6.3.4 第2课时 空间向量在度量关系中的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（苏教版）

第2课时　空间向量在度量关系中的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 题型(一)　空间距离与空间角的综合 [例1]　如图,四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD为矩形,侧面PAD为正三角形,AD=2,AB=3,平面PAD⊥平面ABCD,E为棱PB上一点(不与P,B重合),平面ADE交棱PC于点F. (1)求证:AD∥EF; (2)若二面角E⁃AC⁃B的余弦值为,求点B到平面AEC的距离. 解:(1)证明:因为四边形ABCD为矩形,所以AD∥BC.又AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC, 所以AD∥平面PBC.又平面PBC∩平面AEFD=EF,AD在平面AEFD内,所以AD∥EF. (2)取AD的中点O,连接PO,取BC的中点G,连接OG,则OG⊥AD.因为侧面PAD为正三角形,所以PO⊥AD. 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PO⊂平面PAD, 所以PO⊥平面ABCD.又OG⊂平面ABCD,所以PO⊥OG,所以PO,AD,OG两两垂直.以O为原点,OA,OG,OP所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 因为AD=2,且侧面PAD为正三角形,所以PO=,又AB=3, 所以A(1,0,0),B(1,3,0),C(-1,3,0),P(0,0,),=(0,3,0). 设=t,显然t∈(0,1),所以=(1,3,-),=(-1,0,),=(-2,3,0), =+=+t=(-1,0,)+t(1,3,-)=(t-1,3t,-t). 设平面AEC的法向量为m=(x,y,z), 则 取x=3,则y=2,z=, 则m=.取平面BAC的一个法向量为n=(0,0,1), 则|cos <m,n>|===,得(3t-1)2=9(t-1)2,解得t=. 所以m=(3,2,-3).又=(0,3,0), 所以点B到平面AEC的距离为 ==. |思|维|建|模| 　　解决此类问题的关键是准确求出各点的坐标,利用公式求出所需点的坐标,注意夹角的范围. [针对训练] 1.如图,四边形ABCD是圆柱OE的轴截面,点F在底面圆O上,圆O的半径为1,AF=,点G是线段BF的中点. (1)证明:EG∥平面DAF; (2)若直线DF与圆柱底面所成的角为45°,求点G到平面DEF的距离. 解:(1)证明:取AF的中点M,连接DM,GM,如图(1)所示, G为BF的中点,则GM∥AB,又AB∥DE,所以GM∥DE, 由GM=AB,DE=AB,得GM=DE, 所以四边形DEGM为平行四边形,DM∥EG. 又DM⊂平面DAF,EG⊄平面DAF,所以EG∥平面DAF. (2)因为OB=1,AF=,∠AFB=90°,所以BF= ==1. 因为DA⊥平面ABF,且直线DF与圆柱底面所成的角为45°, 所以∠AFD=45°,则AD=. 如图(2),以F为原点,FB,FA分别为x,y轴,过F垂直于底面的直线FN为z轴,建立空间直角坐标系, 则有F(0,0,0),A(0,,0),B(1,0,0),G,D(0,,),C(1,0,),E,=(0,, ),=, 设平面DEF的法向量n=(x,y,z), 则令y=1,则x=,z=-1,得n=(,1,-1),=,设点G到平面DEF的距离为d,∴d===. 故点G到平面DEF的距离为. 题型(二)　已知空间角求其他量 [例2]　如图,在四棱锥S⁃ABCD中,∠ADC=∠BCD=90°,SA=SD=SB,点E为线段AD的中点,且AD=SE=2BC=2CD. (1)求证:SE⊥AC; (2)已知点F为线段SE的中点,点G在线段BC上(不含端点位置),若直线FG与平面SAB所成角的正切值为,求的值. 解:(1)证明:连接EB,由∠ADC=∠BCD=90°,得AD∥BC, 因为AD=2BC=2CD,所以DE=BC=CD, 则四边形DEBC为正方形,所以DA⊥EB. 因为SA=SD,所以SE⊥AD. 设SA=SB=SD=a,AD=SE=2BC=2CD=2b, 在Rt△SAE中,SA2=SE2+AE2, 即a2=4b2+b2=5b2, 在△SEB中,SE=2b,EB=b,SB=a, 有SB2=SE2+EB2, 所以△SEB是直角三角形,所以SE⊥EB. 由AD∩EB=E,AD,EB⊂平面ABCD,得SE⊥平面ABCD.又AC⊂平面ABCD,所以SE⊥AC. (2)由(1)知,以点E为原点,以EA,EB,ES所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 设=λ(0<λ<1),则F(0,0,b),B(0,b,0),C(-b,b,0),S(0,0,2b),A(b,0,0), 所以=+=+λ=(-bλ,b,-b), =(b,0,-2b),=(0,b,-2b). 设平面SAB的法向量为n=(x,y,z), 则令x=2b,得z=b,y=2b,所以n=(2b,2b,b). 