河南光山县第二高级中学等校2025-2026学年高二下学期第一次月考（内部练）数学试卷

秘密★启用前 高二内部练 数学（人教版） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡 上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.函数fx)=在区间1，幻上的平均变化率为 A号 B号 c- D. 订 2.经过点(2，一1)且与直线4x十2y一1=0平行的直线方程为 A.2x+y-3=0 B.2x+y+3=0 C.x-2y-4=0 D.x-2y+4=0 3.已知向量a=(一2,1,0)，b=(0,2,4),则向量b在向量a上的投影向量的坐标为 A后-号 级 c) 4.已知圆C:x2+y2一2x+4y十a=0与x轴相切，则圆C被y轴截得的弦长为 名 A.1 B.3 C.2 D.23 1 5.在数列{an}中，a1=1,a+1一am n(n十1)，则agoe6= 2025 2027 c 4053 A.2026 B.2026 D.2026 6.已知函数f(x)=x十tanx,则lim f(0+2△x)-f0)= △+0 △x A.0 B.1 C.2 D.4 数学（人教版）试题第1页（共4页） 7.如图，在斜三棱柱ABC-A,B,C1中，AB=BC=BB1,∠ABB,=120°，∠ABC= ∠B,BC=90°，则直线AC1与直线B,C所成角的余弦值为 C A号 B② cv 4 D号 8.定义两点A(x1,y1),B(x2y2)的倒影距离DB=|x1一y2十x2一y1.若A(x十1， 1),B(2x,3lnx),则DAB的最小值为（附：e>27) A号 B.2 C.3 D.2+3血2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.记S,为等差数列{an)的前n项和，已知a3=一1，S4=一8，则 A.a1=-7 B.a=2n-7 C.S,=n2-6n 10.已知函数f(x)=一x3+3x一2，则 A.f(x)有两个极值点 B.当0<x<1时，f(x2)<f(x) C.f(x)有三个零点 D.不等式f(x)<0的獬集为{x|x>一2，且x≠1}》 11.已知点A1,1在双曲线，C名-=1@>0，b>0的渐近线上，F1,P2分别是C的 左、右焦点，P是C的左支上的一动点，则 A.C的离心率为√2 B.存在点P,使得△PF1F2为等腰直角三角形 户到℃的两条渐近线的距离之积为定 D.IPF2≤(3+2E)|PF,l 数学（人教版）试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.在等比数列a,)中，a,=写a=2,则a,= 13.已知抛物线C:y2=2x(p>0)的焦点为F,点P在C的准线上且位于第二象限内， 线段PF与C交于点Q,且|PQ|=2,QF|=1,则p=一， 14.在直四棱柱ABCD-A,B1C,D1中，AD⊥AB,AB=3,AD=1,DC=2,∠ADC= 135°，若线段AD1,BD1,CD1上分别存在点E,F,H,使得四边形DEFH为菱形，则 直四棱柱ABCD-A,B,C1D1的体积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数f(x)=az+2-1nx(a∈R),且f'(1)=-2. (1)求a的值； (2)求f(x)的单调区间. 16.(15分) 如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，平面PCD⊥平面ABCD,AB=4BC= 4,PC=PD=2√2，∠DAB=60°. (1)证明：AD⊥PB; (2)求平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值. 17.(15分) 已知椭圆c:名+ +芳=1>6>0经过A-5,},B0,-1)同点 (1)求C的标准方程， (2)设直线l:y=一x十m(m为实数)与C相交于不同于A,B的两点P,Q. 8√2 (i)若|PQ= ;,求△BPQ的面积； (iⅱ)若直线AP与y轴交于点E,直线AQ与y轴交于点F,证明：|AE引=|AF|. 18.(17分) 设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=2,Sm=am+1十n-2. (1)证明：{an一1}是等比数列； (2)若bn=nan,求数列（亿n)的前n项和Tm; (3)记cn=[log2(am一l)]2,若不等式(a+1一a2a+1)m≥cm一6恒成立，求实数m的取 值范围. 19.(17分) 已知函数f(x)=一(x十1)ex. (1)求f(x)的最小值. (2)设曲线y=f(x)在点M(一1,0)处的切线为L. (1)证明：曲线y=f(x)不在直线l的下方； (i)若a≠b,且f(a)=f(b)=c,证明：a+b>1+2-)c 高二内部练 数学（人教版） 参考答案 1.c 【解析】f(x)=在区间[1,4]上的平均变化率 2 lim f(0+2△x)-f0=2f'(0)=4. △r*0 2△.x 1 故选D. 一1 4 1 为4一1 7.A【解析】设BA=a,BC=b,BB,=c,且|a|= 41 |b|=|c|=2,所以a·b=b·c=0,a·c=-2, 故选C. AC:=AC+CC;=BC-BA+CC=b-a+c, 2.A【解析】设与直线4x+2y一1=0平行的直线方 ACl=√(b-a+c)z= 程为4x+2y+m=0,则4×2+2×(-1)+m=0, yb2+a2+c2-2a·b-2a·c+2b·c=4, 解得m=一6，所以所求的直线方程为4x+2y一6 又B,C=BC-BB,=b-c,则|B,C1= =0,即2x+y-3=0. 故选A. √(b-c)=22, AC·B,C=(b-a+c)·(b-c)=b2-a·b+ 3.B【解析】向量b在向量a上的投影向量的坐标 a·c-c2=-2, 为日-号-21.o0=(号 所以|cos<AC,B,C>|= AC.BC 1AC,I·IB,C 故选B. -2 4.D【解析】圆C:x2+y2一2x+4y+a=0化为标 4X2√2 准方程为(x一1)2+（y+2)2=5一a,由题意可知， √5-a=2,所以a=1,所以(x-1)2+(y+2)2= 则直线AC,与直线B,C所成角的余弦值为 8 4,显然圆心(1，一2)到y轴的距离为d=1,圆C的 故选A, 半径r=2,所以圆C被y轴截得的弦长为 8.C【解析】由倒影距离可知，DB=|x+1一3lnx|十 2√r2-d=2√5. 12x-1|, 故选D. 设f(x)=x+1-3lnx, 111 5.C【解析】由a+1-a,一m+”n,得 则f)=1-2-3,当0<3时f) x 0,当x>3时，f'(x)>0, an=(an-am-1)+(an--am-2)+…+(a2-a1)+ 所以∫(x)在(0,3)上单调递减，在(3，+∞)上单调 =()+(点)++0- 递增，则f(.x)≥f(3)=4-3ln3>0(因为e>27). 则DB=x+1-3lnx+|2.x-1|, 分)+1=2-2 n 令g(x)=x+1-3lnx+|2x-1,当x>2时， 4051 所以a226=2026 gx)=3x-3lnx,则g'(x)=3-3=3x-3 x 故选C 6D【解折】了(x)=1+(0}=1十 当2<x<1时，g(x)<0,当x>1时，g(x)>0, t=1+则r0=1+2, 所以g(x)在（分，1）上单调递减，在(1，十∞)上单 cosx 调递增，则g(x)mim=g(1)=3-3ln1=3. 所以lim f(0+2△x)-f(0) △x 当0<x≤2时，g()=2-x-3lhx,显然3a) ·数学（人教版）答案（第1页，共5页）· 在(0，]上单调递减，所以g(x)一=g(分) a=b, 所以C的离心率为e=S a2+b2 号+38h2>3,所以Du的最小值为3. aa? =√2，A 正确； 故选C 若△PF1F2为等腰直角三角形，则PF:⊥FF2, 9.BC【解析】设等差数列{an}的公差为d,由条件 a1+2d=-1, |F,F2|=|PF,|,所以|PF2|=√4c+4cZ= 可知，《 4a1+6d=-8, 解得a1=-5,d=2,A 2√2c, 错误； 根据双曲线的定义可知，|PF2|-|PF|=2a, 所以aw=一5十2(1一1)=2n一7，B正确； 所以2√2c一2c=2a,解得e=√2+1，与A项矛 S,=n(a1十a=n2-6n,C正确： 盾，所以不存在点P,使得△PF,F2为等腰直角 2 三角形，B错误； 子-受-0-9号--号当4neN时 A-}0,所以<号，D错误， 设P(,)则-芳=1，则点P到C的新证 故选BC. 线ay-bx=0的距离为d,=a。-r, Va+b 10.ABD【解析】f'(x)=-3.x2+3,由'(x)= 点P到C的渐近线ay+bx=0的距离为 -3x2+3>0,解得-1<x<1,由f'(x)=-3.x2+ layo+bxo 3<0,解得x<-1或x>1,所以∫(x)在(-∞， d2= Va2+b* 一1)和(1，十∞)上单调递减，在（一1,1）上单调递 增，所以x=一1，x=1分别为∫(x)的极小值点 所以d,d2= Iay。-bxol.lay+bol_ √a2+b √a2+b 和极大值点，则∫(x)有两个极值点，A正确； 因为0<x<1,所以0<x2<x<1,根据f(x)在 la'y8-b'xil_a'b'_a2 a2+b2 a+b=2C正确： (0,1)上单调递增，所以∫(x2)<∫(x),B正确； f(x)极小做=∫（一1）=一4<0，∫(x)级大价= IPF:I2a+PF,I 2a PF. PF. 1+<1+ f(1)=0,f(-3)=16>0, 令f(x)=-x3+3x-2=0, 又=区商u<+22, 得一x3十4.x一x一2=0，整理得一（x+2)(x一 1)2=0,解得x1=一2，x2=1, 则|PF2≤(3+2√)|PF,1,D正确. 结合(x)的单调性，作出f(x)的大致图象， 故选ACD. 12.20【解析】由等比数列的性质可知，a3ag=a,所 f(x) 以5a,=4,所以a,=20. 【解析】如图所示，设C的准线（与x轴交于 点A,过Q作l的垂线，垂足为D, 由上图可知，f(x)有两个零点，C错误； 结合图象可知，不等式∫(x)<0的解集为 {xx>一2，且x≠1}，D正确. 故选ABD, .ACD【解桥因为点A,ID在双曲线C: 由抛物线的定义可知，|DQ|=|QF|=1,在Rt 10>0.6>0的渐近线上所以1，所现 △PDQ中，|PQ|=2|DQ|,所以∠APF30, ·数学（人教版）答案（第2页，共5页）· 在Rt△APF中，|PF|=2|AF|=2p, 15解：(1)=a-是-} (2分) 则2p=PQ1+1QF=3,所以p=2 由题意可知，a一2一1=一2， (4分) 14.①4 解得a=1. (6分) 2 【解析】如图，以A为原点，以AB,AD, (2)易知f(x)的定义域为(0，+∞). (7分) AA,所在直线分别为x,y,之轴建立如图所示的 (1)可知，f(x)=1-2-1=2-x-2- 空间直角坐标系， x2-x (x+1)(x-2) (8分) 令'(x)<0,解得0<x<2: (10分) 令f'(x)>0,解得x>2, (12分) 所以f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区 间为(2，十∞).(2处取开区间或闭区间均可) (13分) 则A(0,0,0),B(3,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0), 16.解：(1)证明：取CD的中点O,连接PO,因为 设D1(0,1,之0)(0>0)，则D1A=(0,-1, PC=PD=2E,所以PO⊥CD, -o),D1D=(0,0,-o), 因为平面PCD⊥平面ABCD,平面PCD∩平面 D1B=(3,-1,-x0),D1C=(1,1,-0), ABCD=CD,POC平面PCO,所以PO⊥平面 设D,E=入D1A=(0,-入，-Xxo),D1F=D1B= ABCD, (2分) (3μ，-，-o),D1i=D1C=(1,l,-z),其 以O为原点，以OC,OP所在直线分别为y,之 中入，，t∈[0,1]， 轴，以在平面ABCD内垂直于CD的直线为x 所以D龙=D1龙-D1D=(0,-λ，(1-X)z), 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xy之. H=D1京-D1i=(3μ-1，-u-t,(1-r)zo), 因为DEFH为菱形，所以D苑=H市，则 3μ一1=0， 1-4=1-λ， 则D应--号-号，-D正-D正 因为OC=2,PC=2√2，所以OP=√PC-OC= (分-6-日)-(0，-子-号）-（分 2, 小 则D0-20A停-)，B停是)， 由1D=,得号+号好=子++ P00.2,所以Di=(停-合0)，Pi=(停 子，解得，=厘 7 -2, (4分) 故直四棱柱ABCD-A,B,C,D,的体积为V= 因为成，防-停×g-×号-0， (6分) (SAm+SaAx)·DD,=(分X3X2+2X1X 所以DALPB,故AD⊥PB. (7分) 刂× (2)由(1)可知，AB=(0,4,0), (8分) 2 设平面PAB的一个法向量为m=(.xy,z) ·数学（人教版）答案（第3页，共5页）· PB·m=0 3 03 0得2x+2y-2=0取= 5 5 5 y2 由 5 AB.m=0 (i)证明：kAP十kAQ= 4y=0, +6 5 + 5 √3，则m=(4,0W3). (10分) 由(1)知，Ox⊥平面PCD,则n=(1,0,0)是平面 -:+）+6-+】 PCD的一个法向量. (12分) 设平面PAB与平面PCD的夹角为0， ++g cos 0=I cos<m,n>= m·n (11分) lm·n 19 (-+m-)(,+15）+(-x,+m-5)(,+45) 4√19 19, (,+4)(+) 故平面PAB与平面PCD的夹角的余弦值为 419 -21:+m-5t+85- 19 (15分) 16 (++4） 5a2 561, (12分) 17.解：(1)依题意，得 (1分) 1 61, -2X4m2- +号mm-5)+5a-) 5 解得a2=4,b2=1, (3分) +6 5 5 故C的标准方程为4十y=1. (4分) =0, (13分) [y=-x+m, (2)由 得5.x2-8m.x+4m2-4=0, 显然直线AP,AQ关于直线y= 5 对称，又y= 4+y2-1, 所以△=(-8m)2-4×5×(4m2-4)=80- 与y轴垂直，则y-重直平分线段EF。 5 16m2>0,解得-√5<m<√5. (14分) 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2= 5m, 故|AE|=|AF· (15分) 18.解：(1)证明：由Sn=aw+1十n一2，得当n≥2时， x1c,=m-4, 5 (5分) Sm-1=an+(n-1)-2, 两式相减得an=am+1一an十1，即am+1=2an一1， （i)所以|PQ|=√1+(-1)F|x1-x2|=2× (1分) Vx,+-4西-4xV5=m，6分) 5 所以am+1-1=2(an-1)(n≥2)， (2分) 由题意可知4EX√5=m-8 由a,=2,得a2=a1十1-3，所以二 5 5 a1-72, (3分) 解得m=±1， (7分) 当m=一1时，直线l:y=一x一1经过点B,不合 所以。1、1 =2(n∈N*), (4分) an-1 题意，所以m=1. (8分) 故{an一1}是等比数列. (5分) 则点B到直线l:y=一x十1的距离为d= -1-1=2, (2)由(1)可知，aw-1=(a1一1)·2"-1=2"-1，所 (9分) V2 以an=2”-1+1, 则bn=1an=n·2-1十n, (6分) 5 (10分) Tn=(1×2°+2×2+…+n·2"-1)卜(1+2+ ·数学（人数版）答案（第4页，共5页）· 3+…+n)=(1×2°+2X2+…+n·2"-1)十 (i)设g(x)=-e(.x+1)-f(.x)=-e(x+1)+ n(n+1) (.x十l)er,则g'(x)=-e-xer, 2 (7分) 令h(x)=-e-xe',则h'(x)=(x-1)er, 设An=1×2°+2×2十…十n·2m-1, 当x>1时，h'(x)>0,当x<1时，h'(x)<0, 则2An=1×2+2×22+…十n·2", 所以h(x)在（一∞，1）上单调递减，在(1，+∞)上 两式相减得一An=2°+2+…+2”-1一n·2”= 单调递增， (6分) 1-2" 1-2-0·2”=(1-n)·2”-1, 又h(1)=-e二。<0，h(-1)=0,且x>1时) 所以Am=(n-1)·2"+1, (9分) h(x)<0, 故T。=An++) 2 =(n-1)·2”+ 所以当x<一1时，h(x)>0,即g'(x)>0,当 x>-1时，h(x)<0,即g'(x)<0, n2+n+2 2 (10分) 所以g(x)在（一∞，一1）上单调递增，在（一1， (3)由(2)可知，an=2-1十1，a7+1-a2n+1= 十∞)上单调递减， (8分) (2”+1)2-22m一1=2"+1， 则g(x)≤g(-1)=0,即-e(x+1)≤-(x+1)× cn=[log2(an-1)]2=(log22m-1)2=(n-1)2, e,当x=一1时取得等号， (11分) 故曲线y=∫(x)不在直线l的下方. (10分) 由题意可知，m≥ cm-6_=(n-1)2-6 (iⅱ)因为f(-1)=0,且f(x)在(-∞，0)上单调 7+1一a2m+l 2n+1 递减，故当x<一1时，f(.x)>0;且易知x∈(0， (12分) +∞)时，∫(x)<0,又f(a)=∫(b)=c,故-1< 令d.=a1=6,则d1-d,=-9- c0, 2n*1 20+2 不失一般性，取一1<a<0<b, n-1)2-6=-m2+4n+4 设点(d,c)在切线y=一e(.x十l)上，则c=一e(d+ 20+1 2”+2, (13分) 1.所以d=-名-1， (11分) 令-n2+4n+4<0,解得n>2+2√2，n∈N·,所 以数列{dn}在{∈Nn>2+2√2}上单调递 由(i)可知，a>d=-￡-1， (12分) e 减； (14分) 令-n2+4n+4>0,解得n<2+2√2，n∈N·,所 要证a+b>1+(2-)c,证出a+b>-名 以数列(dn}在{∈N·<2+2√2}上单调递 1+6>1+(2-)e即可， 增： (15分) 又d,=是d,=9=是=放d,>d,所以 5 即证b>2+2c=2-2(b+1)e-b, (14分) 令m(.x)=x+2(x+1)er-2(x>0),则 m'(.x)=1-2.xe-r, {dn}的最大项为d,= 32 16分) 令p(x)=1-2xe(x>0),则p'(x)=2(x- 故实数的取值范围为 32+o) (17分) 1)e-, 由上可知，p(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞) 19.解：(1)f'(x)=xe, (1分) 当x<0时，f'(x)<0,当x>0时，f'(x)>0, 上单调递增，且p(x)n=p(1)=1-2>0,即 e 所以f(x)在（一∞，0）上单调递减，在(0，十∞)上 m'(x)>0, 单调递增。 (3分) 所以m(.x)在(0，+∞)上单调递增，则m(x)> 故f(.x)min=f(0)=一1. (4分) m(0)=0, (16分) (2)证明：f'(一1)=一e,所以曲线y=f(x)在点 因此b>2+2c成立， M(一1,0)处的切线l的方程为y=一e(x+1), 故原不等式得证. (17分) (5分) ·数学（人教版）答案（第5页，共5页）·