专题02 二元一次方程组（期中真题汇编，浙江专用）七年级数学下学期新教材浙教版

专题02 二元一次方程组 4大高频考点概览 考点01二元一次方程（组）的概念 考点02解二元一次方程组 考点03 二元一次方程组的应用 考点04三元一次方程组 一、选择题地 城 考点01 二元一次方程（组）的概念 1.（21-22七年级下·浙江嘉兴·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）若关于的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 3.（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）下列各对数是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 4.（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知是方程组 的解，则的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 5.（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 6.（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知关于x，y的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数k，使得；③不论k取什么实数，的值始终不变；④若则．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④ 7.（22-23七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x、y的二元一次方程组，给出下列结论：①是方程组的一个解；②若，则；③无论m为何值，的值不变；④当m为整数时，此方程组有2个自然数解，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．①③④ 二、填空题 8.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）已知二元一次方程，则用关于的代数式表示为：______． 9.（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知是方程的一组解，则a的值为_________． 10.（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）已知，则__________时，它是关于x，y的二元一次方程． 11.（24-25七年级下·浙江温州·期中）如果方程组的解为，那么被“”遮住的数是______． 12.（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值为_____． 三、解答题 13.（22-23七年级下·浙江金华·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 14.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的方程组，其中是实数． (1)若方程组的解也是方程的一个解，求的值； (2)求为何值时，代数式的值与的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值． 15.（20-21七年级·浙江·期中）把（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”，当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”，例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． （1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”； （2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求m的值； （3）“雅系二元一次方程”（，k是常数）存在“完美值”吗？若存在，请求出其“完美值”．若不存在，请说明理由． 一、选择题地 城 考点02 解二元一次方程组 1.（21-22七年级下·浙江温州·期中）关于x，y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 2.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 3.（24-25七年级下·浙江温州·期中）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 4.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（    ） ①当这个方程组的解的值互为相反数时，； ④当时，方程组的解也是方程的解： ③无论取什么实数，的值始终不变； ④当方程组的解都为自然数时，则有唯一值为0： A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 5.（21-22七年级下·浙江温州·期中）已知，用x的代数式表示y，则________． 6.（21-22七年级下·浙江温州·期中）下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程的一个解，则表中“？”表示的数为________． x 2 1 0 … ？ y 2 4 6 8 10 … 100 三、解答题 7.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）选用适当的方法解下列方程组 (1) (2) 8.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)． 9.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程和的解相同，求的值． 10.（23-24七年级下·浙江杭州·期中）下面是圆圆同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：由，得③ ……第一步 ，得. ……第二步 将代入①，解得. ……第三步 所以，原方程组的解为 ……第四步 (1)第 步开始出现错误，这一步正确的写法是 ． (2)求出该方程组正确的解． 11.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则称此方程组为“等解”方程组． (1)若关于x，y的方程组为“等解”方程组，求m的值． (2)判断关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组吗?并说明理由． 12.（24-25七年级下·浙江杭州·月考）规定：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)若关于x，y的方程组为共轭方程组，则______，______． (2)若方程中x，y的值满足表： x 0 y 0 2 求方程的共轭二元一次方程． (3)若共轭方程组的解是，请直接写出m与n的数量关系． 一、选择题地 城 考点03 二元一次方程组的应用 1.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）：马三匹、牛五头，共价三十八两、问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2.（21-22七年级下·浙江温州·期中）《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三：人出六，不足五．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱：每人出6钱，还差5钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3.（23-24七年级下·浙江温州·期中）某兴趣小组组织野外活动，男生戴蓝色帽子，女生戴红色帽子，如果每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个，每位女生看到蓝色帽子是红色帽子的倍，则该兴趣小组男女生分别有多少人？设男生有人，女生有人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 4.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）《九章算术》中记载：今有上等稻6捆，其所得谷粒减去18升和当于下等稻10捆所得谷粒：下等稻15捆，其所得谷粒减去5升相当于上等稻5捆所得谷粒．问上等稻、下等稻每捆各出谷粒几升？若设上等稻每捆出谷粒升，下等稻每捆出谷粒升，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 5.（24-25七年级下·浙江宁波·期中）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒．仓库里现有2025张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（   ） A．4042 B．4040 C．4038 D．4036 6.（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，两个天平都保持平衡状态，设苹果的质量为，每个梨的质量为，可列出方程组（    ）    A． B． C． D． 二、填空题 7.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）母亲节来临之际，学校准备组织一场学生为母亲献鲜花的活动．在商店里，同一种鲜花每枝的价格相同，如果一枝康乃馨和两枝郁金香需要18元，四枝康乃馨和三枝郁金香需要47元，那么如果购买一支康乃馨和一支郁金香需要花费______元． 8.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某水果店推出甲、乙、丙三种礼盒，甲礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，售价100元；乙礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，售价98元；丙礼盒香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克；已知樱桃每千克30元；李老师花了1100元，买乙丙两种礼盒，问李老师共买______盒． 9.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，7个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为32，小长方形的周长为14，则小长方形的长为______，与的差为______． 三、解答题 10.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？ 11.（23-24七年级下·浙江温州·期中）探究学校校服订购的方案． 素材1：天气转热，不少学生的夏季校服有损坏或丢失，故学校联系了厂商订制一批校服衣服和裤子．下表是学校前两年的购买记录． 年份/年 衣服数量/件 裤子数量/件 总价/元 2022 100 80 7300 2023 120 60 7500 素材2：本届七年级使用的是改版后的校服，每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元．为保证各年级段校服统一，学校要求七年级学生购买新版，八、九年级学生购买旧版． 