第09讲 二项式定理（九大题型+思维导图+知识梳理+课后提升练）-2025-2026学年高二数学春季讲义（人教A版选择性必修第三册）

本讲义聚焦二项式定理核心知识点，系统梳理定理定义、展开式规律及二项式系数性质，通过9类题型（求展开式、特定项、系数和等）构建从基础概念到综合应用的递进学习支架。 资料特色在于题型覆盖全面，结合高考真题与模拟题，以杨辉三角历史背景培养数学眼光，通过赋值法等策略训练数学思维，例题变式助教师授课，综合练习供学生课后巩固查漏。

第09讲 二项式定理 【人教A版】 模块一 二项式定理 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, …,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. 2．二项展开式的规律 (1)二项展开式一共有(n+1)项. (2)(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. (3)每一项中a和b的幂指数之和为n. 【题型1 求二项展开式】 【例1】（24-25高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【变式1.1】（2025·湖南·模拟预测）下列不属于的展开式的项的是（    ） A． B． C． D． 【变式1.2】（24-25高三·上海·随堂练习）的二项展开式是________． 【变式1.3】（2025·北京东城·二模）已知，则实数 ________． 【题型2 求展开式的特定项或特定项的系数】 【例2】（24-25高二下·安徽·月考）在的展开式中，常数项为（   ） A． B．40 C． D．80 【变式2.1】（24-25高二下·河南周口·期中）的展开式的第4项为（   ） A． B． C． D． 【变式2.2】（24-25高三下·湖南娄底·月考）已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 【变式2.3】（24-25高二下·江苏南京·期中）若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（   ） A．840 B． C． D．210 模块二 二项式系数的性质 1．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,…时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为2=21，第二行的三个数之和为4=22，…，第六行的各数之和为26，…， 第n行的(n+1)个数之和为2n. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解， 但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 【题型3 用赋值法求系数和问题】 【例3】（24-25高二下·北京延庆·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（24-25高二下·湖南衡阳·期中）已知，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 【变式3.2】（24-25高二下·河北沧州·期末）已知二项展开式． (1)求的值； (2)求的值． 【变式3.3】（24-25高二下·四川广元·期末）已知， (1)求； (2)求； (3)求． 【题型4 多项式积的展开式问题】 【例4】（24-25高二下·云南曲靖·期末）的展开式中的系数为（   ） A． B．25 C． D．50 【变式4.1】（24-25高二下·宁夏银川·月考）展开式中常数项的系数为（    ） A． B． C． D． 【变式4.2】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）的展开式中，项的系数为（    ） A．1 B．－5 C．6 D． 【变式4.3】（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【题型5 求展开式中系数最大（小）的项】 【例5】（24-25高二下·河南洛阳·期中）的展开式中系数最大的是（   ） A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数 【变式5.1】（24-25高二下·广东深圳·月考）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【变式5.2】（24-25高二下·江苏南通·月考）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 【变式5.3】（24-25高二下·江苏无锡·期中）在的展开式中，求： (1)求常数项、及此项的二项式系数； (2)求奇数项的二项式系数的和； (3)求系数绝对值最大的项． 【题型6 三项展开式的系数问题】 【例6】（24-25高二下·江苏南京·期中）在的展开式中项的系数为（    ） A．360 B．540 C．720 D．1080 【变式6.1】（24-25高二下·山东聊城·期末）的展开式中的系数为（    ） A．75 B．135 C．180 D．195 【变式6.2】（24-25高二下·安徽宣城·期末）的展开式中，的系数是（   ） A．60 B．30 C．20 D．10 【变式6.3】（24-25高二下·河北邯郸·月考）在的展开式中，的系数是（      ） A． B． C． D． 【题型7 利用二项式定理解决整除和余数问题】 【例7】（24-25高二下·山东滨州·期末）被8除的余数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．