3.5波的多解性问题 讲义-2026-2027学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

该高中物理讲义围绕“波的传播多解性问题”构建知识体系，通过分类梳理形成原因（周期性、双向性、隐含性）和解题方法，用表格总结波动周期性要点，清晰呈现知识脉络与重难点内在联系。 讲义亮点在于多解问题的分层练习设计，如质点振动方向与波传播方向不确定的例题分析，结合科学思维中的模型建构和科学推理，引导学生掌握通式建立方法，基础学生可掌握基本思路，优秀学生能深入探究多解情形，为教师实施精准分层教学提供支持。

波的传播多解性问题 知识点一：波的传播的多解性的形成原因 机械波传播过程中在时间和空间上的周期性、传播方向上的双向性、质点振动方向的不确定性都是形成波动问题多解的主要原因．解题时常出现漏解，现归类分析． 1．波动图像的周期性形成多解 机械波在一个周期内不同时刻图像的形状是不同的，但在相隔时间为周期整数倍的不同时刻图像的形状则是相同的．机械波的这种周期性必然导致波的传播距离、时间和速度等物理量有多值与之对应，即这三个物理量可分别表示为：，，，其中；． 2．波的传播方向的双向性形成多解 在一维条件下，机械波既可以向轴正方向传播，也可以向轴负方向传播，这就是波传播的双向性． 3．波形的隐含性形成多解 许多波动习题往往只给出完整波形的一部分，或给出了几个特殊点，而其余部分处于隐含状态．这样，一道习题就有多个图形与之对应，从而形成多解． 由于波动的时间周期性、空间周期性及传播的双向性，从而造成波动问题的多解．解题时要先建立通式，再根据限制条件从中取出符合题意的解． 知识点二;波的传播的多解性的解题方法 1．多解问题的解题技巧 （1）方向性不确定出现多解． 波总是由波源发出向外传播的，介质中各质点的振动情况是根据波的传播方向来确定的，反之亦然．因此，题目中不确定波的传播方向或者不确定质点的振动方向，就会出现多解，在解题时往往凭主观选定某一方向为波的传播方向或质点振动方向，这样就会漏掉一个相反方向的解． 【例】图为一列简谐横波在某时刻的波形图，其中点为介质中一质点，此时刻恰好过平衡位置，已知振动周期为，问至少过多长时间达到波峰位置？ 【解析】题设条件中没有给出点过平衡位置的振动方向，也没给出波的传播方向，故我们应分情况讨论，当波向右传播时，点向下振动，则至少经过才能达到波峰；当波向左传播时，质点向上振动，则至少需要才能够到达波峰，所以此题应该有两个答案．即至少再经过或，点到达波峰． （2）时间、距离不确定形成多解． 沿波的传播方向，相隔一个波长的两个相邻的质点振动的步调是完全相同的，相隔一定周期的前后两个相邻时刻的波形图线是完全相同的，所以题目中没有给定传播时间与周期的关系或传播距离与波长的关系，就会出现多解现象，学生解题时只按小于或小于来解，就会造成用特解取代通解的现象． 【例】如图所示。实线表示时刻的波形图线，箭头表示波的传播方向，虚线表示经过时的波形图线，已知波长为，求波的传播速度是多大？ 【解析】此题并未给定传播距离，将实线波形和虚线波形相比较，在出时间内，波向右传播的距离可能是，，，即，则可求出波速的通解．即． （3）波形的隐含性形成多解． 在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定或者相位之间的关系不确定，就会形成多解，学生在想不到所有可能的情况下，就会出现漏解． 【例】如图所示，是一列简谐横波中的两点．某时刻，正处于正向最大位移处，另一点恰好通过平衡位置向方向振动．已知的横坐标分别为，，并且波长符合不等式：，求波长． 【解析】根据题目中点和点的位置，作出间的两种最简波形图（如图中的实、虚两种曲线波形）． ①由实线最简波形图写出这种情况的通式为，得． 