【任务1】分别求出旧版衣服和旧版裤子的单价． 【任务2】依据往年八、九年级的数据统计，衣服数量不超过80件，裤子数量不超过50件．若学校恰好用了4900元为八、九年级购买旧版校服，则衣服和裤子各买了多少件？ 【任务3】学校统计各班的订购意向后，最终花费9200元订购这批校服．已知七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的，且少于50件，则八、九年级订购的裤子共有 件．（请直接写出答案） 12.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市购买牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)求牛奶与咖啡每箱的价格分别为多少元． (2)超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次购买共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价购买的咖啡有_____箱 13.（22-23七年级下·浙江衢州·期中）新考向 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计采购方案． 素材1：为了迎接杭州亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元． 素材2：小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣，共花费130元． 素材3：已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干（允许只购买一种商品），本次交易商家一共获得600元的销售额． 问题解决： 任务1：假设明信片的售价为x元/套，吉祥物钥匙扣的售价为y元/个，则______（用含x的代数式表示）； 任务2：基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价； 任务3：【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高． 14.（24-25七年级下·浙江衢州·期中）某市人民政府为了促进消费决定发放2025年消费券，其中消费券分为三种类型，如表： A型 B型 C型 满199减76 满99减36 满49减16 在此次活动中，小柯领到了三种不同类型的“消费券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小柯同时使用三种不同类型的“消费券”消费，共优惠了272元，已知她用了2张A型“消费券”，3张C型“消费券”，则她用了_______张B型“消费券” (2)若小柯同时使用了5张A、B型“消费券”，共优惠了260元，那么她使用了A，B型“消费券”各几张？ (3)若小柯共领到三种不同类型的“消费券”各8张（部分未使用），她同时使用A、B、C型中的两种不同类型的“消费券”消费，共优惠了184元，请问有哪几种消费券的使用方案？选哪一种方案小柯实际付款金额最少？ 15.（24-25七年级下·浙江宁波·期中）根据以下素材，完成任务． 解决挖掘机的租用和保养问题 素材1   为满足市民全龄化健身需求，某地拟新建一座全民健身中心．受施工场地限制，需确保土石方开挖效率达到/小时．经方案比选，决定采用甲、乙两种型号挖掘机协同作业，相关设备技术参数及租赁信息如下表所示： 型号 挖掘土石方量（单位：/台•时） 租金（单位：元/台・时） 甲型 180 240 乙型 270 300 素材2 为确保挖掘机自锁机构稳定运行，需定期开展系统维护保养工作，对失效弹簧及磨损钢球应及时更换．当前维保预算为元，若购买21根弹簧和17颗钢球，则维保预算还缺45元；若购买20根弹簧和15颗钢球，则维保预算还剩25元． 问题解决 任务1 制定租用计划 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量．甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ 任务2 探究租用方案 若租用甲、乙两种型号的挖掘机不限台数，且每种型号的挖掘机至少租用1台，恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？ 任务3 确定维保费用 基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际维保费用为 元（用含的代数式表示）． 一、选择题地 城 考点04 三元一次方程组 1.（21-22七年级下·浙江杭州·期中）若，则x+y+z的值为（　　） ． A．10 B．12 C．14 D．20 2.（21-22七年级下·浙江杭州·期中）已知是方程组的解，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 3.（24-25七年级下·浙江湖州·期中）把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（   ） A． B． C． D． 4.（20-21七年级下·浙江·期中）小明到文具店购买文具，他发现若购买4支钢笔、2支铅笔、1支水彩笔需要50元，若购买1支钢笔、3支铅笔、4支水彩笔也正好需要50元，则购买1支钢笔、1支铅笔、1支水彩笔需要（    ） A．10元 B．20元 C．30元 D．不能确定 二、填空题 5.（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若是从1，0，这三个数中取值的一列数，，，问中有______个0． 6.（22-23七年级下·浙江温州·月考）购买铅笔7支，作业本6个，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5个，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1个，中性笔1支共需_______元． 三、解答题 7.（21-22七年级下·浙江杭州·期中） 8.（20-21七年级下·浙江·期中）解方程组： （1）       （2） 9.（21-22七年级下·浙江台州·期中）在我校艺术节的各项比赛中，七年级某班同学取得了优秀的成绩，为了表彰同学们，王老师特意到新华书店买书给学生作为奖励，书城二楼专设折售书架，销售文教类图书，部分书籍和标价如下表： 文教类图书 原价（元） 中国历史故事 50 名人名言 20 幻夜 25 (1)若王老师在书城买了《中国历史故事》和《名人名言》一共本，共付了元钱，请求出这两种书王老师各买了多少本？ (2)若王老师买了以上三种书每种都有本，共付了元钱，求王老师的购买方案？ 10.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）2024-2025年度中国篮球联赛（）决赛的门票价格如下表： 等级 A B C 票价（元/张） 未知 未知 150 小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，付款2500元；若购买4张等票和1张等票，付款2300元． (1)求等票和等票每张分别为多少元？ (2)若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，请写出购买方案． 11.（22-23七年级下·浙江宁波·期中）下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况，某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆只能装一种蔬菜）． (1)若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？ 甲 乙 丙 每辆汽车能装的吨数 2 1 每吨蔬菜可获利润（百元） 5 7 4 (2)计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬架共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆．该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润． 12.（22-23七年级下·浙江·期中）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元． (1)求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格； (2)若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案； (3)若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费元，现我校在校师生共人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二元一次方程组 地 城 考点01 二元一次方程（组）的概念 1 2 3 4 5 6 7 B A A C B A D 8. 9. 2 10. 11. 12. 13. 【答案】 【详解】解： ， 得：， 解得， 得：， 解得， ∴， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 14. 【答案】(1)a=3； (2)当k=6时，代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，定值为25． 【详解】（1）解：方程组， ①×3+②得：8x=24a-8， 解得：x=3a-1， 把x=3a-1代入①得：y=a-2， 则方程组的解为， 把代入方程x-5y=3得：3a-1-5a+10=3， 解得：a=3； （2）x2-kxy+9y2 =（x-3y）2+6xy-kxy， ∵， ∴x-3y=3a-1-3（a-2）=5， ∴x2-kxy+9y2=（x-3y）2+6xy-kxy=25+（6-k）xy， ∵代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关， ∴当k=6时，代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，定值为25． 15. 【答案】（1）“雅系二元一次方程” 的“完美值”为x=-1；（2）m=-2；（3）当k=1时，不存在“完美值”，当k≠1，k≠0时，存在“完美值”． 【详解】解：（1）由已知可得，， 解得x=-1， ∴“雅系二元一次方程” 的“完美值”为x=-1； （2）由已知可得x=2x+m，x=2， ∴m=-2； （3）若“雅系二元一次方程”y=kx+1（k≠0，k是常数）存在“完美值”， 则有x=kx+1， ∴（1-k）x=1， 当k=1时，不存在“完美值”， 当k≠1，k≠0时，存在“完美值”． 地 城 考点02 解二元一次方程组 1 2 3 4 B B B A 5. / 6. 7. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 把①代入②得：， 解得， 将代入①得：， 因此方程组的解为； （2）解： 得：， 把代入②得：， 解得， 因此方程组的解为． 8. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②，得 ， 解得， 把代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：方程组化简，得， ①②得，， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 9. 【答案】的值为 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于的方程和的解相同， ∴将代入方程得， ， ， ， ， ， 解得， ∴的值为． 10. 【答案】(1)一、； (2) 【详解】（1）解： 解：由，得③ ……第一步， ∴第一步开始出现错误，这一步正确的写法是． 