6.3.2 第1课时 向量方法研究平行关系-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（苏教版）

6.3.2　空间线面关系的判定 　　　第1课时　向量方法研究平行关系 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系. 2.能用向量法判断或证明直线、平面间的平行关系. 　　空间中平行关系的向量表示 位置关系 向量表示 线线平行 设直线l1,l2的方向向量分别为u1,u2,则l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R,使得u1=λu2 线面平行 设直线l的方向向量为u,n是平面α的法向量,l⊄α,则l∥α⇔u⊥n⇔u·n=0 面面平行 设平面α,β的法向量分别为n1,n2,则α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R,使得n1=λn2 |微|点|助|解| 　　用向量刻画空间中直线、平面的平行关系的注意点 (1)线线平行包括线线重合,线面平行包括线在面内,面面平行包括面面重合. (2)直线的方向向量与平面的法向量都不是唯一的,所以运用时应以运算简便为标准. (3)线线平行、面面平行中向量仍平行,但线面平行中向量变为垂直.可简记为“同类同性,异类相反”. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若平面外的一条直线的方向向量与该平面的法向量平行,则这条直线与这个平面平行. (　　) (2)两直线的方向向量垂直,则两条直线垂直. (　　) (3)直线的方向向量与平面的法向量的方向相同或相反时,直线与平面垂直. (　　) (4)两个(不重合)平面的法向量平行,则这两个平面平行,两个平面的法向量垂直,则这两个平面垂直. (　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 2.[多选]若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则能使l∥α的是 (　　) A.a=(1,0,0),n=(0,-2,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 解析:选AD　若l∥α,则a·n=0.A中a·n=0,B中a·n=1+5=6,C中a·n=-1,D中a·n=-3+3=0. 题型(一)　证明直线与直线平行 [例1]　如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=3,AD=4,AA1=2,点M在棱BB1上,且BM=2MB1,点S在棱DD1上,且SD1=2SD,点N,R分别为棱A1D1,BC的中点.求证:MN∥RS. 证明:法一　如图所示,建立空间直角坐标系, 根据题意得M,N(0,2,2),R(3,2,0),S. 则,分别为MN,RS的方向向量,又=,=,所以=,所以∥,因为M∉RS,所以MN∥RS. 法二　设=a,=b,=c,则=++=c-a+b,=++=b-a+c.所以=,所以∥.又R∉MN,所以MN∥RS. 　　|思|维|建|模|　证明线线平行的两种方法 基向 量法 用基向量表示出要证明的两条直线的方向向量,通过向量的线性运算,利用向量共线的充要条件证明 坐标法 建立空间直角坐标系,通过坐标运算,利用向量平行的坐标表示 [针对训练] 1.如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD为矩形,PD⊥平面ABCD,E为CP的中点,N为DE的中点,点M在DB上,且DM=DB,DA=DP=1,CD=2. 求证:MN∥AP. 证明:法一:坐标法　由题意知,直线DA,DC,DP两两垂直.如图所示,以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系, 则D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,2,0),P(0,0,1),E,N,M,所以=(-1,0,1),=,所以=,所以MN∥AP. 法二:基向量法　由题意得=+=+=+×(+)=++=+=(+)=,所以MN∥AP. 题型(二)　证明直线与平面平行 [例2]　如图,在三棱锥P⁃ABC中,PA⊥底面ABC, ∠BAC=90°.点D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=2,AB=1.求证:MN∥平面BDE. 证明:因为PA⊥底面ABC,∠BAC=90°,建立空间直角坐标系如图所示, 则A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,2,0),D(0,0,1),E(0,1,1),M,N,P(0,0,2),所以=(0,1,0),=(1,0,-1), 设n=(x,y,z)为平面BDE的法向量, 则即 不妨设z=1,可得n=(1,0,1), 又=,所以·n=1×+0×1+1×=0,即⊥n, 因为MN⊄平面BDE, 所以MN∥平面BDE. |思|维|建|模| 利用空间向量证明线面平行的三种方法 (1)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一个基底表示. (2)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用线面平行判定定理得证. (3)先求直线的方向向量,然后求平面的法向量,证明直线的方向向量与平面的法向量垂直. [针对训练] 2.如图,在四棱锥P⁃ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,BC∥AD,PA=AB=BC=2,AD=4,E为棱PD的中点,=λ(λ为常数,且0<λ<1).若直线BF∥平面ACE,求实数λ的值. 解:因为PA⊥底面ABCD,AB,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD. 由题意可知,AB,AD,AP两两垂直,建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,2),E(0,2,1), 所以=(2,2,0),=(0,2,1),=(-2,0,2),=(2,2,-2),则=λ=(2λ,2λ,-2λ), 所以=+=(2λ-2,2λ,2-2λ). 设平面ACE的法向量为m=(x,y,z). 由得 不妨令x=1,得m=(1,-1,2). 因为BF∥平面ACE, 所以·m=2λ-2-2λ+4-4λ=0, 解得λ=.故实数λ的值为. 题型(三)　证明平面与平面平行 [例3]　如图,平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形,且PA=AD=2,E,F,G分别是线段PA,PD,CD的中点,求证:平面EFG∥平面PBC. 证明:因为平面PAD⊥平面ABCD,四边形ABCD为正方形,△PAD是直角三角形, 所以AB,AP,AD两两垂直, 如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(0,0,1),F(0,1,1),G(1,2,0). 所以=(2,0,-2),=(0,-1,0), =(1,1,-1),=(0,2,0). 设n1=(x1,y1,z1)是平面EFG的法向量, 则n1⊥,n1⊥, 即得 令z1=1,则x1=1,y1=0,所以n1=(1,0,1). 设n2=(x2,y2,z2)是平面PBC的法向量, 由n2⊥,n2⊥, 即得 令z2=1,则x2=1,y2=0,所以n2=(1,0,1), 所以n1∥n2,又平面EFG与平面PBC不重合, 所以平面EFG∥平面PBC. |思|维|建|模| 证明面面平行问题的方法 (1)利用空间向量证明面面平行,通常是证明两平面的法向量平行. (2)将面面平行转化为线线平行然后用向量共线进行证明. [针对训练] 3.如图,已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为a,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥平面BDEF. 证明:如图,以点D为原点,分别以,,为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0), M,N, E,F. 于是=,=,=,=. 设n1=(x1,y1,z1)是平面AMN的法向量, 则 取z1=1,得x1=2,y1=-2, 则n1=(2,-2,1). 设n2=(x2,y2,z2)是平面BDEF的法向量, 则 取z2=1,得y2=-2,x2=2,则n2=(2,-2,1)=n1. 又平面AMN与平面BDEF不重合, 故平面AMN∥平面BDEF. 学科网（北京）股份有限公司 $