设直线FG与平面SAB所成的角为θ(0°<θ<90°),则tan θ=,即cos θ=sin θ, 又sin2θ+cos2θ=1,所以sin θ=, 所以sin θ=|cos<,n>| ===, 由0<λ<1,解得λ=,即=. |思|维|建|模| 　　解决此类问题应注意所设的变量的范围,避免增解. [针对训练] 2.(2023·新课标Ⅰ卷)如图,在正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.点A2,B2,C2,D2分别在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3. (1)证明:B2C2∥A2D2; (2)点P在棱BB1上,当二面角P⁃A2C2⁃D2为150°时,求B2P. 解:(1)证明:以点C为坐标原点,CD,CB,CC1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则B2(0,2,2),C2(0,0,3),A2(2,2,1),D2(2,0,2), 所以=(0,-2,1),=(0,-2,1), 所以=,所以B2C2∥A2D2. (2)设BP=m(0≤m≤4),则P(0,2,m), 所以=(2,0,1-m),=(0,-2,3-m), 设平面PA2C2的法向量为n1=(x1,y1,z1), 所以则 令x1=m-1,得n1=(m-1,3-m,2). 设平面A2C2D2的法向量为n2=(x2,y2,z2), 由(1)知,=(-2,-2,2),=(0,-2,1), 所以则 令y2=1,得n2=(1,1,2). 所以|cos 150°|=|cos<n1,n2>|==, 整理得m2-4m+3=0, 解得m=1或m=3, 所以P(0,2,1)或P(0,2,3), 所以B2P=1. 题型(三)　与空间角有关的最值、范围问题 [例3]　如图,在四棱锥P⁃ABCD中,PA⊥AD,AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,E,F分别为PC,CD的中点,DE=EC. (1)求证:平面ABE⊥平面BEF; (2)设PA=a(a>0),若平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈,求a的取值范围. 解:(1)证明:∵AB∥CD,CD⊥AD,AD=CD=2AB=2,F为CD的中点,∴四边形ABFD为矩形,AB⊥BF.又∵DE=EC,F是CD中点, ∴CD⊥EF.∵AB∥CD,∴AB⊥EF. ∵BF∩EF=F,BF,EF⊂平面BEF, ∴AB⊥平面BEF. 又AB⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面BEF. (2)由(1)知DC⊥EF,又PD∥EF,AB∥CD,∴AB⊥PD.又AB⊥AD,PD∩AD=D,PD,AD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD,PA⊂平面PAD,∴AB⊥PA.如图,以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴,AP所在直线为z轴,建立空间直角坐标系, 则B(1,0,0),D(0,2,0),P(0,0,a),C(2,2,0),E,∴=(-1,2,0),=, 易知平面ABCD的一个法向量n1=(0,0,1), 设平面EBD的法向量为n2=(x,y,z), 则即取y=1,得x=2,z=-,则n2=, ∴cos θ=|cos<n1,n2>|===. ∵平面EBD与平面ABCD所成锐二面角θ∈,∴cos θ∈,即∈, 由≥,得-≤a≤, 由≤,得a≤-或a≥, ∴a的取值范围是. |思|维|建|模| 　　空间向量法求最值也是要求出目标函数,但是需要先依据题意建立空间直角坐标系,注意建系时使坐标易于求解或表达,然后求目标函数的表达式. [针对训练] 3.如图,四棱锥P⁃ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l. (1)求证:l⊥平面PDC; (2)已知PD=AD=2,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值. 解:(1)证明:在平面PAD内过点P作直线l∥AD,由AD∥BC,得l∥BC, 即l为平面PAD和平面PBC的交线, 因为PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD, 所以PD⊥BC. 又BC⊥CD,CD∩PD=D,PD,CD⊂平面PDC,于是BC⊥平面PDC,所以l⊥平面PDC. (2)显然直线DA,DC,DP两两垂直,以D为原点,直线DA,DC,DP分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,2,0),A(2,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0), 设Q(m,0,2)(m>0),=(m,0,2),=(2,2,-2),=(0,2,0). 设平面QCD的法向量为n=(a,b,c), 则 令a=-2,得n=(-2,0,m), 令PB与平面QCD所成的角为θ, 则sin θ=|cos<n,>| === =·=·≤·=,当且仅当m=2时取等号,PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值为. 学科网（北京）股份有限公司 $