故答案为：一、； （2）解： ， ，得③， ，得， 解得 将代入①，得， 解得：， ∴原方程组的解为． 11. 【答案】(1) (2)是“等解”方程组，理由见解析 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组为“等解”方程组， ∴， ∴， 解得， 即m的值为； （2）解：是“等解”方程组，理由如下： ， 得， 整理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组． 12. 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组为共轭方程组， ∴，， ∴解得，； （2）解：由题意得， 解得， ∴原方程为：， ∴这个方程的共轭二元一次方程是； （3）解：； 理由：将代入， 得， ∴， ∴， ， ∵， ∴． 地 城 考点03 二元一次方程组的应用 1 2 3 4 5 6 D B A B B D 7. 13 8. 9. 6 3 10. 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)共有3种新工人的招聘方案，方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工 (3)千公里 【详解】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车， 由题意，可列方程组 解得 故每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车； （2）解：由题意，可知每日需安装（辆）， 设抽调熟练工m名，则每日可安装辆自行车， 令，则， ∵m，n均为非负整数，且， ∴共有3种新工人的招聘方案，分别是或或，即方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； （3）解：由题意可知，安装在前轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命，安装在后轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命， 则每1千公里，共损耗的轮胎安全寿命， 通过行驶一段时间后，交换前后轮的轮胎，可以使得两个轮胎同时到达安全寿命，将轮胎充分利用， 故一对轮胎能行驶的最长路程是（千公里）． 11. 【答案】任务1：一件旧版衣服45元，一件旧版裤子35元；任务2：衣服70件、裤子50件或衣服77件、裤子41件；任务3：11 【详解】任务1：设一件旧版衣服x元，一件旧版裤子y元， 由题意，得 解得 答：一件旧版衣服45元，一件旧版裤子35元； 任务2：设购买衣服m件，裤子n件， 由题意，得， 化简，得， ∵，且m， n均为正整数， 或 答：衣服70件、裤子50件或衣服77件、裤子41件； 任务3：∵每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元， ∴一件新版衣服55元，一件新版裤子45元， 设七年级订购新版衣服a件、新版裤子c件，八、九年级订购旧版衣服m件、旧版裤子b件。由题意，七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的  1 4 1 4 ，可得 ，整理得  ， 由题意，得 ， 将 代入，得 ， 化简得． ∵， 且a， b均为正整数， ∴，． 故答案为：11． 12. 【答案】(1)每箱牛奶价格为30元，每箱咖啡价格是50元 (2)6 【详解】（1）解：设每箱牛奶价格为x元，每箱咖啡价格是y元， 根据题意得： ， 解得， 答：每箱牛奶价格为30元，每箱咖啡价格是50元． （2）解：， ∴打折的咖啡的价格与牛奶的原价相同． 设打折的牛奶买了m箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了n箱， 则原价的咖啡买了（箱）． 根据题意得 ∴． 又∵均为非负整数， ∴， ∴ （箱）， ∴此次按原价购买的咖啡有6箱． 故答案为：6． 13. 【答案】任务1：；任务2：吉祥物钥匙扣的售价为30元/个，明信片的售价为10元/套； 任务3：可行的购买方案见解析，在这些购买方案中，购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60套商家获利最高 【详解】任务1：因为一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，所以， 故答案为． 任务2：因为小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣，共花费130元， 所以， 解得， ． 答：吉祥物钥匙扣的售价为30元/个，明信片的售价为10元/套． 任务3：设购买吉祥物钥匙扣个，明信片套， 根据题意，得，所以． 因为是非负整数， 所以或或或或或 因为每个吉祥物钥匙扣利润为（元），每套明信片利润为（元）， 购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60套，商家获利300元； 购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48套，商家获利270元； 购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36套，商家获利240元； 购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套，商家获利210元； 购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12套，商家获利180元； 购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0套，商家获利150元． 答：可行的购买方案有购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60套；购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48套；购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36套；购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套；购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12套；购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0套．购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60套商家获利最高． 14. 【答案】(1) (2)她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张； (3)有3种使用方案：①A型“消费券”张， B型“消费券”张；②A型“消费券”张， C型“消费券”张；③B型“消费券”张， C型“消费券”张；使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，小柯实际付款金额最少． 【详解】（1）解：设她用了张B型“消费券”， 由题意得：， 解得：，即她用了张B型“消费券”， 故答案：； （2）解：设小柯使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张， 由题意得：，解得：， 答：她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张； （3）解：设小柯使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，C型“消费券”张， 由题意可知，、、均为正整数，且，，， ①若她使用了A、B型“消费券”， 则， 化简得：， 此时，、的可能取值为，； ②若她使用了A、C型“消费券”， 则， 化简得：， 此时，、的可能取值为，； ③若她使用了B、C型“消费券”， 则， 化简得：， 此时，、的可能取值为，； 即有3种使用方案：①A型“消费券”张， B型“消费券”张；②A型“消费券”张， C型“消费券”张；③B型“消费券”张， C型“消费券”张； 若她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张， 则实际付款金额为元； 若她使用了A型“消费券”张， C型“消费券”张， 则实际付款金额为； 若她使用了B型“消费券”张， C型“消费券”张， 则实际付款金额为， 即使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，小柯实际付款金额最少． 15. 【答案】任务1：甲、乙两种型号的挖掘机各需租用2、6台；任务2：一共有3种方案，①租甲型挖掘机8台，乙型挖掘机2台；②租甲型挖掘机5台，乙型挖掘机4台；③租甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台；任务3： 【详解】解∶任务1 ∶设甲、乙两种型号的挖掘机各需租用x、y台， 根据题意，得， 解得， 答：甲、乙两种型号的挖掘机各需租用2、6台； 任务2：设甲、乙两种型号的挖掘机各需租用m、n台， 根据题意，得， ∴， 又m、n是正整数， ∴或或， ∴一共有3种方案，具体如下： ①租甲型挖掘机8台，乙型挖掘机2台； ②租甲型挖掘机5台，乙型挖掘机4台； ③租甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台； 任务3：任务2中方案的费用如下： ①元；②元；③元； ∵， ∴方案③的费用最少， 设一根弹簧的价格为a元，一颗钢球的价格为b元， 根据题意，得， ∴，， ∴方案③的实际维保费为 （元）， 故答案为：． 地 城 考点04 三元一次方程组 1 2 3 4 B A D B 5. 133 6. 7 7. 【答案】 【详解】解： ②＋③得： 5x＝2， ∴x＝， 由②得：y＝x＋3z－4 ④， 将④代入①得： 2x－3（x＋3z－4 ）＋4z＝12， 解得：z＝－， 将x＝，z＝－代入④得： y＝－， ∴原方程组的解为：． 8. 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）， ②-2×①得：， 解得：，代入①中， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）方程组变形为， 将①、③分别代入②中，得， 解得：，分别代入①、③中， 解得：，， ∴方程组的解为：． 【点睛】此题考查了解二（三）元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 9. 【答案】(1)购买《中国历史故事》5本，《名人名言》15本； (2)《中国历史故事》买了1本，《名人名言》买了15本，《幻夜》买了4本 【详解】（1）解：设购买《中国历史故事》x本，《名人名言》y本，根据题意得： ，解得：， 答：购买《中国历史故事》5本，《名人名言》15本； （2）设三种书分别买了x本、y本、z本，根据题意得： ， 消去z得：20x-4y=-40， ∴y=5x+10， ∵x、y都是正整数， ∴ ∴《中国历史故事》买了1本，《名人名言》买了15本，《幻夜》买了4本． 10. 【答案】(1)等票和等票每张分别为元和元 (2)方案一：购买3张等票，张等票，张等票；方案二：购买3张等票，张等票，张等票；方案三：购买3张等票，张等票，张等票 【详解】（1）解：设等票和等票每张分别为元和元，由题意，得： ，解得：； 答：等票和等票每张分别为元和元； （2）设购买三种门票分别为张，由题意，得： ， ∴， ∵均为正整数， ∴或或； 故共有3种方案， 方案一：购买3张等票，张等票，张等票； 方案二：购买3张等票，张等票，张等票； 方案三：购买3张等票，张等票，张等票． 