7 【变式7.1】（24-25高二下·河南郑州·期末）若，且，若能被9整除，则的值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【变式7.2】（24-25高二·全国·课堂例题）（1）用二项式定理证明能被100整除； （2）求被100除所得的余数． 【变式7.3】（24-25高二下·山西·期中）已知，若的展开式中二项式系数和为. (1)求； (2)求被15除的余数. 【题型8 二项式定理与数列求和】 【例8】（2025·江西·模拟预测）设，则（    ） A．21 B．64 C．78 D．156 【变式8.1】（24-25高二·全国·课后作业）已知，展开式中的系数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式8.2】（24-25高二·全国·单元测试）已知数列是等比数列，，公比是的展开式的第二项（按的降幂排列）． (1)求数列的通项与前项和； (2)若，求． 【变式8.3】（2025高三·全国·专题练习）设数列的前项和为，已知． (1)若，求的值； (2)若，设．证明：． 【题型9 杨辉三角问题】 【例9】（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ） A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 【变式9.1】（24-25高二下·福建三明·期中）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A．第10行中第5个数最大 B．第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等 C． D．第12行中第8个数与第9个数之比为 【变式9.2】（24-25高二下·广东东莞·月考）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 请结合上图，回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数． 【变式9.3】（24-25高一上·安徽亳州·月考）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 一、单选题 1．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．80 2．（2026高二下·全国·专题练习）已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数是（   ） A．1 B． C． D． 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）若的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则该展开式中的常数项为（    ） A． B．45 C． D．90 4．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 5．（24-25高二下·广东广州·期末）的展开式中的系数为（    ） A．0 B．10 C． D．20 6．（24-25高二下·天津南开·期末）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．各项系数和为2186 B．第4项与第5项的系数相等 C．的项的系数为21 D．二项式系数最大为35 7．（24-25高二下·江苏南京·月考）已知，则下列描述正确的是（   ） A． B． C． D．除以5所得的余数是1 8．（24-25高二下·广东中山·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 二、多选题 9．（25-26高三上·河北衡水·期末）在的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式的项数为6 B．二项式系数和为64 C．所有项的系数之和为2 D．展开式中第3项为 10．（25-26高二上·辽宁大连·期末）已知的展开式的二项式系数的和为512，且 ，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．除以6所得的余数为5 11．（24-25高二下·山东济南·期中）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．第34行中第15个数与第16个数之比为 D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 三、填空题 12．（2025·甘肃白银·模拟预测）的展开式中项的系数为__________.（用数字回答） 13．（24-25高二下·湖北荆州·期末）今天是星期二，则天后是星期__________． 14．（25-26高二下·全国·单元测试）已知，若．则实数__________． 四、解答题 15．（24-25高二下·河南郑州·期末）若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 16．（24-25高二下·全国·课后作业）（1）证明：能被7整除． （2）求精确到0.01的近似值． 17．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）已知.求： (1)； (2)； (3). 18．（2026高二下·浙江台州·专题练习）已知的展开式中，前三项的系数成等差数列． (1)求n； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项． 