6.3.2 第2课时 向量方法研究垂直关系-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（苏教版）

第2课时　向量方法研究垂直关系 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系. 2.能用向量法判断或证明直线、平面间的垂直关系. 1.空间中垂直关系的向量表示 位置关系 向量表示 线线垂直 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2=0 线面垂直 设直线l的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R,使得u=λn 面面垂直 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2=0 2.三垂线定理 (1)三垂线定理 若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直,则它也和这条斜线垂直. (2)三垂线定理的逆定理 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直. |微|点|助|解| (1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量相互垂直. (2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量相互垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0. (3)若证明线面垂直,即证明直线的方向向量与平面的法向量平行. (4)若证明面面垂直,则证明两平面的法向量垂直. (5)利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径: ①利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直; ②直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得面面垂直. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两直线的方向向量垂直,则两直线垂直. (　　) (2)若一条直线的方向向量与平面的法向量垂直,则该直线与平面垂直. (　　) (3)若两平面垂直,则这两个平面的法向量所成的角一定是90°. (　　) (4)若直线l是平面α外的一条直线,直线m垂直于直线l在平面α内的投影,则l与m垂直. (　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)× 2.在空间直角坐标系中,直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,1,-3),b=(2,2,2),则 (　　) A.l1⊥l2 B.l1∥l2 C.l1与l2异面 D.l1与l2相交 解析:选A　由a·b=(2,1,-3)·(2,2,2)=4+2-6=0,故a⊥b,所以l1⊥l2. 3.已知平面α的一个法向量为a=(1,2,-2),平面β的一个法向量为b=(-2,-4,k),若α⊥β,则k= (　　) A.4 B.-4 C.5 D.-5 解析:选D　∵α⊥β,∴a⊥b,∴a·b=-2-8-2k=0,解得k=-5. 4.已知直线l的一个方向向量为m=(x,-1,2),平面α的一个法向量为n=(1,2,-4),若直线l与平面α垂直,则实数x的值为 (　　) A.- B.-10 C. D.10 解析:选A　由题意得m=λn,则(x,-1,2)=λ(1,2,-4),即x=λ,-1=2λ,2=-4λ,解得x=λ=-. 题型(一)　证明直线与直线垂直 [例1]　如图,在四棱锥P⁃ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AB=1,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.求证:无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF. 证明:法一:坐标法　以A为原点,AD,AB,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,设AD=a, 则A(0,0,0),P(0,0,1),B(0,1,0),C(a,1,0),于是F. ∵E在BC上,∴设E(m,1,0), ∴=(m,1,-1),=. ∵·=0,∴PE⊥AF. ∴无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF. 法二:基向量法　∵点E在边BC上,可设=λ,∴·=(++)·(+)=(++λ)·(+)=(·+·+·+·+λ·+λ·)=(0-1+1+0+0+0)=0, 因此⊥. 故无论点E在边BC上的何处,都有PE⊥AF. |思|维|建|模| 向量法证明线线垂直的思路方法 　　用向量法证明空间中两条直线l1,l2相互垂直,其主要思路是证明两条直线的方向向量a,b相互垂直,只需证明a·b=0即可,具体方法有以下两种: 坐标法 用坐标表示出两条直线的方向向量,计算出两向量的数量积为0 基向量法 将要证明的两条直线的方向向量用基向量表示出来,计算出两向量的数量积为0 　 [针对训练] 1.如图,在直四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,AD∥BC,∠BAD=90°,AB=,BC=1,AD=AA1=3.求证:AC⊥B1D. 证明:因为在直四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1中,AA1⊥平面ABCD,又AB,AD⊂平面ABCD,所以AA1⊥AB,AA1⊥AD. 又因为∠BAD=90°,所以AB⊥AD,即AA1,AB,AD两两垂直,故以,,分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,则A(0,0,0),C(,1,0),B1(,0,3),D(0,3,0), 所以=(,1,0),=(-,3,-3), 所以·=-3+3+0=0,所以AC⊥B1D. 题型(二)　证明直线与平面垂直 [例2]　如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,点E,F分别为线段AB,A1A的中点,A1A=AC=BC,∠ACB=90°.求证:EF⊥平面B1CE. 证明:由直三棱柱ABC⁃A1B1C1可知CC1⊥平面ABC,因为CA,CB⊂平面ABC,所以CC1⊥CA,CC1⊥CB,又因为CA⊥CB. 所以以{,,}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系, 设A1A=AC=BC=2,则C(0,0,0),B1(0,2,2),E(1,1,0),F(2,0,1), 所以=(1,-1,1),=(0,2,2),=(-1,1,2), 设平面B1CE的法向量为n=(x,y,z), 则 令z=-1,则y=1,x=-1,即n=(-1,1,-1), 所以=-n,即∥n, 所以EF⊥平面B1CE. |思|维|建|模| 用向量法证明线面垂直的两种思路 (1)证明直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量垂直. (2)证明直线的方向向量与平面的法向量平行. [针对训练] 2.如图,在棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,求证:A1C⊥平面BDC1. 证明:以点C为原点,分别以,,为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示,则A1(1,1,1),C(0,0,0),B(0,1,0),D(1,0,0),C1(0,0,1), 所以=(-1,-1,-1),=(1,-1,0),=(0,-1,1),有·=-1+1+0=0且·=0+1-1=0,所以A1C⊥BD且A1C⊥BC1.又BD∩BC1=B,BD,BC1⊂平面BDC1, 所以A1C⊥平面BDC1. 题型(三)　证明平面与平面垂直 [例3]　在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,如图,E,F分别是BB1,CD的中点.求证:平面AD1F⊥平面ADE. 证明:设棱长为2,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),E(2,2,1),F(0,1,0),D1(0,0,2),所以=(2,0,0),=(2,2,1),=(-2,0,2),=(-2,1,0),设平面ADE的法向量n=(x,y,z), 则 取y=1,得n=(0,1,-2).设平面AD1F的法向量m=(a,b,c),则取a=1,得m=(1,2,1),所以n·m=0+2-2=0,所以n⊥m,即平面AD1F⊥平面ADE. |思|维|建|模| 向量法证明面面垂直的两种思路 (1)证明两个平面的法向量垂直. (2)根据面面垂直的判定定理,证明一个平面内的向量垂直于另一个平面. [针对训练] 3.如图,△ABC是一个正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD.求证:平面DEA⊥平面ECA. 证明:建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设CA=2,则CE=2,BD=1, 则C(0,0,0),A(,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1),所以=(,1,-2),=(0,0,2),=(0,2,-1),设平面ECA的法向量n1=(x1,y1,z1), 则 取x1=1,则y1=-,z1=0,即n1=(1,-,0). 设平面DEA的法向量n2=(x2,y2,z2), 则取x2=, 则y2=1,z2=2,即n2=(,1,2), 因为n1·n2=1×+(-)×1+0×2=0, 所以n1⊥n2,所以平面DEA⊥平面ECA. 学科网（北京）股份有限公司 $