11. 【答案】(1)装运乙、丙两种蔬菜的汽车分别为12辆和2辆 (2)安排甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为9辆、15辆、6辆时，才能获得最大利润，最大利润为25500元 【详解】（1）解：设装运乙种蔬菜的汽车为辆，则装运丙种蔬菜的汽车为辆． 列方程：， 解得． 即． 答：装运乙、丙两种蔬菜的汽车分别为12辆和2辆； （2）解：设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为辆、辆、辆， 则， 得：， ∴， ∴． ∵、、都为自然数， ∴为3的倍数， 又∵， ∴或或， ∴或或， 当时，利润为：（元）， 当时，利润为：（元）， 当时，利润为：（元）， 由上可知，最大利润为元． 答：安排甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为9辆、15辆、6辆时，才能获得最大利润，最大利润为25500元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用以及三元一次方程组的应用，明确题意，正确列出方程，是解答本题的关键． 12. 【答案】(1)甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； (2)方案一：购买15瓶甲消毒液，5瓶乙消毒液；方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液；方案一：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液； (3)这批消毒液可使用5天． 【详解】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，由题意可得， 解得， 答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； （2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶,则由题意可得， ， 整理得，， 当时，, 当时，, 当时，, 方案一：购买15瓶甲消毒液，5瓶乙消毒液； 方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液； 方案一：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液； （3）设购买甲品牌消毒液p瓶，购买乙品牌消毒液q瓶,设使用t天，则由题意可得， ， 由①得③， 把③代入②得，， 解得， 答：这批消毒液可使用5天． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二元一次方程组 4大高频考点概览 考点01二元一次方程（组）的概念 考点02解二元一次方程组 考点03 二元一次方程组的应用 考点04三元一次方程组 一、选择题地 城 考点01 二元一次方程（组）的概念 1.（21-22七年级下·浙江嘉兴·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】二元一次方程需满足：是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、∵项的次数为2，∴A不符合要求； B、∵该方程是整式方程，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，∴B符合二元一次方程定义； C、∵分母含有未知数，不是整式方程，∴C不符合要求； D、∵只含有一个未知数，且的最高次数为2，所以不是一次方程，∴D不符合要求． 2.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）若关于的方程是二元一次方程，则的值是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据二元一次方程的定义求参数的值，根据二元一次方程的定义，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故选A． 3.（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）下列各对数是二元一次方程的解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解，将各选项的x和y值代入方程，验证等式是否成立． 【详解】解：A、当时，左边，等于右边，符合条件； B、当时，左边，不等于右边； C、当时，左边，不等于右边； D、当时，左边，不等于右边． 故选：A． 4.（24-25七年级下·浙江温州·期中）已知是方程组 的解，则的值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．解题的关键是求出m与n的值． 将已知解代入方程组，解出未知参数，再计算差值． 【详解】解：将代入方程组得： 解得： ∴． 故选：C． 5.（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟记定义是解题的关键．方程组中含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程组是二元一次方程组，二元一次方程组中的各个方程应是整式方程，根据定义解答． 【详解】解：A、方程组含三个未知数x、y、z，不是二元一次方程组，不符合题意； B、方程组仅含x、y两个未知数，且均为一次整式方程，是二元一次方程组，符合题意； C.、第一个方程含项，次数为2，不是二元一次方程组，不符合题意； D、第一个方程含分式，不是整式方程，不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：B． 6.（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知关于x，y的方程组，以下结论：①当时，方程组的解也是方程的解；②存在实数k，使得；③不论k取什么实数，的值始终不变；④若则．其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①④ 【答案】A 【分析】直接利用二元一次一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案． 【详解】解：①当时，原方程组可整理得：， 解得：， 把代入得： ，故①正确， ②解方程组，得：， 若， 则， 解得：， 即存在实数，使得，故②正确； ③解方程组，得：， ∴ ， 不论取什么实数，的值始终不变，故③正确； ④解方程组，得：， 若， 则， 解得：，故④错误； 综上分析可知，正确的是①②③，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组的能力，熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解得定义． 7.（22-23七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x、y的二元一次方程组，给出下列结论：①是方程组的一个解；②若，则；③无论m为何值，的值不变；④当m为整数时，此方程组有2个自然数解，其中正确的是（    ） A．①②③ B．①③ C．①② D．①③④ 【答案】D 【分析】将代入方程组的两个方程即可判断①；将代入方程组求解即可判断②；根据方程组求出，再根据同底数幂的乘法法则、幂的乘方的逆用计算即可判断③；先根据为自然数和求出的值，再代入方程组求出的值，由此即可判断④． 【详解】解：将代入方程组得：， 解得， 所以是方程组的一个解，结论①正确； 若，则， 解得，则结论②错误； 由得：， 则 ， 所以无论为何值，的值不变，结论③正确； 都是自然数，且， 或， 将代入方程组得：，解得，为整数， 将代入方程组得：，解得，为整数， 则当为整数时，此方程组有2个自然数解，结论④正确； 综上，结论正确的是①③④， 故选：D． 二、填空题 8.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）已知二元一次方程，则用关于的代数式表示为：______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，根据等式的基本性质， 把方程变形，移项，系数化为后得到答案． 【详解】解：已知二元一次方程， 移项，整理得：， 则用关于的代数式表示为：． 9.（23-24七年级下·浙江温州·期中）已知是方程的一组解，则a的值为_________． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解． 将代入方程计算即可． 【详解】∵是方程的一组解， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 10.（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）已知，则__________时，它是关于x，y的二元一次方程． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，含有两个未知数，且所含未知数的次数都是1的方程叫二元一次方程是解题关键．由二元一次方程的定义，得出，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故答案为：． 11.（24-25七年级下·浙江温州·期中）如果方程组的解为，那么被“”遮住的数是______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义把代入方程中即可求出的值，继而求出被“”遮住的数． 【详解】解：把代入方程中，得， 把，代入方程中，得， 故答案为：． 12.（24-25七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的二元一次方程组的解为，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入原方程组中求出a、b的值，再代值计算即可得到答案． 【详解】解：∵关于，的二元一次方程组的解为， ∴， 解得， ∴， 故答案为；． 三、解答题 13.（22-23七年级下·浙江金华·期中）关于x，y的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】运用加减消元法解出，，得出，根据，得出，求出，，进而可求出答案． 【详解】解： ， 得：， 解得， 得：， 解得， ∴， ， ∴， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解，灵活运用加减消元法解方程组是解题的关键． 14.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）已知关于，的方程组，其中是实数． (1)若方程组的解也是方程的一个解，求的值； (2)求为何值时，代数式的值与的取值无关，始终是一个定值，求出这个定值． 【答案】(1)a=3； (2)当k=6时，代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，定值为25． 【分析】（1）把a看作已知数，利用加减消元法求出解，把方程组的解代入方程计算求出a的值，代入原式计算即可求出值； （2）将代数式x2-kxy+9y2配方=（x-3y）2+6xy-kxy=25+（6-k）xy，即可求解． 【详解】（1）解：方程组， ①×3+②得：8x=24a-8， 解得：x=3a-1， 把x=3a-1代入①得：y=a-2， 则方程组的解为， 把代入方程x-5y=3得：3a-1-5a+10=3， 解得：a=3； （2）x2-kxy+9y2 =（x-3y）2+6xy-kxy， ∵， ∴x-3y=3a-1-3（a-2）=5， ∴x2-kxy+9y2=（x-3y）2+6xy-kxy=25+（6-k）xy， ∵代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关， ∴当k=6时，代数式x2-kxy+9y2的值与a的取值无关，定值为25． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15.（20-21七年级·浙江·期中）把（其中a，b是常数，x，y是未知数）这样的方程称为“雅系二元一次方程”，当时，“雅系二元一次方程”中x的值称为“雅系二元一次方程”的“完美值”，例如：当时，“雅系二元一次方程”化为，其“完美值”为． （1）求“雅系二元一次方程”的“完美值”； （2）是“雅系二元一次方程”的“完美值”，求m的值； （3）“雅系二元一次方程”（，k是常数）存在“完美值”吗？若存在，请求出其“完美值”．若不存在，请说明理由． 【答案】（1）“雅系二元一次方程” 的“完美值”为x=-1；（2）m=-2；（3）当k=1时，不存在“完美值”，当k≠1，k≠0时，存在“完美值”． 【分析】（1）由已知得到式子，求出x即可； （2）由已知可得x=2x+m，将x=2代入即可求m； （3）假设存在，得到x=kx+1，所以（1-k）x=1，当k=1时，不存在“完美值”，当k≠1，k≠0时，存在“完美值”． 【详解】解：（1）由已知可得，， 解得x=-1， ∴“雅系二元一次方程” 的“完美值”为x=-1； （2）由已知可得x=2x+m，x=2， ∴m=-2； （3）若“雅系二元一次方程”y=kx+1（k≠0，k是常数）存在“完美值”， 则有x=kx+1， ∴（1-k）x=1， 当k=1时，不存在“完美值”， 当k≠1，k≠0时，存在“完美值”． 地 城 考点02 解二元一次方程组 一、选择题 1.（21-22七年级下·浙江温州·期中）关于x，y的二元一次方程组，用代入法消去y后所得到的方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代入消元法解二元一次方程组，只需把第一个方程中的表达式代入第二个方程，去括号整理即可得到对应方程。 【详解】解： ∵用代入法消去， ∴把①代入②，得， 去括号得：． 2.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）关于x，y的二元一次方程组的解，也是二元一次方程的解，则k的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】先求解原方程组，用含k的式子表示x和y，再将代入方程，即可计算得到k的值. 【详解】解： ∵ ①②得 ， ∴ 解得 ， 把代入②得 ， 解得 ， 把代入， 得 ， 即 ， 解得 . 3.（24-25七年级下·浙江温州·期中）若关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程组的解与整体思想，整体思想的运用是解题关键． 将变形为，观察两个方程组可得：由第一个方程组到第二个方程组就是换成，换成，代入数值即可求解． 【详解】解：变形为 由题意得：， 解得：． 故选：B． 4.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于的二元一次方程组，给出下列结论中正确的是（    ） ①当这个方程组的解的值互为相反数时，； ④当时，方程组的解也是方程的解： ③无论取什么实数，的值始终不变； ④当方程组的解都为自然数时，则有唯一值为0： A．①③ B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】根据相反数的定义，得到，将方程组加减消元，得到，进而得到，求解得到的值，即可判断①结论；当时，则，解得，即可判断②结论；利用加减消得到，即可判断③结论；根据可得当时，，当时，，则可求出或，即可判断④结论． 【详解】解：， 得：， ∴， 当这个方程组的解，的值互为相反数时，则， ， 解得：，故①正确； 当时，则，解得，故②错误； 当时，， ， 解得：， 无论取什么实数，的值始终不变，故③正确； ， ， ∵x、y都是自然数， ∴当时，，当时，， ∴或， 解得或，故④错误 综上所述，正确的结论有①③， 故选：A． 二、填空题 5.（21-22七年级下·浙江温州·期中）已知，用x的代数式表示y，则________． 【答案】 / 【分析】根据等式的性质，通过移项运算即可求解． 【详解】解：． 移项得，． 6.（21-22七年级下·浙江温州·期中）下表中的每一对x，y的值都是二元一次方程的一个解，则表中“？”表示的数为________． x 2 1 0 … ？ y 2 4 6 8 10 … 100 【答案】 【分析】先将表格中两组x，y的值代入二元一次方程，得到关于a，b的二元一次方程组，解方程组得到a，b的值，确定原方程，再将代入原方程，即可求出表中“？”表示的数． 【详解】解：将，代入得： ， 解得， 因此原二元一次方程为， 当时，代入得， 解得． 即表中“？”表示的数为． 三、解答题 7.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）选用适当的方法解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）第一个方程已经用含x的式子表示出y，适合用代入消元法求解； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得：， 解得， 将代入①得：， 因此方程组的解为； （2）解： 得：， 把代入②得：， 解得， 因此方程组的解为． 8.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②，得 ， 解得， 把代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：方程组化简，得， ①②得，， 解得， 把代入②，得， 解得， ∴方程组的解为． 9.（25-26七年级上·浙江杭州·期中）已知关于的方程和的解相同，求的值． 【答案】的值为 【分析】本题考查了同解方程和解一元一次方程，先求出方程 的解，再把代入得，然后解方程即可，理解方程解的定义，能正确解一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， ∵关于的方程和的解相同， ∴将代入方程得， ， ， ， ， ， 解得， ∴的值为． 10.（23-24七年级下·浙江杭州·期中）下面是圆圆同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：由，得③ ……第一步 ，得. ……第二步 将代入①，解得. ……第三步 所以，原方程组的解为 ……第四步 (1)第 步开始出现错误，这一步正确的写法是 ． (2)求出该方程组正确的解． 【答案】(1)一、； (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法与加减消元法是关键． （1）根据加减消元法，解二元一次方程组的步骤进行解答； （2）根据加减消元法，解二元一次方程组求解． 【详解】（1）解： 解：由，得③ ……第一步， ∴第一步开始出现错误，这一步正确的写法是． 故答案为：一、； （2）解： ， ，得③， ，得， 解得 将代入①，得， 解得：， ∴原方程组的解为． 11.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则称此方程组为“等解”方程组． (1)若关于x，y的方程组为“等解”方程组，求m的值． (2)判断关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组吗?并说明理由． 【答案】(1) (2)是“等解”方程组，理由见解析 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解． （1）根据“等解”方程组的定义得，即可得，解方程组即可求出m的值； （2）方程组中的两个方程相减得，整理后可得，再由得，，进而得，根据“等解”方程组的定义即可得出结论． 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组为“等解”方程组， ∴， ∴， 解得， 即m的值为； （2）解：是“等解”方程组，理由如下： ， 得， 整理得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴关于x，y的二元一次方程组（a，b，c为常数，且）是“等解”方程组． 12.（24-25七年级下·浙江杭州·月考）规定：形如关于x，y的方程与的两个方程互为共轭二元一次方程，其中，由这两个方程组成的方程组叫做共轭方程组． (1)若关于x，y的方程组为共轭方程组，则______，______． (2)若方程中x，y的值满足表： x 0 y 0 2 求方程的共轭二元一次方程． (3)若共轭方程组的解是，请直接写出m与n的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】此题考查解二元一次方程组，新定义方程及方程组，正确理解题中新定义的特点，根据新定义确定共轭方程及方程组是解题的关键． （1）由题意得，，解方程即可得到答案； （2）将x与y的对应值代入中求出原方程，即可得到此方程的共轭二元一次方程； （3）将代入，得出，解关于的二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：∵关于x，y的方程组为共轭方程组， ∴，， ∴解得，； （2）解：由题意得， 解得， ∴原方程为：， ∴这个方程的共轭二元一次方程是； （3）解：； 理由：将代入， 得， ∴， ∴， ， ∵， ∴． 地 城 考点03 二元一次方程组的应用 一、选择题 1.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）：马三匹、牛五头，共价三十八两、问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解：设马每匹x两，牛每头y两，根据“马四匹、牛六头共价四十八两，马三匹、牛五头共价三十八两”为等量关系列方程组即可． 【详解】解：∵设马每匹x两，牛每头y两， ∴列出方程组为． 2.（21-22七年级下·浙江温州·期中）《九章算术》中记载：“今有人共买物，人出八，盈三：人出六，不足五．问人数、物价各几何？”其大意是：“现有一些人共同购买一个物品，每人出8钱，还盈余3钱：每人出6钱，还差5钱，问人数、物品价格各是多少？”设人数为x人，物品的价格为y钱，根据题意，可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据每人出8钱，还盈余3钱，可得，根据每人出6钱，还差5钱，可得，然后即可列出相应的方程组． 【详解】解：由题意可得：． 3.（23-24七年级下·浙江温州·期中）某兴趣小组组织野外活动，男生戴蓝色帽子，女生戴红色帽子，如果每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个，每位女生看到蓝色帽子是红色帽子的倍，则该兴趣小组男女生分别有多少人？设男生有人，女生有人，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．根据题意，每个人看不到自己戴的帽子，男生看到其他男生的蓝帽子和所有女生的红帽子，女生看到所有男生的蓝帽子和其他女生的红帽子，据此列出方程． 【详解】解：设男生有人，女生有人， 每位男生看到蓝色帽子比红色帽子多个， 男生看到的蓝帽子数为，红帽子数为， . 每位女生看到蓝色帽子是红色帽子的倍， 女生看到的蓝帽子数为，红帽子数为， . 因此方程组为， 故选：A． 4.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）《九章算术》中记载：今有上等稻6捆，其所得谷粒减去18升和当于下等稻10捆所得谷粒：下等稻15捆，其所得谷粒减去5升相当于上等稻5捆所得谷粒．问上等稻、下等稻每捆各出谷粒几升？