名同学中选1名排在首位,有种排法;第二步,从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上,有种排法.由分步计数原理知,共有=2 160(种)排法. 法三　(间接法)先不考虑限制条件,从7人中选出5人进行排列,然后把不满足条件的排列去掉. 不考虑甲不在首位的要求,总的可能情况有种,甲在首位的情况有种,所以符合要求的排法有-=2 160(种). (2)把位置作为研究对象. 第一步,从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上,有种排法;第二步,从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上,有种排法.根据分步计数原理,共有=1 800(种)排法. [变式拓展] 1.本例条件不变,甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种? 解:把位置作为研究对象. 第一步,从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置,有种排法;第二步,从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上,有种排法.根据分步计数原理,共有=1 200(种)排法. 2.本例条件不变,甲不在首位,同时乙不在末位的排法有多少种? 解:间接法.总的可能情况有种,减去甲在首位的种排法,再减去乙在末位的种排法,注意到甲在首位,同时乙在末位的排法数被减去了两次,所以还需补回一次种排法,所以共有-2+=1 860(种)排法. |思|维|建|模|　特殊元素、特殊位置问题的解题思路 直接法 元素分析法 以元素为主,优先考虑特殊元素 位置分析法 以位置为主,优先考虑特殊位置 间接法 若解题时分类太多,用直接法求解较为麻烦,往往采用间接法 [针对训练] 1.从六人(含甲)中选四人完成四项不同的工作(含翻译),则甲被选中且甲不参加翻译工作的不同选法共有 (　　) A.120种 B.150种 C.180种 D.210种 解析:选C　依题意可得,甲需从除翻译外的其他三项工作中任选一项,有3种选法,再从其余五人中选三人参加剩下的三项工作,有=60种选法,所以满足条件的不同选法共有3=180种. 2.某班一天上午有4节课,下午有2节课,现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、美术6堂课的课程表,要求数学课不排在下午,体育课不排在上午第1节,则不同的排法总数是　　　　.(用数字作答)  解析:①若数学在第一节,则有=120种排法; ②若数学不在第一节,则数学有种排法,再排体育有种排法,最后将其余四个科目全排列有种排法,按照分步计数原理可得有=288种排法.综上,一共有120+288=408种排法. 答案:408 题型(二)　元素“相邻”与“不相邻”问题 [例2]　现有4名男生和3名女生相约一起去看电影, 他们的座位在同一排且连在一起.(列出算式,并计算出结果) (1)女生必须坐在一起的坐法有多少种? (2)女生互不相邻的坐法有多少种? (3)甲、乙两位同学相邻且都不与丙同学相邻的坐法有多少种? 解:(1)根据题意,先将3个女生排在一起,有=6种排法,将排好的女生视为一个整体,与4个男生进行排列,共有=120种排法,由分步计数原理知,共有6×120=720种排法. (2)根据题意,先将4个男生排好,有=24种排法,再在这4个男生之间及两头的5个空位中插入3个女生有=60种方法,故符合条件的排法共有24×60=1 440种. (3)根据题意,先排甲、乙、丙以外的其他4人,有=24种排法,由于甲、乙相邻,故再把甲、乙排好,有=2种排法,最后把排好的甲、乙这个整体与丙分别插入原先排好的4人的5个空位中有=20种排法,故符合条件的排法共有24×2×20=960种. |思|维|建|模| 　　处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体,后局部”的原则.元素相邻问题,一般用“捆绑法”,先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列,然后再松绑,将这若干个元素内部全排列.元素不相邻问题,一般用“插空法”,先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列,然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素. [针对训练] 3.某博物馆新增包括A,B在内的8件文物,其中5件是清朝的,3件是唐朝的,且A,B都是清朝的.现将这些文物摆成一排,要求A,B必须相邻,但唐朝的文物不得相邻,则所有不同的摆法种数为 (　　) A.1 440 B.2 160 C.2 880 D.3 050 解析:选C　先排列5件清朝的,由于A,B必须相邻,用捆绑法得排列数有=48;由于唐朝的3件文物不得相邻,用插空法得排列数有=60;由分步计数原理得所有不同的摆法种数为48×60=2 880. 4.为积极落实“双减”政策,丰富学生的课外活动,某校开设了陶艺、剪纸、插花等5门课程.分别安排在周一到周五,每天一节,其中陶艺课不排在周一,剪纸和插花课相邻的课程安排方案种数为 (　　) A.18 B.24 C.36 D.42 解析:选C　剪纸和插花课相邻的安排方法有=48种,剪纸和插花课相邻且陶艺课排在周一的安排方法有=12种,故陶艺课不排在周一,剪纸和插花课相邻的课程安排方法种数为48-12=36. 题型(三)　定序问题 [例3]　将A,B,C,D,E这5个字母排成一列,要求A,B,C在排列中的顺序为“A,B,C”或“C,B,A”(可以不相邻),则有多少种不同的排列方法? 解:5个不同元素中部分元素A,B,C的排列顺序已定,这种问题有以下两种常用的解法. 法一:整体法　5个元素无约束条件的全排列有种,由于字母A,B,C的排列顺序为“A,B,C”或“C,B,A”,因此在上述的全排列中恰好符合“A,B,C”或“C,B,A”排列方式的排列有×2=40(种). 法二:插空法　若字母A,B,C的排列顺序为“A,B,C”,将字母D,E插入形成的4个空中,分两类: 第一类,若字母D,E相邻,则有种排法; 第二类,若字母D,E不相邻,则有种排法. 所以有+=20(种)不同的排列方法. 同理,若字母A,B,C的排列顺序为“C,B,A”,也有20种不同的排列方法. 因此满足条件的排列有20+20=40(种). |思|维|建|模| 　　在有些排列问题中,某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻).解决这类问题的基本方法有两个: (1)整体法:若有(m+n)个元素排成一列,其中m个元素之间的先后顺序确定不变,将这(m+n)个元素排成一列,有种不同的排法;然后任取一个排列,固定其他n个元素的位置不动,把这m个元素交换顺序,有种排法,其中只有一个排列是我们需要的,因此共有种满足条件的不同排法. (2)插空法:m个元素之间的先后顺序确定不变,因此先排这m个元素,只有一种排法,然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中. [针对训练] 5.某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相. (1)其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场,出场顺序有多少种? (2)3位老者与2位年轻人都要分别按从大到小的顺序出场,出场顺序有多少种? 解:(1)5位嘉宾无约束条件的全排列有种,由于3位老者的排列顺序已定,因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场,出场顺序有=20(种). (2)5位嘉宾无约束条件的全排列有种,由于3位老者的排列顺序已定,2位年轻人的排列顺序已定,所以出场顺序有=10(种). 学科网（北京）股份有限公司 $