所以波长通式为，其中，将依次代入通式解得，由已知的限制条件，波长应为或或，且该波向方向传播。 ②由虚线最简波形，写出这种情况的通式为，得，所以波长的通式，其中，将依次代入通式解得由已知的限制条件，波长应为或，且波向方向传播． 即波长可能为，，，，． 2．波动的周期性理解要点 内容 说明或提示 （1）质点振动路程的周期性 （2）传播距离的周期性： （3）传播时间的周期性： （4）传播速度可能的多解性： （1）式中为振幅，为不足一次全振动通过的路程 （2）式中为波长，是不足一个波长的那部分距离，如等 （3）式中为周期，是不足一个周期的那部分时间，如等 （4）式中 例题: 1．一列简谐横波沿x轴传播，a、b两质点平衡位置的横坐标分别为和，两质点水平距离大于一个波长小于两个波长，两质点的振动图像如图所示，下列说法错误的是（　　） A．如果该简谐波沿x轴正方向传播，则波长为11.2m B．如果该简谐波沿x轴正方向传播，则波速为5.6m/s C．如果该简谐波沿x轴负方向传播，则波长为8m D．如果该简谐波沿x轴负方向传播，则波速为5m/s 2．如图所示，实线和虚线分别表示沿x轴传播的一列简谐横波在和时刻的波形图，已知在时刻，介质中处的质点P沿y轴负方向运动，Q的纵坐标为，下列说法正确的是（　　） A．该波沿x轴正方向传播 B．内，质点P的路程可能为 C．若周期，则波速为 D．若周期，Q的振动方程为 3．水袖舞是中国古典舞中表达和抒发情感的常用技巧，舞者的手规律振动会传导至袖子上，给人一种“行云流水”的美感，如图甲所示。水袖舞简化为一列沿轴正方向传播的简谐横波，和时刻的部分波形分别为如图乙所示的实线和虚线，、分别是平衡位置为和的两质点。已知波的周期，下列说法正确的是（　　） A．时刻，质点沿轴正方向运动 B．质点振动周期可能为 C．波的传播速度大小可能为 D．内质点运动的路程可能为 4．正弦波因其数学简洁性、物理可实现性及能量集中特性，成为自然界和工程技术中最基础的“通用语言”。图中的实线是一列正弦波在某时刻的波形曲线，虚线是0.5s后它的波形曲线，则（　　） A．该波的周期可能为0.4s B．该波的波速大小可能为10m/s C．该波的波长可能为8m D．该波的波速大小可能为22m/s 5．如图甲所示，、是一列简谐横波沿传播方向上相距3m的两个质点，两质点的振动图像如图乙所示。下列说法正确的是（　　） A．该波一定是由向传播 B．该波的波长可能为4m C．该波的波速大小可能为 D．3s时质点的加速度最小，的加速度最大 6．在戏曲表演中演员通过水袖来表达人物情感，水袖指的是戏服上缀的一段白色绸布，因其舞动时形成“水波”故名水袖。某次表演时，演员有规律地抖动，在水袖上形成了一列简谐横波，在其传播方向上有相距的P、Q两点，某时刻观察到P、Q两点的高度差为，且速度相同。已知波长，A为振幅，运动周期。则波传播速度可能为（　　） A． B． C． D． 7．如图所示，一简谐横波在均匀介质中沿着x轴向左、右传播，其波源S位于原点处，振动频率为2Hz。质点P的平衡位置位于处，质点Q的平衡位置位于波源S的左侧（图中未画出）。当P到达波峰时，波源S恰好处于平衡位置，Q恰好到达波谷。已知（λ为该波的波长），下列说法正确的是（    ） A．机械波在介质中的波速可能为4m/s B．机械波的波长可能为3.2m C．质点Q的平衡位置坐标可能为 D．P与Q同时通过平衡位置时，振动方向相同 8．如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，实线为时刻的波形曲线，虚线为时的波形曲线，则波的传播方向和传播速度大小可能是（　　） A．沿x轴正方向传播，传播速度大小为14 B．沿x轴负方向传播，传播速度大小为30 C．沿x轴正方向传播，传播速度大小为10 D．沿x轴负方向传播，传播速度大小为26 9．如图所示，实线为艺术体操运动员舞动的彩带在时刻的波形（波形在竖直平面内且可视为正弦波），经过0.3s后，其波形如图中的虚线所示。已知该波的周期大于0.2s，则下列说法正确的是（　　） A．该波的波长为24cm，周期不可能是1.2s B．若该波沿轴的负方向传播，则波速一定是 C．若该波沿轴的正方向传播，则波速一定是 D．若该波沿轴的正方向传播，在时位于12cm的质点正朝轴负方向运动 10．一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上和处质点的振动图像分别如图甲、乙所示，则此列波的传播速率可能是（    ） A． B． C． D． 11．如图所示，实线是一列正弦波在时的波形图，虚线是的波形图中，振幅为。设该波的周期大于。 (1)如果波是向左传播的，求波的速度和周期； (2)如果波是向右传播的，写出平衡位置在处质点的振动方程。 12．在滇池治理中，利用浮标实时采集水温、溶解氧等关键参数，为湖泊生态健康评估、污染溯源及治理决策提供科学依据。湖面上漂着A、B两个浮标，它们相距10m，都可以视作质点。一列可视为简谐波的水波正在湖面上沿A、B连线传播，方向未知，每个浮标每分钟上下浮动30次。当A位于波峰时，B正好经过平衡位置向上运动。求： (1)这列水波可能的波长； (2)如果两个浮标之间有且只有一个波峰，求这列水波的波速。 13．一列沿x轴传播的简谐横波，在t=0时刻的波形如图实线所示，在t1=0.4s时刻的波形如图虚线所示，求： (1)若波向x轴负方向传播，且t1<T，写出x=1.5m处的质点的振动方程； (2)若波向x轴负方向传播，且T<t1<2T，求x=2m处的P质点第一次出现波谷的时刻； (3)若波向x轴正方向传播，求该波的波速。 14．一列简谐横波在x轴上传播，在t1=0和t2=0.05s时，其波形图分别用如图所示的实线和虚线表示，求： (1)这列波可能具有的波速； (2)当波速为280m/s时，波的传播方向如何？以此波速传播时，x=8m处的质点P从平衡位置运动至波谷所需的最短时间是多少？ 15．水袖是中国古典舞中用于情感表达和抒发的常用技巧，舞者的手有规律的振动传导至袖子上，给人营造出一种“行云流水”的美感，这一过程其实就是机械波的传播。现有一列沿轴方向传播的简谐横波，时刻的波形如图中实线所示，时的波形如图中虚线所示。已知：波的周期满足，求： (1)波的传播速度； (2)写出质点振动位移随时间变化的关系式。 16．如图所示，有一沿x轴传播的正弦横波，波长，实线为时间时的波形，原点恰处于波峰，虚线为时间时的波形，离原点最近的波峰其平衡位置。此波的周期用T表示。 (1)若此波为向右（x轴正方向）传播，且，则波速多大？ (2)若此波为向左（x轴负方向）传播，且，则波速多大？ (3)若此波的波速为74m/s，则其传播方向为向左还是向右？ 17．如图所示，实线是一列正弦波在某一时刻的波形曲线。经1s后，其波形如图中虚线所示。 (1)若该波的周期大于1s，且向左传播，求波的传播速度和周期； (2)若该波向右传播，求波的传播速度和周期； (3)若该波的传播速度为，分析说明该波向何方向传播。 18．一列简谐波在轴上传播，如图所示，时刻的波形如图中实线所示，时刻的波形如图中虚线所示。已知，问： (1)若波沿轴正方向传播，且，这列波的传播速度是多大？ (2)若波沿轴负方向传播，且无约束条件，波速是多大？ 2 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D AC BD ABD BCD BD AC BC CD AD 1．D 【详解】AB．根据题意，由图可知，该波的周期为，从振动图像上同一时刻两质点的位置关系可知，如果该简谐波沿轴正方向传播，两点的间距为 解得 则波速为，故AB正确，不符合题意； CD．从振动图像上同一时刻两质点的位置关系可知，如果该简谐波沿轴负方向传播，两点的间距为 解得 则波速为，故C正确，不符合题意，D错误，符合题意； 故选D。 2．AC 【详解】A．在时刻，介质中处的质点P沿y轴负方向运动，由“同侧法”可知，该波沿x轴正方向传播，故A正确； B．波沿正方向传播，从到，波的传播时间满足（n=0，1，2，…） 时在平衡位置，内的总路程为（n=0，1，2，…） 由图可知，振幅，最小路程为时， 不可能为，故B错误； C．若，则只能取，即 得 由图可得，波长，波速，故C正确； D．时， 设的振动方程为 时， 代入得 波沿x轴正方向传播，点时沿正方向运动，因此 振动方程为，故D错误。 故选AC。 3．BD 【详解】A．由题知，波沿轴正方向传播，根据上下坡法并结合乙图，可知时刻，质点沿轴正方向运动，故A错误； BC．由乙图可知波长，从到的时间内，波沿轴正方向传播的距离为 对应的时间为 解得 根据，可得， 当时，则波速 当时，波速 波的周期即为其中质点的振动周期，即质点P的振动周期可能为2s和0.4s，故B正确，C错误； D．由乙图可知振幅，当周期时，质点运动的路程 当周期时，质点运动的路程，故D正确。 故选BD。 4．ABD 【详解】ABC．由图可知，波长 若该波沿方向传播，则有（，，，，） 解得（，，，，） 当时 根据 解得（，，，，） 当时，AB正确，C错误； D．若该波沿方向传播，则有（，，，，） 解得（，，，，） 当时，，故D正确。 故选ABD。 5．BCD 【详解】A．根据质点的振动图像无法确定波的传播方向，故A错误。 B．若波由向传播，则 解得 当时，波长，故B正确。 C．根据振动图像，两质点振动的周期，则波速 当时，波速为。若波由向传播，则 解得 时，，波速为，故C正确。 D．3s时，质点位于平衡位置，加速度为0，质点位于最大位移处，加速度最大，故D正确。 故选BCD。 6．BD 【详解】设波向右传播，作出波形图，如图所示 由题意知，因，且、两点的速度相同，高度差为，根据上下坡法可知处的质点、处的质点、处的质点此时的振动方向都是沿轴正方向，故满足条件的、有：处的质点与处的质点，或处的质点与处的质点，结合简谐波动方程 可计算、之间的距离为，、之间的距离为，则有 （1），； （2），； 故选BD。 7．AC 【详解】AB．已知，当P到达波峰时，波源S恰好处于平衡位置，则有或 解得或 根据波速计算公式 代入波长可知或，故A正确，B错误； C．波源S恰好处于平衡位置，Q恰好到达波谷，当时，则 无法取得整数n，使得质点Q的平衡位置坐标为； 当时，则，则取，使得质点Q的平衡位置坐标为，故C正确； D．P与Q同时通过平衡位置时，振动方向一定相反，故D错误； 故选AC。 8．BC 【详解】AC．由题图可知波长，若波向轴正方向传播，传播距离 则传播速度大小 即故A错误，C正确； BD．若波向轴负方向传播，传播距离 同理则传播速度大小 即故B正确，D错误。 故选BC。 9．CD 【详解】A．由波形图可知其波长为24cm，若该波沿x轴的负方向传播，内波传播的距离可能为 又 得 得 又，解得周期有两个解 当时，， 当时，，故A错误； B．若该波沿x轴的负方向传播，波速 ， 只有当时，波速为，故B错误； C．若该波沿x轴的正方向传播，内波传播的距离可能为 又 得 得 又，解得周期有一个解 当时， 故，故C正确； D．由C项分析可知，若该波沿x轴的正方向传播，，又时，由“同侧法”平衡位置位于的质点位于平衡位置向轴正方向运动，故时，平衡位置位于的质点位于平衡位置向轴负方向运动，故D正确。 故选CD。 10．AD 【详解】由振动图像可知周期，零时刻质点在平衡位置且向下振动，而处质点在正的最大位移处。 若波沿x轴正方向传播，波形如图甲所示，处质点的平衡位置可能在或或 则有 得波长 波速 当、1、2…时，速度为、、 若沿x轴负方向传播，波形如图乙所示，同理可得 得波长 波速 当、1、2…时，速度为、、 故选AD。 11．(1)， (2) 【详解】（1）如果波是向左传播的，从图看出，波长 虚线所示的波形相当于实线所示的波形向左移动（个波长） 由此可求出波速的大小，即 波的周期为，即 （2）如果波是向右传播的，虚线所示的波形相当于实线所示的波形向右移动（个波长） 由此可以求出波速的大小，故 则处质点的振动方程为 12．(1)（n=0，1，2，3，…）或（n=0，1，2，3，…） (2)或 【详解】（1）令A、B两浮标间距为，由于当A浮标位于波峰时，B浮标正好经过平衡位置向上运动。 若波由A向B传播，则有（n=0，1，2，3，…） 解得（n=0，1，2，3，…） 若波由B向A传播，则有（n=0，1，2，3，…） 解得（n=0，1，2，3，…） （2）每个浮标每分钟上下浮动30次，则周期为 两浮标之间有且只有一个波峰，若波由A向B传播，则， 解得 波速为 若波由B向A传播，则， 解得 波速为 13．(1)cm (2) (3) 【详解】（1）由图像可知，波长为，若波向x轴负方向传播，设波速为，则有 ，   解得 则周期为   处的质点的振动方程为 由图可知， 联立解得cm （2）若波向x轴负方向传播，且T<t1<2T，设波速为 ，则有 ，    解得 x=2m处的P质点第一次出现波谷的时刻为 （3）若波向x轴正方向传播，则有 由 解得 14．(1)（40+160n）m/s，（120+160n）m/s（n=0，1，2，3…） (2)沿x轴负向传播，2.1×10-2s 【详解】（1）若波沿x轴正向传播，则（n=0，1，2，3…） 所以（n=0，1，2，3…） 若波沿x轴负向传播，则（n=0，1，2，3…） 所以（n=0，1，2，3…） （2）当波速为280m/s时，有 解得 所以波沿x轴负向传播，所以质点P第一次达到波谷所需最短时间为 15．(1)或 (2)或 【详解】（1）从时刻到时刻，经过的时间 由图可知，若波沿x轴正方向传播，则（n=0，1，2，…） 当n=1时，解得 满足，波的传播速度 若波沿x轴负方向传播，则（n=0，1，2，…） 当n=1时，解得 满足，波的传播速度 （2）时，质点M处于正向最大位移处，振动方程形式为 由图可知，角频率 若波沿x轴正方向传播，则，联立解得 若波沿x轴负方向传播，则，联立解得 16．(1)54m/s (2)58m/s (3)向左 【详解】（1）若此波为向右（x轴正方向）传播，根据题意有 解得周期 因为 可知n取3，则周期 则波速 （2）若此波为向左（x轴负方向）传播，根据题意有 解得周期 因为 可知n取3，则周期 则波速 （3）若此波的波速为v=74m/s，则0.5s内传播距离 可知传播时间为，故波向左传播。 17．(1)， (2)(n=0，1，2，…)，(n=0，1，2，…) (3)向左传播，说明见解析 【详解】（1）若该波的周期T大于1s，且向左传播，则该波在1s内向左传播了，传播距离为 所以波的传播速度为 该波的周期为 （2）若该波向右传播，则该波在1s内向右传播的距离为 所以波的传播速度为(n=0，1，2，…) 该波的周期T满足 解得(n=0，1，2，…) （3）若该波的传播速度为，则该波在1s内传播的距离为 所以该波向左传播 18．(1) (2) 【详解】（1）波沿x轴正方向传播，因为， 故波速 （2）波沿x轴负方向传播，传播的距离 则波速 2 学科网（北京）股份有限公司 $