若设上等稻每捆出谷粒升，下等稻每捆出谷粒升，则可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据题意，设上等稻每捆出谷粒x升，下等稻每捆出谷粒y升，通过分析题目中的两个条件，分别建立方程，再与选项匹配即可作答． 【详解】解：∵今有上等稻6捆，其所得谷粒减去18升和当于下等稻10捆所得谷粒： ∴ ∵下等稻15捆，其所得谷粒减去5升相当于上等稻5捆所得谷粒． ∴ 则可列出方程组为， 故选：B 5.（24-25七年级下·浙江宁波·期中）用如图①中的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图②的竖式和横式（左右侧面为正方形）的两种无盖纸盒．仓库里现有2025张正方形纸板和张长方形纸板，如果做两种纸盒若干个，恰好使库存的纸板用完，则的值可能是（   ） A．4042 B．4040 C．4038 D．4036 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设可做成x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒，列出方程组，结合x，y，n是正整数求解即可． 【详解】解：设可做成x个竖式无盖纸盒，y个横式无盖纸盒， 依题意，得：， ，得：，即， ∵y为正整数， ∴n的个位数字为0或5． 观察四个选项，选项B符合题意， 故选：B． 6.（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，两个天平都保持平衡状态，设苹果的质量为，每个梨的质量为，可列出方程组（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意是解题关键 根据题意列出方程组即可求解 【详解】解：设苹果的质量为，每个梨的质量为， 根据题意得： 故选：D 二、填空题 7.（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）母亲节来临之际，学校准备组织一场学生为母亲献鲜花的活动．在商店里，同一种鲜花每枝的价格相同，如果一枝康乃馨和两枝郁金香需要18元，四枝康乃馨和三枝郁金香需要47元，那么如果购买一支康乃馨和一支郁金香需要花费______元． 【答案】13 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设购买一支康乃馨和一支郁金香需要花费x、y元，根据“一枝康乃馨和两枝郁金香需要18元，四枝康乃馨和三枝郁金香需要47元”列方程组求解即可． 【详解】解∶设购买一支康乃馨和一支郁金香需要花费x、y元， 根据题意，得， 两方程相加，得， ∴， ∴购买一支康乃馨和一支郁金香需要花费13元， 故答案为：13． 8.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某水果店推出甲、乙、丙三种礼盒，甲礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，香梨1千克，售价100元；乙礼盒樱桃1千克，枇杷0.5千克，哈密瓜1千克，售价98元；丙礼盒香梨1千克，枇杷1千克，哈密瓜1千克；已知樱桃每千克30元；李老师花了1100元，买乙丙两种礼盒，问李老师共买______盒． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，设枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元，由题意列出方程组，得，即丙礼盒每盒138元，设乙礼盒m个，丙礼盒n个，由题意得：，求出方程的非负整数解，即可解决问题． 【详解】解：设设枇杷每千克x元，香梨每千克y元，哈密瓜每千克a元， 由题意得： ， ①②得：， 即丙礼盒每盒138元， 设乙礼盒m个，丙礼盒n个， 由题意得：， ∵m、n为非负整数， 当且仅当，时，方程成立， ∴李老师一共买礼盒：（盒）， 故答案为：10． 9.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，7个形状、大小完全相同的小长方形放在一个大长方形中，已知大长方形的周长为32，小长方形的周长为14，则小长方形的长为______，与的差为______． 【答案】 6 3 【分析】本题考查了解二元一次方程组的意义，设小长方形的长为a，宽为b，则由题意得，可得到，解得：，设，则，，则，据此可得答案． 【详解】解：如图： 设小长方形的长为a，宽为b， 则由题意得， 解得：， 设，则，， ∴， ∴， 故答案为：3． 三、解答题 10.（21-22七年级下·浙江宁波·期中）“强身健体，抗击疫情”骑自行车出行，成为了国内外人们健康环保的出行方式，根据市场需求某自行车制造厂开发了一款新式自行车，计划4月份生产安装300辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成新式自行车的安装，工厂决定招聘一些新工人；他们经过培训后也能独立进行安装．调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每日可安装8辆自行车；2名熟练工和3名新工人每日可安装14辆自行车． (1)每名熟练工和新工人每日分别可以安装多少辆自行车？ (2)如果工厂招聘n名新工人（），使得招聘的新工人和抽调熟练工刚好能完成4月份（30天）的安装任务，那么工厂有哪几种新工人的招聘方案？ (3)该自行车关于轮胎的使用有以下说明：本轮胎如安装在前轮，安全行驶路程为11千公里；如安装在后轮，安全行驶路程为9千公里。请问一对轮胎能行驶的最长路程是多少？ 【答案】(1)每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车 (2)共有3种新工人的招聘方案，方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工 (3)千公里 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据工程问题公式：甲的工程量+乙的工程量=总工程量，工作效率×工作人数=对应工程量，列方程即可， （1）鸡兔同笼类二元一次方程组，根据题意列方程组即可； （2）整数类问题，先计算出每日需安装的自行车数量，再通过凑整数，找到对应的工人数量即可； （3）最长路程，即完全利用到轮胎的所有性能，计算出每千公里前后轮一共的轮胎损耗，再用一对轮胎的总寿命除以这个损耗，即可求出最长路程． 【详解】（1）解：设每名熟练工每日可以安装x辆自行车，每名新工人每日可以安装y辆自行车， 由题意，可列方程组 解得 故每名熟练工每日可以安装4辆自行车，每名新工人每日可以安装2辆自行车； （2）解：由题意，可知每日需安装（辆）， 设抽调熟练工m名，则每日可安装辆自行车， 令，则， ∵m，n均为非负整数，且， ∴共有3种新工人的招聘方案，分别是或或，即方案一：招聘5名新工人，不抽调熟练工；方案二：招聘3名新工人，抽调1名熟练工；方案三：招聘1名新工人，抽调2名熟练工； （3）解：由题意可知，安装在前轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命，安装在后轮时，每1千公里损耗的轮胎安全寿命， 则每1千公里，共损耗的轮胎安全寿命， 通过行驶一段时间后，交换前后轮的轮胎，可以使得两个轮胎同时到达安全寿命，将轮胎充分利用， 故一对轮胎能行驶的最长路程是（千公里）． 11.（23-24七年级下·浙江温州·期中）探究学校校服订购的方案． 素材1：天气转热，不少学生的夏季校服有损坏或丢失，故学校联系了厂商订制一批校服衣服和裤子．下表是学校前两年的购买记录． 年份/年 衣服数量/件 裤子数量/件 总价/元 2022 100 80 7300 2023 120 60 7500 素材2：本届七年级使用的是改版后的校服，每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元．为保证各年级段校服统一，学校要求七年级学生购买新版，八、九年级学生购买旧版． 【任务1】分别求出旧版衣服和旧版裤子的单价． 【任务2】依据往年八、九年级的数据统计，衣服数量不超过80件，裤子数量不超过50件．若学校恰好用了4900元为八、九年级购买旧版校服，则衣服和裤子各买了多少件？ 【任务3】学校统计各班的订购意向后，最终花费9200元订购这批校服．已知七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的，且少于50件，则八、九年级订购的裤子共有 件．（请直接写出答案） 【答案】任务1：一件旧版衣服45元，一件旧版裤子35元；任务2：衣服70件、裤子50件或衣服77件、裤子41件；任务3：11 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． 任务1：设一件旧版衣服x元，一件旧版裤子y元，根据题意列方程组求解即可； 任务2：设购买衣服m件，裤子n件，则，得到，根据，且m， n均为正整数得到符合要求的解即可； 任务3：由题意可知一件新版衣服55元，一件新版裤子45元，设七年级订购新版衣服a件、新版裤子c件，八、九年级订购旧版衣服m件、旧版裤子b件。由题意，七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的  1 4 1 4 ，可得 ，整理得  ，根据总花费9200元，列出二元一次方程，进而找出符合要求的解即可． 【详解】任务1：设一件旧版衣服x元，一件旧版裤子y元， 由题意，得 解得 答：一件旧版衣服45元，一件旧版裤子35元； 任务2：设购买衣服m件，裤子n件， 由题意，得， 化简，得， ∵，且m， n均为正整数， 或 答：衣服70件、裤子50件或衣服77件、裤子41件； 任务3：∵每件新版衣服和裤子的价格均比旧版多10元， ∴一件新版衣服55元，一件新版裤子45元， 设七年级订购新版衣服a件、新版裤子c件，八、九年级订购旧版衣服m件、旧版裤子b件。由题意，七年级订购的衣服数量占所有衣服和裤子总数量的  1 4 1 4 ，可得 ，整理得  ， 由题意，得 ， 将 代入，得 ， 化简得． ∵， 且a， b均为正整数， ∴，． 故答案为：11． 12.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）某公司后勤部准备去超市购买牛奶和咖啡若干箱，现有两种不同的购买方案，如表： 牛奶（箱） 咖啡（箱） 金额（元） 方案一 20 10 1100 方案二 25 20 1750 (1)求牛奶与咖啡每箱的价格分别为多少元． (2)超市中该款咖啡和牛奶有部分因保质期临近，进行打六折的促销活动，后勤部根据需要选择原价或打折的咖啡和牛奶，此次购买共花费了1200元，其中购买打折的牛奶箱数是所有牛奶、咖啡的总箱数的，则此次按原价购买的咖啡有_____箱 【答案】(1)每箱牛奶价格为30元，每箱咖啡价格是50元 (2)6 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，实际问题与一元一次方程； （1）设每箱牛奶价格为x元，每箱咖啡价格是y元，根据题意列出二元一次方程组，计算求解即可； （2）根据题意得到打折的咖啡的价格与牛奶的原价相同，设打折的牛奶买了m箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了n箱，根据题意列出二元一次方程，计算求解即可． 【详解】（1）解：设每箱牛奶价格为x元，每箱咖啡价格是y元， 根据题意得： ， 解得， 答：每箱牛奶价格为30元，每箱咖啡价格是50元． （2）解：， ∴打折的咖啡的价格与牛奶的原价相同． 设打折的牛奶买了m箱，打折的咖啡和原价的牛奶共买了n箱， 则原价的咖啡买了（箱）． 根据题意得 ∴． 又∵均为非负整数， ∴， ∴ （箱）， ∴此次按原价购买的咖啡有6箱． 故答案为：6． 13.（22-23七年级下·浙江衢州·期中）新考向 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计采购方案． 素材1：为了迎接杭州亚运会，某旅游商店购进若干明信片和吉祥物钥匙扣．