19．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)证明：能被3整除. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 二项式定理 【人教A版】 模块一 二项式定理 1．二项式定理 一般地，对于任意正整数n，都有 .(*) 公式(*)叫做二项式定理，等号右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数(k∈{0,1,2, …,n})叫做二项式系数，叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第k+1项：. 2．二项展开式的规律 (1)二项展开式一共有(n+1)项. (2)(n+1)项按a的降幂b的升幂排列. (3)每一项中a和b的幂指数之和为n. 【题型1 求二项展开式】 【例1】（24-25高二下·北京通州·期中）二项式的展开式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由二项式定理求解. 【解答过程】二项式 ， . 故选：B. 【变式1.1】（2025·湖南·模拟预测）下列不属于的展开式的项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】按照二项式定理直接展开判断即可. 【解答过程】由二项式定理可知，，故不是展开式的项. 故选：B. 【变式1.2】（24-25高三·上海·随堂练习）的二项展开式是________． 【答案】 【解题思路】根据二项式定理可得答案. 【解答过程】 ． 故答案为：． 【变式1.3】（2025·北京东城·二模）已知，则实数 ________． 【答案】 【解题思路】根据二项式定理将等式右边简化即可得的值. 【解答过程】因为 ， 所以， 故. 故答案为：. 【题型2 求展开式的特定项或特定项的系数】 【例2】（24-25高二下·安徽·月考）在的展开式中，常数项为（   ） A． B．40 C． D．80 【答案】B 【解题思路】由通项公式即可求解. 【解答过程】通项公式 令，得， 所以在的展开式中，常数项为. 故选：B． 【变式2.1】（24-25高二下·河南周口·期中）的展开式的第4项为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】写出通项公式，令，求出第4项即可. 【解答过程】因为，所以. 故选：B 【变式2.2】（24-25高三下·湖南娄底·月考）已知，若的展开式中，常数项等于240，则（    ） A．3 B．2 C．6 D．4 【答案】B 【解题思路】根据二项展开式的通项公式求出常数项，建立方程得解. 【解答过程】由二项展开式的通项公式可得， 令，解得， 即常数项为，解得. 故选：B. 【变式2.3】（24-25高二下·江苏南京·期中）若二项展开式中各项的二项式系数只有第6项最大，则展开式的常数项的值为（   ） A．840 B． C． D．210 【答案】A 【解题思路】利用二项式的性质得，再利用二项展开式的通项公式，即可求解. 【解答过程】因为二项式系数只有第6项最大，故， 又二项展开式的通项公式为， 令，则， 故， 故选：A. 模块二 二项式系数的性质 1．二项式系数的性质 (1)杨辉三角——二项式系数表 当n依次取1,2,3,…时，观察的展开式的二项式系数： 从中我们可以看出，左侧三角是根据二项式定理得到的，右侧三角是算出对应的组合数的值后所得结 果，由此我们可以发现以下性质： ①每一行中的二项式系数是对称的，如第一项与最后一项的二项式系数相等，第二项与倒数第二项的 二项式系数相等. ②每一行两端都是1，而且从第二行起，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和. ③从第二行起，每一行的二项式系数从两端向中间逐渐增大. ④第一行的两个数之和为2=21，第二行的三个数之和为4=22，…，第六行的各数之和为26，…， 第n行的(n+1)个数之和为2n. (2)二项式系数的性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即) 增减性 当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小，因此二项式系数在中间取得最大值 最大值 当n是偶数时，展开式的中间一项的二项式系数最大；当n是奇数时，展开式的中间两项与的二项式系数，相等且最大 各二项式 系数的和 2．两个二项式之积、三项展开式问题的解题策略 (1)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解， 但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏；也可利用排列组合的知识求解. (2)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决，或利用展开式的原理求解. 【题型3 用赋值法求系数和问题】 【例3】（24-25高二下·北京延庆·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据二项展开式的各项系数和的计算公式，利用赋值法计算. 【解答过程】由， 即， 设， 则， 令，则， 令，则， 所以. 故选：B. 【变式3.1】（24-25高二下·湖南衡阳·期中）已知，则下列结论正确的有（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由赋值法逐项判断A，C，D即可，对于B，求展开式中第7项的系数即可. 【解答过程】对于A，取，得，故A错误； 对于B，的展开式中第7项为， 所以，故B错误； 对于C，取得， 所以，故C错误； 对于D，由， 取得， 取得， 所以，故D正确. 故选：D. 【变式3.2】（24-25高二下·河北沧州·期末）已知二项展开式． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用赋值法可得系数和的值，即可求解； （2）先构造二项式展开，再得相应系数的正负，然后去绝对值,即可用赋值法求对应系数和. 【解答过程】（1）已知， 令，可得， 令，可得， 所以． （2）展开式的通项为． 当r为偶数时，； 当r为奇数时，． 所以． 令，则， 即． 【变式3.3】（24-25高二下·四川广元·期末）已知， (1)求； (2)求； (3)求． 【答案】(1)； (2); (3). 【解题思路】（1）分别令，令求解； （2）根据展开式的通项得到偶数项的系数为负数，令求解. （3）两边同时求导再代入即可. 【解答过程】（1）令，得， 令，得， 所以． （2）因为展开式的通项为(且)， 所以当为奇数时，项的系数为负数． 所以， 令，得， ． （3）对两边同时求导， 可得， 令，可得． 【题型4 多项式积的展开式问题】 【例4】（24-25高二下·云南曲靖·期末）的展开式中的系数为（   ） A． B．25 C． D．50 【答案】A 【解题思路】利用的二项展开式的通项公式，可求的系数. 【解答过程】易得展开式通项公式为， 令可得的系数为，令可得的系数为， 故原展开式中的系数为. 故选：A. 【变式4.1】（24-25高二下·宁夏银川·月考）展开式中常数项的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】写出二项展开式的通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【解答过程】的展开式通项为， 因为， 在中，令，可得， 在中，令，可得， 因此，展开式中的常数项为. 故选：B. 【变式4.2】（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期中）的展开式中，项的系数为（    ） A．1 B．－5 C．6 D． 【答案】B 【解题思路】先利用二项式定理求出的展开式中含的项和含的项即可. 【解答过程】由的展开式可得，含的项为， 含的项为， 则的展开式中，含的项为， 故的展开式中，项的系数为. 故选：B. 【变式4.3】（24-25高二下·湖南长沙·开学考试）已知的展开式中的系数为12，则实数的值为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【解题思路】利用二项展开通项公式，结合题意得到含的项为，从而得到关于的方程，解之即可得解. 【解答过程】因为， 由的展开式通项为，含的项包含了和两项， 所以含的项为， 所以，可得. 故选：D. 【题型5 求展开式中系数最大（小）的项】 【例5】（24-25高二下·河南洛阳·期中）的展开式中系数最大的是（   ） A．的系数 B．的系数 C．的系数 D．的系数 【答案】B 【解题思路】利用展开式的通项得不等式组可得答案. 【解答过程】设的展开式的通项为，， 由题意可得， 解得，因为 所以， 所以的展开式中系数最大的是的系数. 故选：B. 【变式5.1】（24-25高二下·广东深圳·月考）在的展开式中，若仅有第5项的二项式系数最大，则展开式中系数最大的项是第（  ）项. A． B． C．2或3 D．3或4 【答案】D 【解题思路】首先根据二项式系数最大值问题求，再根据第项的系数大于前一项，也大于后一项，根据不等式，即可求解. 【解答过程】由的展开式中，仅第5项的二项式系数最大，得展开式共9项，则， 的展开式的通项公式， 设展开式中系数最大项是，则，即， 解得，而，因此或，，， 所以展开式中系数最大的项是第3或4项. 故选：D. 【变式5.2】（24-25高二下·江苏南通·月考）已知的展开式中，第3项与第5项的二项式系数相等， (1)求； (2)求展开式的常数项； (3)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）结合题意建立方程，求解参数即可. （2）求出展开式的通项，再结合赋值法求解常数项即可. （3）结合题意建立不等式，得到，再求出系数最大的项即可. 【解答过程】（1）因为第3项与第5项的二项式系数相等，所以，解得. （2）由已知得， 其展开式的通项为，令，解得， 则展开式的常数项为. （3）由已知得展开式的通项为， 则第项的系数为，设第项的系数最大， 则，解得， 因为是整数，所以， 此时系数最大的项为. 【变式5.3】（24-25高二下·江苏无锡·期中）在的展开式中，求： (1)求常数项、及此项的二项式系数； (2)求奇数项的二项式系数的和； (3)求系数绝对值最大的项． 【答案】(1)常数项为，此项的二项式系数为 (2) (3) 【解题思路】（1）写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得出常数项的值，结合二项式系数的概念可得出该项的二项式系数； （2）利用奇数项的系数和为所有项二项式系数和的一半可得结果； （3）令，设最大值，则，结合组合数公式可求出的取值范围，结合可得出的值，即可得解. 【解答过程】（1）展开式的通项公式为， 令，可得，所以，展开式中的常数项为， 其二项式系数为. （2）奇数项的二项式系数和为. （3）令，设最大，则，即， 即，解得， 因为，解得， 所以，系数绝对值最大的项为. 【题型6 三项展开式的系数问题】 【例6】（24-25高二下·江苏南京·期中）在的展开式中项的系数为（    ） A．360 B．540 C．720 D．1080 【答案】D 【解题思路】根据给定多项式，结合指定项及组合数求对应系数即可. 【解答过程】相当于6个因式相乘， 其中一个因式取，有种取法， 余下5个因式中有3个取，有种取法， 最后2个因式中全部取，有种取法， 故展开式中的系数为． 故选：D. 【变式6.1】（24-25高二下·山东聊城·期末）的展开式中的系数为（    ） A．75 B．135 C．180 D．195 【答案】D 【解题思路】利用二项式定理求解. 【解答过程】， 这个展开式中从第4项开始就不会出现，即只在前3项出现， 所以的系数为， 故选：D. 【变式6.2】（24-25高二下·安徽宣城·期末）的展开式中，的系数是（   ） A．60 B．30 C．20 D．10 【答案】A 【解题思路】先对目标式合理变形，再利用二项式定理多次展开求解系数即可. 【解答过程】由题意得， 由二项式定理得的通项为， 欲求的系数，则令，此时对应项为， 后续我们再从找到只含的项即可， 由二项式定理得的通项为， 令，解得，此时对应项为， 故的系数为，故A正确. 故选：A. 【变式6.3】（24-25高二下·河北邯郸·月考）在的展开式中，的系数是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用系数的组成情况，利用组合数即可求解. 【解答过程】根据题意的系数可以成从6个含有的括号中，其中3个选，剩下3个里1个选，剩下2个选， 所以， 故选：A. 【题型7 利用二项式定理解决整除和余数问题】 【例7】（24-25高二下·山东滨州·期末）被8除的余数为（    ） A．2 B．4 C．6 D．7 【答案】C 【解题思路】利用二项式定理求解. 【解答过程】， 显然中每一项都是8的倍数，因此代数和能被8整除，而除以8后余数为6， 所以被8除的余数为6， 故选：C. 【变式7.1】（24-25高二下·河南郑州·期末）若，且，若能被9整除，则的值为（    ） A．1 B．3 C．6 D．8 【答案】A 【解题思路】变形，写出通项，根据通项可知，除不能被9整除，其他项均能被9整除，进而只需满足能被9整除，即可根据的取值范围得出答案. 【解答过程】因为， 所以该二项展开式的通项为， 当时，能被9整除， 但时，不能被9整除， 要使能被9整除，则能被9整除， 因为，所以， ，即. 故选：A. 【变式7.2】（24-25高二·全国·课堂例题）（1）用二项式定理证明能被100整除； （2）求被100除所得的余数． 【答案】（1）证明见解析； （2）81． 【解题思路】（1）由于，利用二项式公式展开可证得结论， （2） ，所以只需求最后一项除以100的余数，而，再通过分析后三项从而可求得结果, 【解答过程】（1）因为 ． 故能被100整除． （2） ， 因为展开式中前92项均能被100整除，所以只需求最后一项除以100的余数． 又 ． 前91项均能被100整除，后两项和为－919，因余数为正， 可从前面的数中分离出1000， 结果为， 故被100除所得的余数为81． 【变式7.3】（24-25高二下·山西·期中）已知，若的展开式中二项式系数和为. (1)求； (2)求被15除的余数. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，得到，解得，结合二项展开式的性质，即可求解； （2）令，得到；令，得到，根据二项式的展开式的通项特征，得到，再由，结合二项展开式的性质，即可得到答案. 【解答过程】（1）解：由的展开式中二项式系数和为，可得，解得， 所以的展开式中项为：，所以. （2）解：令，可得， 令，可得， 由的展开式的通项为， 可得为正数，为负数， 所以， 又由 ， 即能被15整除， 所以被15除的余数为. 【题型8 二项式定理与数列求和】 【例8】（2025·江西·模拟预测）设，则（    ） A．21 B．64 C．78 D．156 【答案】A 【解题思路】首先写出展开式的通项，再根据等差数列前项和公式计算可得； 【解答过程】解：的展开式的通项为，， 所以. 故选：A. 【变式8.1】（24-25高二·全国·课后作业）已知，展开式中的系数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题知，进而整理化简，并根据裂项求和法计算即可得答案. 【解答过程】∵，展开式中的系数为， ∴则 ， 故选：B． 【变式8.2】（24-25高二·全国·单元测试）已知数列是等比数列，，公比是的展开式的第二项（按的降幂排列）． (1)求数列的通项与前项和； (2)若，求． 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）由二项展开式通项可确定，由等比数列通项公式可得；分别在和的情况下，利用等比数列求和公式求得； （2）当时，，对的展开式进行求导运算，代入即可求得，即可得到；当时，将整理为，利用二项式系数的性质可求得结果. 【解答过程】（1）展开式通项公式为：， ，又，； 当时，； 当时，； 综上所述： （2）①当时，； ，， 令得：，即； ②当时， ； 综上所述：. 【变式8.3】（2025高三·全国·专题练习）设数列的前项和为，已知． (1)若，求的值； (2)若，设．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【解题思路】（1）解法一：根据已知等式构造新数列求得，结合求得，根据等比数列求和公式计算参数；解法二：由①，当时，解得．当时，得②，①－②知数列是首项为2，公比为2的等比数列，根据等比数列求和公式计算参数； （2）提取，利用等比求和得表达式，进而由二项式展开式的特征化简，即可得证 【解答过程】（1）解法一：因为，即， 所以，且， 故是首项为4，公比为2的等比数列，则，故． 当时，． 则，且满足该通项公式， 所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故． 则，即，解得． 解法二：因为①， 当时，，又，解得． 当时，②，①－②得，即． 又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故． 则，即，解得． （2）由（1）可知， ． 由二项式定理得 ， 即． 【题型9 杨辉三角问题】 【例9】（24-25高二下·黑龙江绥化·期末）“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现．如图，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩上”的两个数之和，如第4行的6为第3行中两个3的和．则下列命题正确的是（    ） A．在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是86 B．第9行所有数字之和为256 C．记第20，21行数字的最大值分别为a，b，则 D．在“杨辉三角”中，从第2行起到第12行，每一行的第3列的数字之和为286 【答案】D 【解题思路】由杨辉三角及二项式定理、组合数性质求对应行列数字及相关行的数字之和. 【解答过程】在“杨辉三角”第9行中，从左到右第7个数是，A错误； 由二项式系数的性质知，第n行各数的和为，所以第8行所有数字之和为，则第9行数字之和必大于256，B错误； 第20行数字的最大值为，第21行数字的最大值为，所以，C错误； 在“杨辉三角”中，当时，从第2行起，每一行的第3列的数字之和为，D正确． 故选：D. 【变式9.1】（24-25高二下·福建三明·期中）“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（    ）    A．第10行中第5个数最大 B．第2025行中从左往右第1012个数与第1013个数相等 C． D．第12行中第8个数与第9个数之比为 【答案】D 【解题思路】利用图中所给杨辉三角结合组合数的性质即可判断A，B，D，利用组合数的性质计算即可判断C. 【解答过程】对于A，由杨辉三角性质得在第行里，有共个数， 所以第10行中正中间即第个数最大，故A错误， 对于B，由杨辉三角性质得第行第个数为， 则在第行中，第个数为，第1013个数为， 由组合数性质得，故B错误， 对于C，由组合数运算性质得 ，故C错误. 对于D，由已知得第12行中第8个数为，第9个数为， 则它们的比为，则第8个数与第9个数之比为，故D正确. 故选：D. 【变式9.2】（24-25高二下·广东东莞·月考）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，杨辉在1261年所著的《详解九章算法》给出了如下图1所示的表，我们称这个表为杨辉三角，图2是杨辉三角的数字表示，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的． 请结合上图，回答以下问题： (1)求杨辉三角中第8行的各数之和； (2)证明：； (3)在的展开式中，求含项的系数． 【答案】(1)256 (2)证明过程见解析 (3) 【解题思路】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为； （2）利用组合数运算公式得到； （3）含项的系数为，结合（2）中性质化简计算出结果. 【解答过程】（1）杨辉三角中第8行的各数之和为 ； （2）， ， 故； （3）的展开式中，含项的系数为 . 【变式9.3】（24-25高一上·安徽亳州·月考）杨辉是我国古代数学史上一位著述丰富的数学家，著有《详解九章算法》《日用算法》和《杨辉算法》．杨辉三角的发现要比欧洲早年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．杨辉三角本身包含了很多有趣的性质，利用这些性质，可以解决很多数学问题，如开方、数列等． 如我们最熟悉的完全平方公式，其中展开式的各项系数分别为，，． 补充一： 补充二：    (1)求图中第行的各数之和； (2)在杨辉三角中是否存在某一行，使该行中三个相邻的数之比为，若存在，试求出这三个数，若不存在，请说明理由； (3)杨辉三角是杨辉的一项重要研究成果，比如：从第行开始，除了以外，其他每个数是它肩上的两个数之和；请尝试证明：当、，，． 【答案】(1) (2)存在，且这三个数为，， (3)证明见解析 【解题思路】（1）利用题中公式可计算出图中第行的各数之和； （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件，利用题中公式可得出关于、的等式组，解出、的值，即可得出结论； （3）证明出当且、时，，然后利用题中性质可证得结论成立. 【解答过程】（1）由题意可得，，同理可得，， ，，，，， 所以，图中第行的各数之和为 . （2）假设在杨辉三角数阵中，在第行存在三个相邻的数、、满足条件， 即， 整理可得，解得， 所以存在相邻的三个数，，， （3）因为当且、时，， 故 ， 即当、，，. 一、单选题 1．（25-26高二下·黑龙江·开学考试）已知的二项式系数之和为32，则展开式中的系数为（    ） A． B． C．40 D．80 【答案】B 【解题思路】先求出，再利用二项展开式的通项公式即可求解. 【解答过程】由题知，，解得， 所以的展开式的通项为， 令，得，所以的系数为. 故选：B. 2．（2026高二下·全国·专题练习）已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含项的系数是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，利用二项式系数的性质，求得，得到展开式的通项，结合展开式的通项，确定的值，代入即可求解. 【解答过程】由二项式的展开式的二项式系数之和为，可得，解得， 又由二项展开式的通项为， 令，可得，所以含项的系数为． 故选：C. 3．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）若的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，则该展开式中的常数项为（    ） A． B．45 C． D．90 【答案】B 【解题思路】根据二项式系数和求出n的值，即可求出展开式的通项公式，继而可求得展开式中的常数项. 【解答过程】由题意可知的展开式中，所有项的二项式系数之和为1024，故，则， 则展开式的通项公式为， 令，则，则该展开式中的常数项为. 故选：B. 4．（24-25高二下·陕西咸阳·期末）除以128的余数为（   ） A．51 B．43 C．41 D．33 【答案】C 【解题思路】变形为，再利用二项展开式即可得到答案. 【解答过程】因为 ， 且显然能被128整除， 所以所求余数即为681除以128的余数. 因为，所以除以128的余数为41. 故选：C. 5．（24-25高二下·广东广州·期末）的展开式中的系数为（    ） A．0 B．10 C． D．20 【答案】A 【解题思路】先求得展开式的通项公式，分别求和的项，结合题意即可求得答案. 【解答过程】由题意得展开式的通项公式为， 令，， 令，，所以的系数为0. 故选：A. 6．（24-25高二下·天津南开·期末）在的展开式中，下列说法正确的是（    ） A．各项系数和为2186 B．第4项与第5项的系数相等 C．的项的系数为21 D．二项式系数最大为35 【答案】D 【解题思路】对于A，赋值即可判断；对于BC，由二项式定理即可验算；对于D，由二项式系数的增减性即可判断. 【解答过程】对于A中，令，可得，即展开式各项系数和为，所以A错误； 对于B中，二项式展开式的通项为， 可得展开式的第4项的系数为，第5项的系数为， 所以展开式的第4项和第5项的系数不相等，所以B错误； 对于C中，由二项式展开式的通项为， 可得的项的系数为，所以C错误； 对于D中，由展开式的二项式系数的性质，可得展开式的第4和5项的二项式系数最大， 二项式系数的最大值为，所以D正确. 故选：D. 7．（24-25高二下·江苏南京·月考）已知，则下列描述正确的是（   ） A． B． C． D．除以5所得的余数是1 【答案】D 【解题思路】利用赋值法即可判断ABC；根据二项式展开式的通项即可求解D. 【解答过程】 ， 令，可得，再令，可得， ，故A错误． 因为， 所以， 所以，故B错误． 由于为展开式各项系数和， 故，，故C错误． 由题意，， 显然，除了最后一项外，其余各项均能被5整除，除以5所得的余数是1，故D确． 故选：D. 8．（24-25高二下·广东中山·月考）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论错误的是（   ） 第0行                  1 第1行                1  1 第2行              1  2  1 第3行            1  3  3  1 第4行          1  4  6  4  1 第5行        1  5  10  10  5  1 第6行      1  6  15  20  15  6  1 第7行     1  7  21  35  35  21  7  1 第8行    1  8  28  56  70  56  28  8  1           …… A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．记“杨辉三角”第n行的第i个数为，则 D．第34行中第15个数与第16个数之比为 【答案】D 【解题思路】A选项，分别得到第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数，第9行的第8个数，得到A正确；B选项，第2023行中第1012个数为，第1013个数为，结合组合知识得到B正确；C选项，先得到，得到；D选项，第15个数与第16个数之比为. 【解答过程】A选项，第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28， 它们之和等于36，第9行的第8个数是，A正确； B选项，第2023行是二项式的展开式的系数， 故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，又，B正确； C选项，“杨辉三角”第n行是二项式的展开式的系数，所以， ，C正确； D选项，第34行是二项式的展开式的系数， 所以第15个数与第16个数之比为，D错误． 故选：D． 二、多选题 9．（25-26高三上·河北衡水·期末）在的展开式中，下列结论正确的是（    ） A．展开式的项数为6 B．二项式系数和为64 C．所有项的系数之和为2 D．展开式中第3项为 【答案】BD 【解题思路】由二项式展开的项数为，可判断A；求出二项式系数和为，可判断B；利用赋值法求出所有项的系数和，可判断C；求出第3项，可判断D. 【解答过程】对于A，因为，所以展开后共有7项，故A错误； 对于B，由题意可知二项式系数和为，故B正确； 对于C，令，则所有项的系数和，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：BD. 10．（25-26高二上·辽宁大连·期末）已知的展开式的二项式系数的和为512，且 ，下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．除以6所得的余数为5 【答案】BCD 【解题思路】先由二项式系数和为解出，再利用二项式定理逐项验证即可求解. 【解答过程】由题意有：，所以，令， 所以， 令，所以，令， 所以①， 所以，故A错误； 由，令， 所以，故B正确； 令，所以②， 由①②解得，， 所以 ，故C正确； 由 ， 所以除以6所得的余数为5，故D正确； 故选：BCD. 11．（24-25高二下·山东济南·期中）“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图所示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（    ） A．第6行的第7个数、第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 B．第2023行中第1012个数和第1013个数相等 C．第34行中第15个数与第16个数之比为 D．记“杨辉三角”第行的第个数为，则 【答案】ABD 【解题思路】根据二项式定理和二项式系数的性质判断各选项的对错即可. 【解答过程】对于A，图中第6行的第7个数为1，第7行的第7个数为7，第8行的第7个数为28，它们的和等于36， 而第9行的第8个数是，故A正确； 对于B，因图中第2023行是二项式的展开式的二项式系数， 故第2023行中第1012个数为，第1013个数为，因，故B正确； 对于C，图中第34行是的展开式的二项式系数， 所以第15个数与第16个数之比为，故C错误； 对于D，因“杨辉三角”第行是二项式的展开式的二项式系数，则， 于是，，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（2025·甘肃白银·模拟预测）的展开式中项的系数为__________.（用数字回答） 【答案】 【解题思路】根据二项式定理的通式,写出所有能得到目标项的可能,求出结果. 【解答过程】由题意可知,通式为 当时,求中系数即可, 则通式为当时, 可得项的系数为, 故答案为: . 13．（24-25高二下·湖北荆州·期末）今天是星期二，则天后是星期__________． 【答案】三 【解题思路】利用二项式定理的整除问题即可求得结果. 【解答过程】因为, 前10个数除以7都能除尽，最后的那个数1即是余数，故天后是星期三. 故答案为：三. 14．（25-26高二下·全国·单元测试）已知，若．则实数__________． 【答案】1或 【解题思路】由展开式的通项求得常数项，即，利用赋值法，令，得，求解可得实数的值. 【解答过程】的展开式的通项为， 令，得其常数项为，所以. 令，得，即， 所以，所以或． 故答案为：或． 四、解答题 15．（24-25高二下·河南郑州·期末）若的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比为. (1)求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2)， 【解题思路】（1）根据二项式系数公式，结合组合数的计算公式进行求解可得，再求出展开式的通项公式求解； （2）设展开式中第项的系数最大，列出不等式求出结果. 【解答过程】（1）由题，可得，即， 得，又，所以， 因为展开式的通项公式为，， 当时，为整数，即，，， 所以展开式的有理项为. （2）因为展开式的通项公式为，， 设展开式中第项的系数最大，则， 即，解得， 故展开式的第4项和第5项的系数最大， 又，， 所以展开式系数最大的项为第4项和第5项. 16．（24-25高二下·全国·课后作业）（1）证明：能被7整除． （2）求精确到0.01的近似值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解题思路】（1）先对目标式合理变形，再利用二项式定理证明整除性即可. （2）对目标式合理变形，再利用二项式定理将其展开，忽略掉其他项，进而估值即可. 【解答过程】（1）由二项式定理得 ， 因为上式中每一项均能被7整除，所以能被7整除． （2）由二项式定理得， 可得第三项，以后各项的绝对值更小， 故． 17．（24-25高二下·湖北咸宁·期末）已知.求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）（2）利用赋值法，即可求得答案； （3）对二项式两边求导，再赋值即可求得答案. 【解答过程】（1）令，得.① 令，得，② 由①-②，得， . （2）， 时，，时，， ， 令，得. （3）因为， 两边分别求导，得， 令，得. 18．（2026高二下·浙江台州·专题练习）已知的展开式中，前三项的系数成等差数列． (1)求n； (2)求展开式中的有理项； (3)求展开式中系数最大的项． 【答案】(1)8 (2)，， (3)， 【解题思路】（1）写出展开式前三项的系数，然后由等差数列的性质列方程求解； （2）写出展开式的通项公式，，令的指数部分为整数可得有理项； （3）先写出系数的表达式，，研究其单调性即可. 【解答过程】（1）展开式包含有前项，则， ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，，， ，解得(舍去)． （2）由， 当时，为有理项． 且，符合要求． 故有理项有3项，分别是，，． （3）设第项的系数为最大，则， 则，，解得． 当时，；当时，， 因此，第3项和第4项的系数最大， 故系数最大的项为，． 19．（24-25高二下·广东佛山·期中）已知. (1)求的值； (2)求的值； (3)证明：能被3整除. 【答案】(1). (2) (3)证明见解析 【解题思路】（1）由的展开式中的系数为，得到，即可求解； （2）分别令和，得出关系式，两式相减，即可求解； （3）当，可得，结合，进而证得能被3整除. 【解答过程】（1）由的展开式中的系数为， 所以，即解得. （2）由， 令，得， 令，得， 两式相减得. （3）证明：当，可得， ， 所以能被3整除. 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $