4.2全等三角形（培优教学课件）数学新教材北师大版七年级下册

第四章 三角形 4.2 全等三角形 学 习 目 标 1.理解全等三角形的概念，能识别对应顶点、对应边和对应角; 2.掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的性质;（重点） 3.能利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算.（难点） 知识回顾 A B C D 2.如图所示，AD是△ABC的角平分线, 则∠BAD= = ∠BAC. B A C E 1.如图所示，AE是△ABC的BC边上的中线， 则BE= = . 4.三角形的三条中线交于 ，这点称为三角形的 ．三角形的三条角平分线交于 ．三角形的三条高　　　　　　交于一点.  重心 一点 一点 所在的直线 EC ∠CAD 3.从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线,　　　和　　　之间的　　 　叫做三角形的高线,简称三角形的高.   顶点 垂足 线段 情境引入 观察下面各组图形，它们有什么共同特点？ （1） （2） （3） （4） 在生活中，我们会看到完全一样的图形，如果把它们叠在一起，它们就能够完全重合. 新知探究 探究一：全等三角形的概念及表示方法 例如，在下图中，△ABC与△DEF能够完全重合，它们是全等三角形. 其中，顶点A与顶点D重合，它们是对应顶点; 边AB与边DE边重合，它们是对应边； ∠A与∠D重合，它们是对应角. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 1.全等三角形的概念 新知探究 你还能在上图中找出其他的对应顶点、对应边和对应角吗? B和E，C和F是对应顶点；BC和EF，AC和DF是对应边；∠B和∠E，∠C和∠F是对应角. 2.全等的表示方法 △ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF. 注意:记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 读作“△ABC全等于△DEF” 1.如图所示，△ABC≌△DCB，指出所有的对应边和对应角。 新知探究 解:AB与DC，AC与DB，BC与CB是对应边; ∠ABC与∠DCB，∠A与∠D，∠ACB与∠DBC是对应角. 新知探究 探究二：全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等、对应角相等. 1.全等三角形的性质： 2.几何语言表达： 如图所示，因为△ABC≌△DEF， 所以AB=DE，BC=EF，AC=DF， ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F. 在全等三角形中，对应边和对应角之间有什么关系呢？ 2.如图所示,△ABC≌△CDE,若∠D=35°,∠ACB=45°,则∠DCE的度数为 °. 新知探究 解析:因为△ABC≌△CDE， 所以∠ACB =∠CED=45°， 因为∠D=35°， 所以∠DCE=180°-∠CED-∠D =180°-45°-35°= 100°. 100 新知探究 解：(1)全等三角形对应边的高相等； 全等三角形对应边的中线相等； 全等三角形对应的角平分线相等. (1)每人准备两张全等三角形纸片，并画出两张三角形纸片对应边的高.全等三角形对应边的高相等吗?对应边的中线呢?对应的角平分线呢? 新知探究 (2)如图，已知△ABC≌△A'B'C'，点D，E分别在BC边、AB边上，请在△A'B'C'中画出与线段DE相对应的线段?图中有哪些相等的线段、相等的角？与同伴进行交流. (2)如图所示，在B'C'上截取B'D'=BD，在B'A'上截取B'E'=BE，连接D'E'，则D'E'是与DE相对应的线段. D' E' 图中相等的线段有：AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'，BE=B'E'，BD=B'D'，CD=C'D'，AE=A'E'，DE=D'E'. 图中相等的角有：∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，∠BED=∠B′E′D′，∠AED=∠A′E′D′，∠BDE=∠B′D′E′，∠CDE=∠C′D′E′. 准备一张等边三角形纸片，你能用折纸的办法把它分成两个全等的三角形吗？能把它分成三个全等三角形吗？能把它分成四个全等三角形吗？与同伴进行交流. 新知探究 提示：折出等边三角形的角平分线、高线或中线，借助角平分线、高线或中线即可把等边三角形分成两个、三个或四个全等的三角形. 如图所示，点B，E在AF上，已知△ABC≌△FED，∠A和∠F是对应角，CB和 DE是对应边。 (1)判断AC与DF的位置关系并说明理由; (2)若AF=8，BE=2，求 AB的长。 例1 典例分析 解:(1)AC∥DF。理由: 因为△ABC≌△FED, 所以∠A=∠F, 所以AC∥DF. (2)因为△ABC≌△FED, 所以AB=FE， 所以AB-BE=FE-BE,即AE=BF. 因为AF=8,BE=2, 所以AE+BF=AF-BE=6, 所以AE=3, 所以AB=AE+BE=3+2=5. 典例分析 如图所示，在△ABC中，点E是AB边上一点，△BCE≌△ACE，ED// AC，DF⊥ AB. (1)判断 CE与AB是否垂直，并说明理由; (2)说明∠EDF=∠BDF. 例2 解:(1)CE⊥AB。理由: 因为△BCE≌△ACE, 所以∠BEC =∠AEC =180°=90°, 所以 CE⊥ AB. (2)因为ED//AC, 所以∠CED=∠ACE. 因为△BCE≌△ACE, 所以∠BCE=∠ACE. 所以∠CED =∠BCE. 因为 DF⊥AB, CE⊥AB, 所以 DF // CE， 所以∠BDF=∠BCE,∠EDF=∠CED, 所以∠EDF=∠BDF. 巩固练习 1.如图所示，若△OAD≌△OBC，∠O = 65°，∠D=20°，则∠BED的度数为( ) D. 55° A. 75° C.60° B.85° 2.如图所示，已知△ABC≌△CDE，那么下列结论中,不正确的是( ) A. AC= CE B.∠BAC=∠ECD C.∠ACB =∠ECD D.∠B=∠D A C 巩固练习 3.如图所示，已知△ABC≌△DEF，则相等的线段有( ) A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 4.如图所示,已知两个三角形全等,则 ∠α的度数是(　　) A.72° B.60° C.58 D.50° D D 巩固练习 5.某学校组织了一次小制作展示活动，小明计划制作一个如图所示的简易模型，已知该模型满足△ABD ≌△ACE，点B和点C是对应顶点，若AB=8cm，AD=3cm，则DC= cm。 6.已知△ABC≌△DEF，BC=EF=10cm，若△DEF的面积是40cm，则△ABC中BC边上的高是 cm. 7.如图所示，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于点F，∠AED=105°，∠CAD=10°，∠B=50°，则∠EAB = °. 5 8 60 巩固练习 8.如图，△ABC与△ADC全等，请用数学符号表示出这两个三角形全等，并写出相等的边和角. 解：△ABC≌△ADC; 相等的边为：AB=AD，AC=AC，BC=DC； 相等的角为：∠BAC=∠DAC，∠B=∠D，∠ACB=∠ACD. 9.如图所示,△ACF≌△DBE,其中点 A,B,C,D在同一条直线上。 (1)若BE⊥AD，∠F=63°，求∠A的大小; (2)若AD=11cm，BC=5cm，求AB的长。 巩固练习 解:(1)因为 BE⊥AD,所以∠EBD=90°。 因为△ACF≌△DBE，所以∠FCA=∠EBD=90°， 所以∠A=90°-∠F= 90°-63°= 27°。 (2)因为△ACF≌△DBE, 所以CA=BD， 所以 CA-CB = BD-BC,即 AB= CD， 因为AD=11cm，BC=5cm, 所以AB+CD=11-5 =6(cm),所以AB=30cm. 巩固练习 10.如图所示，点A,B,C在同一直线上，点E在BD上，且△ABD≌△EBC，AB=2 cm，BC=3 cm. (1)求DE的长; (2)判断AC与BD的位置关系,并说明理由; 解:(1)因为△ABD≌△EBC, 所以BD=BC=3 cm,BE=AB=2 cm, 所以DE=BD-BE=3-2=1(cm). 又因为点A,B,C在同一直线上, 所以∠ABD+∠EBC=180°, 所以∠ABD=∠EBC=90°, 所以AC⊥BD. (2)AC⊥BD. 理由:因为△ABD≌△EBC, 所以∠ABD=∠EBC. 巩固练习 (3)AD⊥CE. (3)判断直线AD与直线CE的位置关系,并说明理由. F 理由:如图,延长CE交AD于点F. 因为△ABD≌△EBC, 所以∠D=∠C. 因为在Rt△ABD中,∠A+∠D=90°, 所以∠A+∠C=90°, 所以∠AFC=90°, 即AD⊥CE. 课堂小结 全等三角形 概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. 性质 表示方法 △ABC与△DEF全等，记作△ABC≌△DEF. 注意:记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 全等三角形的对应边相等、对应角相等. 作业布置 1.必做题：习题4.2第1,2题。 2.探究性作业：习题4.2第3题。 感谢聆听! $