已知一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元． 素材2：小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣，共花费130元． 素材3：已知明信片的进价为5元/套，吉祥物钥匙扣的进价为18元/个．为了促销，商店对吉祥物钥匙扣进行8折销售．临近期中考试，某老师打算提前给学生准备奖品，在本店购买吉祥物钥匙扣和明信片两种商品若干（允许只购买一种商品），本次交易商家一共获得600元的销售额． 问题解决： 任务1：假设明信片的售价为x元/套，吉祥物钥匙扣的售价为y元/个，则______（用含x的代数式表示）； 任务2：基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出吉祥物钥匙扣和明信片的售价； 任务3：【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，帮助该老师完成此次促销活动中可行的购买方案．在这些购买方案中，哪种方案商家获利最高． 【答案】任务1：；任务2：吉祥物钥匙扣的售价为30元/个，明信片的售价为10元/套； 任务3：可行的购买方案见解析，在这些购买方案中，购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60套商家获利最高 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程，正确理解题意，寻找等量关系是解题的关键； 任务1：根据一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元可得结果； 任务2：根据题中条件，列一元一次方程，解方程即可； 任务3：购买吉祥物钥匙扣个，明信片套，根据题意求得，再列出满足条件的整数解，计算每一种购买方案商家的获利，再找出商家获利最高的购买方案． 【详解】任务1：因为一个吉祥物钥匙扣的售价比一套明信片的售价高20元，所以， 故答案为． 任务2：因为小明在本店购买了1套明信片与4个吉祥物钥匙扣，共花费130元， 所以， 解得， ． 答：吉祥物钥匙扣的售价为30元/个，明信片的售价为10元/套． 任务3：设购买吉祥物钥匙扣个，明信片套， 根据题意，得，所以． 因为是非负整数， 所以或或或或或 因为每个吉祥物钥匙扣利润为（元），每套明信片利润为（元）， 购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60套，商家获利300元； 购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48套，商家获利270元； 购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36套，商家获利240元； 购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套，商家获利210元； 购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12套，商家获利180元； 购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0套，商家获利150元． 答：可行的购买方案有购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60套；购买吉祥物钥匙扣5个，明信片48套；购买吉祥物钥匙扣10个，明信片36套；购买吉祥物钥匙扣15个，明信片24套；购买吉祥物钥匙扣20个，明信片12套；购买吉祥物钥匙扣25个，明信片0套．购买吉祥物钥匙扣0个，明信片60套商家获利最高． 14.（24-25七年级下·浙江衢州·期中）某市人民政府为了促进消费决定发放2025年消费券，其中消费券分为三种类型，如表： A型 B型 C型 满199减76 满99减36 满49减16 在此次活动中，小柯领到了三种不同类型的“消费券”若干张，准备给妈妈买礼物． (1)若小柯同时使用三种不同类型的“消费券”消费，共优惠了272元，已知她用了2张A型“消费券”，3张C型“消费券”，则她用了_______张B型“消费券” (2)若小柯同时使用了5张A、B型“消费券”，共优惠了260元，那么她使用了A，B型“消费券”各几张？ (3)若小柯共领到三种不同类型的“消费券”各8张（部分未使用），她同时使用A、B、C型中的两种不同类型的“消费券”消费，共优惠了184元，请问有哪几种消费券的使用方案？选哪一种方案小柯实际付款金额最少？ 【答案】(1) (2)她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张； (3)有3种使用方案：①A型“消费券”张， B型“消费券”张；②A型“消费券”张， C型“消费券”张；③B型“消费券”张， C型“消费券”张；使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，小柯实际付款金额最少． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程（组）的应用，有理数混合运算的应用，理解题意是解题关键． （1）设她用了张B型“消费券”，根据不同类型的“消费券”的优惠金额和张数列方程求解即可； （2）设她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，根据“同时使用了5张A、B型“消费券”，共优惠了260元”，列二元一次方程组求解即可；使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，小柯实际付款金额最少． （3）设小柯使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，C型“消费券”张， 由题意可知，、、均为正整数，且，，，分三种情况讨论：根据优惠金额列二元一次方程，从而得到、、的可能取值，再分别求出实际付款金额，即可求解． 【详解】（1）解：设她用了张B型“消费券”， 由题意得：， 解得：，即她用了张B型“消费券”， 故答案：； （2）解：设小柯使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张， 由题意得：，解得：， 答：她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张； （3）解：设小柯使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，C型“消费券”张， 由题意可知，、、均为正整数，且，，， ①若她使用了A、B型“消费券”， 则， 化简得：， 此时，、的可能取值为，； ②若她使用了A、C型“消费券”， 则， 化简得：， 此时，、的可能取值为，； ③若她使用了B、C型“消费券”， 则， 化简得：， 此时，、的可能取值为，； 即有3种使用方案：①A型“消费券”张， B型“消费券”张；②A型“消费券”张， C型“消费券”张；③B型“消费券”张， C型“消费券”张； 若她使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张， 则实际付款金额为元； 若她使用了A型“消费券”张， C型“消费券”张， 则实际付款金额为； 若她使用了B型“消费券”张， C型“消费券”张， 则实际付款金额为， 即使用了A型“消费券”张， B型“消费券”张，小柯实际付款金额最少． 15.（24-25七年级下·浙江宁波·期中）根据以下素材，完成任务． 解决挖掘机的租用和保养问题 素材1   为满足市民全龄化健身需求，某地拟新建一座全民健身中心．受施工场地限制，需确保土石方开挖效率达到/小时．经方案比选，决定采用甲、乙两种型号挖掘机协同作业，相关设备技术参数及租赁信息如下表所示： 型号 挖掘土石方量（单位：/台•时） 租金（单位：元/台・时） 甲型 180 240 乙型 270 300 素材2 为确保挖掘机自锁机构稳定运行，需定期开展系统维护保养工作，对失效弹簧及磨损钢球应及时更换．当前维保预算为元，若购买21根弹簧和17颗钢球，则维保预算还缺45元；若购买20根弹簧和15颗钢球，则维保预算还剩25元． 问题解决 任务1 制定租用计划 若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量．甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ 任务2 探究租用方案 若租用甲、乙两种型号的挖掘机不限台数，且每种型号的挖掘机至少租用1台，恰好完成每小时的挖掘量，请问有哪几种租用方案？ 任务3 确定维保费用 基于任务2中租金最少的方案，现为每台挖掘机分别配备2根弹簧和1颗钢球，并额外购买1根弹簧和1颗钢球作为备用，则实际维保费用为 元（用含的代数式表示）． 【答案】任务1：甲、乙两种型号的挖掘机各需租用2、6台；任务2：一共有3种方案，①租甲型挖掘机8台，乙型挖掘机2台；②租甲型挖掘机5台，乙型挖掘机4台；③租甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台；任务3： 【分析】本题考查了二元一次方程（组）的应用，解题的关键是： 任务1：设甲、乙两种型号的挖掘机各需租用x、y台，根据“租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量”列方程组求解即可； 任务2：设甲、乙两种型号的挖掘机各需租用m、n台，根据“恰好完成每小时的挖掘量”列出二元一次方程，然后根据m、n是正整数求解即可； 任务3：分别计算任务2中各方案的费用，比较得出租金最少的租用方案，设一根弹簧的价格为a元，一颗钢球的价格为b元，根据“购买21根弹簧和17颗钢球，则维保预算还缺45元；若购买20根弹簧和15颗钢球，则维保预算还剩25元”列方程组，借至得出，代入方案③的实际维保费中，即可求出结论． 【详解】解∶任务1 ∶设甲、乙两种型号的挖掘机各需租用x、y台， 根据题意，得， 解得， 答：甲、乙两种型号的挖掘机各需租用2、6台； 任务2：设甲、乙两种型号的挖掘机各需租用m、n台， 根据题意，得， ∴， 又m、n是正整数， ∴或或， ∴一共有3种方案，具体如下： ①租甲型挖掘机8台，乙型挖掘机2台； ②租甲型挖掘机5台，乙型挖掘机4台； ③租甲型挖掘机2台，乙型挖掘机6台； 任务3：任务2中方案的费用如下： ①元；②元；③元； ∵， ∴方案③的费用最少， 设一根弹簧的价格为a元，一颗钢球的价格为b元， 根据题意，得， ∴，， ∴方案③的实际维保费为 （元）， 故答案为：． 地 城 考点04 三元一次方程组 一、选择题 1.（21-22七年级下·浙江杭州·期中）若，则x+y+z的值为（　　） ． A．10 B．12 C．14 D．20 【答案】B 【分析】根据题意将x和z用y的式子表达出来，代入最后一个式子求解即可． 【详解】解：， 可以解得：x=8-y；z=6-y， 代入中， 得，， 解得y=2，再代入原方程， 解得x=6，z=4， ∴x+y+z=12 故选B． 【点睛】本题考查了已知式子的值，求代数式的值和解三元一次方程组，解决本题的关键是运用完全平方公式进行运算． 2.（21-22七年级下·浙江杭州·期中）已知是方程组的解，则的值为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】把代入方程组，然后把三个方程相加，即可求出答案 【详解】解：根据题意， 把代入方程组，得， 由①+②+③，得， ∴； 故选：A 【点睛】本题考查了方程组的解，加减消元法解方程组，解题的关键是掌握解方程组的方法进行计算 3.（24-25七年级下·浙江湖州·期中）把形状大小完全相同的小长方形卡片（如图1）按不同方式、不同数量、不重叠地放置于相同的大长方形中（如图2、图3），大长方形的一边长为，其未被卡片覆盖的部分用阴影表示．已知图2和图3阴影部分的周长之比为，则大长方形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的实际应用，理解题意和图形、正确列出方程是解题关键． 设小长方形的长为，宽为，大长方形的另一边长为，根据题意和图形建立方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为，大长方形的另一边长为， 根据题意，得：， ， ， 将①代入，得：， 解得：， 经检验，是方程的解， 大长方形的周长为． 故选：D． 4.（20-21七年级下·浙江·期中）小明到文具店购买文具，他发现若购买4支钢笔、2支铅笔、1支水彩笔需要50元，若购买1支钢笔、3支铅笔、4支水彩笔也正好需要50元，则购买1支钢笔、1支铅笔、1支水彩笔需要（    ） A．10元 B．20元 C．30元 D．不能确定 【答案】B 【分析】设购买1支钢笔、1支铅笔、1支水彩笔分别需要x、y、z元，根据题意得：， ①+②得：5x+5y+5z=100，所以x+y+z=20，从而确定正确的选项． 【详解】解：设购买1支钢笔、1支铅笔、1支水彩笔分别需要x、y、z元， 根据题意得：， ①+②得： 5x+5y+5z=100， 所以x+y+z=20， 故选：B． 【点睛】考查了三元一次方程组的知识，解题的关键是发现方程组中三个未知量的关系并巧妙的求得x+y+z的值，难度不大． 二、填空题 5.（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若是从1，0，这三个数中取值的一列数，，，问中有______个0． 【答案】133 【分析】本题考查了数字规律题，三元一次方程组的应用，根据题意找出规律列方程组是解题关键．设1，0，这三个数的各数分别为、、，利用总个数为建立方程，根据这三个数的特点，由总和得出，由平方和得出，再解三元一次方程组即可． 【详解】解：设1，0，这三个数的各数分别为、、， 根据题意得：， 由得：， 由得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 即中有133个0， 故答案为：133． 6.（22-23七年级下·浙江温州·月考）购买铅笔7支，作业本6个，中性笔4支共需33元；购买铅笔5支，作业本5个，中性笔3支共需26元；则购买铅笔2支，作业本1个，中性笔1支共需_______元． 【答案】7 【分析】首先假设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，中性笔的单价是元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需元．根据题目说明列出方程组，解方程组求出的值，即为所求结果． 【详解】解：设铅笔的单价是元，作业本的单价是元，中性笔的单价是元．购买铅笔2支，作业本1本，中性笔1支共需元． 则由题意得： ， 由①②得， 于是：， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了列三元一次不定方程组解实际问题的运用，解题的关键是在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． 三、解答题 7.（21-22七年级下·浙江杭州·期中） 【答案】 【分析】先用②+③求得x，然后代入②得：y＝x＋3z－4 ④，再将④代入①可求得z，然后将x、z代入④可求得y． 【详解】解： ②＋③得： 5x＝2， ∴x＝， 由②得：y＝x＋3z－4 ④， 将④代入①得： 2x－3（x＋3z－4 ）＋4z＝12， 解得：z＝－， 将x＝，z＝－代入④得： y＝－， ∴原方程组的解为：． 【点睛】本题主要考查了三元一次方程组的解法，掌握加减消元法和代入消元法是解答本题的关键． 8.（20-21七年级下·浙江·期中）解方程组： （1）       （2） 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组利用代入消元法求解即可． 【详解】解：（1）， ②-2×①得：， 解得：，代入①中， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）方程组变形为， 将①、③分别代入②中，得， 解得：，分别代入①、③中， 解得：，， ∴方程组的解为：． 【点睛】此题考查了解二（三）元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． 9.（21-22七年级下·浙江台州·期中）在我校艺术节的各项比赛中，七年级某班同学取得了优秀的成绩，为了表彰同学们，王老师特意到新华书店买书给学生作为奖励，书城二楼专设折售书架，销售文教类图书，部分书籍和标价如下表： 文教类图书 原价（元） 中国历史故事 50 名人名言 20 幻夜 25 (1)若王老师在书城买了《中国历史故事》和《名人名言》一共本，共付了元钱，请求出这两种书王老师各买了多少本？ (2)若王老师买了以上三种书每种都有本，共付了元钱，求王老师的购买方案？ 【答案】(1)购买《中国历史故事》5本，《名人名言》15本； (2)《中国历史故事》买了1本，《名人名言》买了15本，《幻夜》买了4本 【分析】（1）设购买《中国历史故事》x本，《名人名言》y本，根据题中相等关系可得，解方程组可得答案； （2）设三种书分别买了x本、y本、z本，根据题中相等关系可得：，再利用方程组的解为正整数，从而可得答案． 【详解】（1）解：设购买《中国历史故事》x本，《名人名言》y本，根据题意得： ，解得：， 答：购买《中国历史故事》5本，《名人名言》15本； （2）设三种书分别买了x本、y本、z本，根据题意得： ， 消去z得：20x-4y=-40， ∴y=5x+10， ∵x、y都是正整数， ∴ ∴《中国历史故事》买了1本，《名人名言》买了15本，《幻夜》买了4本． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，三元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系列方程组是解本题的关键． 10.（24-25七年级下·浙江杭州·期中）2024-2025年度中国篮球联赛（）决赛的门票价格如下表： 等级 A B C 票价（元/张） 未知 未知 150 小聪带了2700元购票款前往购票，若购买2张A等票和5张B等票，付款2500元；若购买4张等票和1张等票，付款2300元． (1)求等票和等票每张分别为多少元？ (2)若小聪要将2700元的购票款全部用于购买这三种门票，并且每种门票至少一张，请写出购买方案． 【答案】(1)等票和等票每张分别为元和元 (2)方案一：购买3张等票，张等票，张等票；方案二：购买3张等票，张等票，张等票；方案三：购买3张等票，张等票，张等票 【分析】本题考查二元一次方程组和三元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）设等票和等票每张分别为元和元，根据购买2张A等票和5张B等票，付款2500元；购买4张等票和1张等票，付款2300元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买三种门票分别为张，列出三元一次方程，求出正整数解即可得出结果． 【详解】（1）解：设等票和等票每张分别为元和元，由题意，得： ，解得：； 答：等票和等票每张分别为元和元； （2）设购买三种门票分别为张，由题意，得： ， ∴， ∵均为正整数， ∴或或； 故共有3种方案， 方案一：购买3张等票，张等票，张等票； 方案二：购买3张等票，张等票，张等票； 方案三：购买3张等票，张等票，张等票． 11.（22-23七年级下·浙江宁波·期中）下表为装运甲、乙、丙三种蔬菜的质量及利润情况，某汽运公司计划装运甲、乙、丙三种蔬菜到外地销售（每辆汽车按规定满载，且每辆只能装一种蔬菜）． (1)若用14辆汽车装运乙、丙两种蔬菜共17吨到A地销售，问装运乙、丙两种蔬菜的汽车各多少辆？ 甲 乙 丙 每辆汽车能装的吨数 2 1 每吨蔬菜可获利润（百元） 5 7 4 (2)计划用30辆汽车装运甲、乙、丙三种蔬架共48吨到B地销售，要求装运甲种蔬菜的汽车不少于1辆且不多于10辆．该如何安排装运才能获得最大利润？并求出最大利润． 【答案】(1)装运乙、丙两种蔬菜的汽车分别为12辆和2辆 (2)安排甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为9辆、15辆、6辆时，才能获得最大利润，最大利润为25500元 【分析】（1）设装运乙种蔬菜的汽车为辆，则装运丙种蔬菜的汽车为辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为辆、辆、辆，可以得到出，即可得，根据、、都为自然数，可得为3的倍数，结合，可得或或，问题随之得解． 【详解】（1）解：设装运乙种蔬菜的汽车为辆，则装运丙种蔬菜的汽车为辆． 列方程：， 解得． 即． 答：装运乙、丙两种蔬菜的汽车分别为12辆和2辆； （2）解：设装运甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为辆、辆、辆， 则， 得：， ∴， ∴． ∵、、都为自然数， ∴为3的倍数， 又∵， ∴或或， ∴或或， 当时，利润为：（元）， 当时，利润为：（元）， 当时，利润为：（元）， 由上可知，最大利润为元． 答：安排甲、乙、丙三种蔬菜的汽车分别为9辆、15辆、6辆时，才能获得最大利润，最大利润为25500元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用以及三元一次方程组的应用，明确题意，正确列出方程，是解答本题的关键． 12.（22-23七年级下·浙江·期中）初春是甲型流感病毒的高发期．为做好防控措施，我校欲购置规格的甲品牌消毒液和规格的乙品牌消毒液若干瓶．已知购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元． (1)求甲，乙两种品牌消毒液每瓶的价格； (2)若我校需要购买甲，乙两种品牌消毒液总共，则需要购买甲，乙两种品牌消毒液各多少瓶（两种消毒液都需要购买）？请你求出所有购买方案； (3)若我校采购甲，乙两种品牌消毒液共花费元，现我校在校师生共人，平均每人每天都需使用的消毒液，则这批消毒液可使用多少天？ 【答案】(1)甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； (2)方案一：购买15瓶甲消毒液，5瓶乙消毒液；方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液；方案一：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液； (3)这批消毒液可使用5天． 【分析】（1）设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，根据购买3瓶甲品牌消毒液和2瓶乙品牌消毒液需要80元，购买1瓶甲品牌消毒液和4瓶乙品牌消毒液需要110元列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶,根据甲，乙两种品牌消毒液总共列出方程，求出方程的所有整数解，即可得到答案； （3）设购买甲品牌消毒液p瓶，购买乙品牌消毒液q瓶,设使用t天，根据购甲，乙两种品牌消毒液共花费元，全校师生一天共需要消毒液，列出方程组，变形后代入即可得到答案． 【详解】（1）解：设甲品牌消毒液每瓶的价格为x元，乙品牌消毒液每瓶的价格为y元，由题意可得， 解得， 答：甲品牌消毒液每瓶的价格为10元，乙品牌消毒液每瓶的价格为25元； （2）设需要购买甲品牌消毒液m瓶，购买乙品牌消毒液n瓶,则由题意可得， ， 整理得，， 当时，, 当时，, 当时，, 方案一：购买15瓶甲消毒液，5瓶乙消毒液； 方案二：购买10瓶甲消毒液，4瓶乙消毒液； 方案一：购买5瓶甲消毒液，6瓶乙消毒液； （3）设购买甲品牌消毒液p瓶，购买乙品牌消毒液q瓶,设使用t天，则由题意可得， ， 由①得③， 把③代入②得，， 解得， 答：这批消毒液可使用5天． 【点睛】此题考查了二元一次方程组和三元一次方程组的应用，读懂题意，正确列出方程和方程组是解题的关键． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $