专题03 三角形的“四心”问题与奔驰定理常考7题型（期中专项训练）高一数学下学期人教A版

专题03 三角形的“四心”问题与奔驰定理 题型1 重心问题（常考点） 题型5 “四心”的综合问题 题型2 内心问题 题型6 奔驰定理（难点） 题型3 外心问题（重点） 题型7 奔驰定理与“四心”应用（难点） 题型4 垂心问题 题型一 重心问题（共9小题） 1．（2026高一·全国·专题练习）已知是所在平面上一点，若，则是的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 【答案】B 【详解】因为，则， 所以是的外心. 2．（25-26高一下·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过△ABC的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 【答案】D 【详解】如图，设为边的中点，， ，共线， 即点在底边的中线上． 故选：D． 3．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）在中，分别是边，的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】对于A，，A错误； 对于B，点为的重心，则，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，即，D正确. 故选：CD． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 【答案】C 【详解】先设的中点为，则，      又因为， 而， 由三点共线的充要条件知三点共线， 则点的轨迹一定经过的重心. 故选：C． 5．（24-25高一下·云南玉溪·月考）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 【答案】A 【详解】因为，， 则 若设中的的中点为，有， 则. 所以在三角形的中线上，因此动点的轨迹必通过的重心． 故选：A． 6．（23-24高一下·重庆·月考）已知O是内一点，，且，则的面积为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【详解】由题意知O是内一点，， 设D为的中点，则， 故O为的重心，则，    又且，则， 故， 则， 故选：D 7．（2026·河北·模拟预测）已知中，，，若G为的重心，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】以中点为坐标原点，以为轴，以过中点垂直为轴，建立直角坐标系， 所以，设，因为， 又因为， 所以，所以， G为的重心，， 所以， 令，则， 当且仅当时，取得的最大值，即得的最大值. 故选：D. 8．（24-25高一下·四川资阳·期末）已知点是的重心，点，分别在，上，且满足，其中.若，则△ANG与的面积之比为__________. 【答案】/0.25 【详解】因为点是的重心，所以， 因为，所以，即， 设，则， 又因为，所以， 又因为，所以，即， 则， 所以与的面积之比， 故答案为： 9．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角______. 【答案】 【详解】因为G是的重心，所以有. 又，所以. 设，则有.由余弦定理，可得，， 所以. 故答案为： 题型二 内心问题（共6小题） 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 【答案】B 【详解】指向角A的平分线方向， 而与是平行的，所以依旧指向角A的平分线方向， 所以点P的轨迹即为角A的平分线及其反向延长线.而内心一定落在角A的平分线上， 所以点P的轨迹会经过内心. 故选：B. 11．（2025高一·全国·专题练习）已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 【答案】A 【详解】因为， 所以． 设， 因为，所以点在线段上且， 由角平分线的性质得是的角平分线， 而，所以点的轨迹经过的内心. 故选：A． 12．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】因为， ， ， 所以点在的角平分线上. 同理可得：点在的角平分线上. 所以点为的内心. 故选：B 13．（2025高一·全国·专题练习）设为的内心，且，则角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵为的内心，∴， ∴， 设，（）， 则， 又，所以. 故选：B. 14．设为的内心，，，，，则 ， ． 【答案】 ； 【详解】， 即． 又因为是三角形的内心， 所以， 则有，解得，． 故答案为：； 15．（23-24高一下·贵州遵义·月考）在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则__________. 【答案】 【详解】设，则在的角平分线上， ， ，即， 又为角平分线，所以， ， 即是边长为2的等边三角形，设为中点， 是外接圆的圆心， 在的角平分线上，且， ，， ． 题型三 外心问题（共7小题） 16．（2026·重庆·一模）边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 （    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】取BC边的中点D，连接AD， 因为O为边长为2的等边三角形的外心， 所以，所以， 所以 . 故选：A.    17．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）在△ABC中，O为BC的中点，若，则动点M的轨迹必通过△ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】因为，所以， 又因为O是BC的中点，所以直线MO是BC的中垂线， 故动点M的轨迹必通过的外心. 故选：B. 18．已知所在平面上的动点满足，则点的轨迹过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【详解】， ， ， ，即，即， 在边的垂直平分线上， 由三角形外心的定义知，点的轨迹过的外心. 故选：B． 19．（24-25高一下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】A 【详解】由已知得， 所以，所以， 所以点O是的外心， 故选:A． 20．（24-25高一下·河北邯郸·期中）在中，点O满足，且，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设的三边分别为， ，， 因为，所以点是外接圆的圆心， 所以，， 所以，即， ，即， 所以，即， . 故选：A 21．（25-26高三上·天津·期中）在中，已知，，点为三角形的外心，则_____. 【答案】14 【详解】如图，过点作，垂足分别为， 因为为三角形的外心，所以分别为的中点， 则. 22．（2025高三·全国·专题练习）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的________心． 【答案】外 【详解】设BC的中点为D，因为， 所以， 即，两端同时点乘， 因为 ， 所以，所以点P在BC的垂直平分线上，即P经过的外心， 题型四 垂心问题（共7小题） 23．（25-26高三上·重庆·月考）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 【答案】A 【详解】，， ，，， 是三角形的高线，直线BD一定经过三角形ABC的垂心. 故选：A. 24．（2026高三·全国·专题练习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 【答案】C 【详解】由题可得， 由于是的外心，设为线段的中点， 故且，即， 所以，同理，，故是的垂心． 故选：C. 25．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】D 【详解】原式变形为， ， 所以，同理，． 所以是的垂心， 故选：D． 26．（多选）（24-25高一下·广西贵港·期末）在中，AB=6，AC=10，，D为BC的中点，E为△ABC的垂心，则（   ） A． B． C． D．点E到直线AB的距离为 【答案】ABD 【详解】如图，以A为原点，AB所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系， 则，，，， 所以，，，， ，A正确； ，B正确； ，C错误； 设，则，所以，得， 所以点E到直线AB的距离为，D正确． 故选：ABD 27．（23-24高一下·河北沧州·月考）已知平面内三点不共线，且点满足，则是的 心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”） 【答案】垂 【详解】由，知，，故，，从而为的垂心. 故答案为：垂. 28．（2025高一·全国·专题练习）已知为的垂心，，，若，则 ． 【答案】 【详解】因为，设， 所以，故． 其中， 故， 又， 故，同理可得， 而， ， 联立方程解得，，所以． 29．（2025高三·全国·专题练习）已知O是斜三角形所在平面内一定点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的________心． 【答案】垂 【详解】由 ， 又因为， ， ， 所以，所以， 所以点P在的高线上，即P的轨迹过的垂心. 题型五 “四心”的综合应用（共7小题） 30．（24-25高一下·河北衡水·月考）已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④（其中a，b，c为中，角A，B，C所对的边）．则O依次是的（   ） A．内心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、内心 C．外心、内心、重心、垂心 D．内心、垂心、外心、重心 【答案】B 【详解】对于①，因为①， 所以点O到点A，B，C的距离相等，即点O为的外心； 对于②，因为，所以， 所以，即，同理，， 即点O为的垂心； 对于③，因为，所以， 设D为BC的中点，则，即点O为的重心； 对于④，因为， 故，整理得． 又， 所以． 因为，分别为，方向的单位向量，故AO与的角平分线共线． 同理与的角平分线共线，与的角平分线共线， 故点为的内心． 故选：B. 31．（多选）（25-26高一上·云南昆明·期末）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 【答案】ABC 【详解】如图以中点为原点，为轴建立平面直角坐标系， 则，，，，， 对于A，若为的重心，则，，即， 所以， 若，则，解得， 此时，A说法正确； 对于B，若为的内心，由点到，的距离相等可知在上， 设内切圆的半径为，则， 即，解得，所以，， 若，则，解得， 此时，B说法正确； 对于C，若为的垂心，由可知在上， 设，则，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，C说法正确； 对于D，若为的外心，由可知在上， 设，则，即，解得， 所以，， 若，则，解得， 此时，D说法错误； 故选：ABC 32．（多选）（25-26高一下·安徽·月考）点O为所在平面内一点，则（    ） A．若，则点O为的重心 B．若，则点O为的内心 C．若，则点O为的垂心 D．在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心 【答案】ABD 【详解】对于A中，由点O为所在平面内一点，且，可得， 则以为邻边作平行四边形，可得，且， 设，根据平行四边形法则，可得为的中点，即为上的中线， 同理可证：延长也过的中点，所以为的重心，所以A正确； 对于B中，由向量表示方向的单位向量，表示方向的单位向量， 可得四边形是菱形，则， 因为， 所以，即，即和共线，即是的角平分线， 同理可得是的角平分线，即是的内心，所以B正确. 对于C中，如图所示，取分别为的中点， 根据向量的平行四边形法则，可得， 因为，可得， 所以，所以点在线段的垂直平分线上， 所以点为的外心，所以C不正确； 对于D中，由, 因为，可得， 即， 设为的中点，可得， 所以，即，且为的中点， 所以动点O的轨迹必通过的外心，所以D正确. 故选：ABD. 33．（24-25高一下·四川成都·期中）在中，，，且，，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【详解】由，得， 即，即，所以， 又为公共点，所以三点共线，且为的中点， 由，得， 所以， 又为公共点，所以三点共线，且， 由，，得，， 则 . 故选：D. 34．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】对于①：由得为重心，故①错误； 对于②：由得， 又，所以，所以为等腰三角形，故②正确； 对于③：由得，同理得， 所以为的垂心，故③错误； 对于④：取的中点为，所以，由正弦定理得，令， 则，所以，点的轨迹经过的重心，故④正确. 故选：B. 35．（多选）（24-25高一下·广东佛山·期末）已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（   ） A．若为的垂心，则 B．若为的重心，则 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则 【答案】ACD 【详解】因为为的垂心，所以， 故，故A正确； 延长交于中点，如图，    因为点O是的重心，， 所以，故B错误； 如下图所示：    若为的外心，取线段的中点，连接，由垂径定理可知， 所以，， 同理 则，故C正确； 如图，    若为的内心，则，过作， 则， 由余弦定理得，所以， 设内切圆半径为，所以，所以， 因为，所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 36．（23-24高一下·河南郑州·月考）在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 【答案】A 【详解】因为表示过角平分线所在向量，又， 所以的轨迹经过的内心， 由正弦定理，所以， 令， 由， 得， 设的中点为，则， 所以，所以的轨迹经过的重心，    因为， 所以 ， 所以，所以的轨迹经过的垂心. 故选：A 题型五 奔驰定理的应用（共3小题） 37．点为内一点，若，设，则实数和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】如图所示，延长交于， 显然， 由面积关系可得，所以， 而， 所以， 所以，即， 又由题可知，所以， 所以，整理得， 所以， 故选：A 38．（25-26高三上·江西南昌·月考）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由奔驰定理 . 结合已知 ，得 . 因为 是内心(到各边距离为内切圆半径 )， 所以 ， ， ， 因此边长 . ，，半周长 ， 由海伦公式， ， 又 ，， 由余弦定理， ， 代入正弦定理: ， . 故选：D 39.（24-25高一下·上海浦东新·月考）设点在的内部，且，则 . 【答案】/ 【详解】作，，，如下图所示： 由可得，则为的重心， 延长交线段于点，则为的中点，则， 因为为的重心，所以，故， 同理可得，故，设， ，故， 同理可得，， 所以， 因此，. 故答案为：. 题型六 奔驰定理与“四心”应用（共4小题） 40．（25-26高一·全国·假期作业）如图，已知是的垂心，且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是的垂心，延长交与点， 设， ， 同理可得，， 又，， 又，， 不妨设，其中， ， ，解得或， 当时，此时，则都是钝角， 则，矛盾. 故，则，是锐角，， 于是，解得. 故选：A. 41．（多选）（24-25高一下·河北·月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【答案】ABD 【详解】对于A选项，若，则， 取线段的中点，连接，则， 所以，，即，故、、三点共线， 分别取线段、的中点、，连接、， 同理可证、、三点共线，、、三点共线，则为的重心， 因此，若，则为的重心，A对； 对于B选项，若，由“奔驰定理”可得， 所以，，所以，， 故，B对； 对于C选项，若，即， 即，即， 又，不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”可得，C错； 对于D选项，若为的内心，设的内切圆半径为， 则， 因为，则，故， 设，则，，则，故为直角， 所以，，D对. 故选：ABD. 42．（多选）（24-25高一下·广东·月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 【答案】ACD 【详解】对于A，由奔驰定理得， 因为，，不共线，所以，故A正确； 对于B，若O是的重心，，因为， 所以，即O，B，C共线，故B错误； 对于C，当O为的外心时，， 所以，即，故C正确； 对于D，当O为的内心时，（r为内切圆半径）， 所以，所以，故D正确. 故选：ACD. 43．（24-25高一下·湖北武汉·期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵是的垂心，延长交与点，   ，同理， ∴，又， ∴，又， ∴， 不妨设，，，其中， ， ∴，化简整理得，解得（负值舍）， 所以. 故选：B 44．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，,,的面积分别为,,，则.若是锐角内的一点， 是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 .（填序号） ①是的外心；②； ③；④ 【答案】②③④ 【详解】对①，因为 同理,故为的垂心，故①错误； 对②，因为，所以， 又因为，所以, 又因为，所以，故②正确； 对③，延长交于点， 如图， 则, 同理可得,所以，故③正确； 对④， , 同理可得,所以, 又因为，所以，故④正确， 故答案为：②③④ 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 三角形的“四心”问题与奔驰定理 题型1 重心问题（常考点） 题型5 “四心”的综合问题 题型2 内心问题 题型6 奔驰定理（难点） 题型3 外心问题（重点） 题型7 奔驰定理与“四心”应用（难点） 题型4 垂心问题 题型一 重心问题（共9小题） 1．（2026高一·全国·专题练习）已知是所在平面上一点，若，则是的（ ） A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 2．（25-26高一下·全国·单元测试）为平面上一动点，是平面上不共线的三点，且满足，则点的轨迹必过△ABC的（   ） A．垂心 B．外心 C．内心 D．重心 3．（多选）（25-26高一下·全国·课后作业）在中，分别是边，的中点，点为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·专题练习）已知，为平面内任意一点，动点满足，则点的轨迹一定经过（    ） A．的内心 B．的垂心 C．的重心 D．的外心 5．（24-25高一下·云南玉溪·月考）在中，设，，那么动点的轨迹一定通过的（    ） A．重心 B．内心 C．垂心 D．外心 6．（23-24高一下·重庆·月考）已知O是内一点，，且，则的面积为（    ） A． B． C．1 D． 7．（2026·河北·模拟预测）已知中，，，若G为的重心，则的最大值为（    ） A．4 B．3 C． D． 8．（24-25高一下·四川资阳·期末）已知点是的重心，点，分别在，上，且满足，其中.若，则△ANG与的面积之比为__________. 9．（24-25高一下·安徽马鞍山·月考）G是的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若，则角______. 题型二 内心问题（共6小题） 10．（24-25高一上·上海·课堂例题）已知，若点P满足，其中，则点P的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 11．（2025高一·全国·专题练习）已知点是内任意一点，，且，则点的轨迹一定经过的（    ）． A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心 12．已知，为三角形所在平面上的一点，且点满足，则为三角形的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 13．（2025高一·全国·专题练习）设为的内心，且，则角为（    ） A． B． C． D． 14．设为的内心，，，，，则 ， ． 15．（23-24高一下·贵州遵义·月考）在中，，且满足，其中是外接圆的圆心，则__________. 题型三 外心问题（共7小题） 16．（2026·重庆·一模）边长为 2 的等边三角形 的外心为 ，则 （    ） A． B．2 C． D． 17．（23-24高一下·浙江绍兴·期中）在△ABC中，O为BC的中点，若，则动点M的轨迹必通过△ABC的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 18．已知所在平面上的动点满足，则点的轨迹过的（    ） A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心 19．（24-25高一下·全国·课后作业）已知O是所在平面上的一点，若，则点O是的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 20．（24-25高一下·河北邯郸·期中）在中，点O满足，且，则与的夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 21．（25-26高三上·天津·期中）在中，已知，，点为三角形的外心，则_____. 22．（2025高三·全国·专题练习）已知O是三角形ABC所在平面内一定点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的________心． 题型四 垂心问题（共7小题） 23．（25-26高三上·重庆·月考）已知平面上四个点A，B，C，D，其中任意三个点不共线.若则直线BD一定经过三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．重心 D．外心 24．（2026高三·全国·专题练习）设是的外心，点满足，则是的（　　） A．内心 B．任意一点 C．垂心 D．重心 25．（2025高一·全国·专题练习）已知为所在平面内一点，若，则点是的（    ）． A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 26．（多选）（24-25高一下·广西贵港·期末）在中，AB=6，AC=10，，D为BC的中点，E为△ABC的垂心，则（   ） A． B． C． D．点E到直线AB的距离为 27．（23-24高一下·河北沧州·月考）已知平面内三点不共线，且点满足，则是的 心.（填“重”或“垂”或“内”或“外”） 28．（2025高一·全国·专题练习）已知为的垂心，，，若，则 ． 29．（2025高三·全国·专题练习）已知O是斜三角形所在平面内一定点，动点P满足，，则动点P的轨迹一定通过的________心． 题型五 “四心”的综合应用（共7小题） 30．（24-25高一下·河北衡水·月考）已知O为内一点，若分别满足①；②；③；④（其中a，b，c为中，角A，B，C所对的边）．则O依次是的（   ） A．内心、重心、垂心、外心 B．外心、垂心、重心、内心 C．外心、内心、重心、垂心 D．内心、垂心、外心、重心 31．（多选）（25-26高一上·云南昆明·期末）中，，点满足，设，则（    ） A．若为的重心，则 B．若为的内心，则 C．若为的垂心，则 D．若为的外心，则 32．（多选）（25-26高一下·安徽·月考）点O为所在平面内一点，则（    ） A．若，则点O为的重心 B．若，则点O为的内心 C．若，则点O为的垂心 D．在中，设，那么动点O的轨迹必通过的外心 33．（24-25高一下·四川成都·期中）在中，，，且，，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 34．（24-25高一下·上海青浦·期末）已知为所在平面内的一点，则下列命题中正确的个数为（    ） ①若，则为内心 ②若，则为等腰三角形 ③若，则为的外心 ④若，则点的轨迹一定经过的重心 A．1 B．2 C．3 D．4 35．（多选）（24-25高一下·广东佛山·期末）已知在中，，，，点为所在平面内一点，则（   ） A．若为的垂心，则 B．若为的重心，则 C．若为的外心，则 D．若为的内心，则 36．（23-24高一下·河南郑州·月考）在中，满足，，，则的轨迹一定经过的（    ） A．内心、重心、垂心 B．重心、内心、垂心 C．内心、垂心、重心 D．重心、垂心、内心 题型五 奔驰定理的应用（共3小题） 37．点为内一点，若，设，则实数和的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 38．（25-26高三上·江西南昌·月考）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 39.（24-25高一下·上海浦东新·月考）设点在的内部，且，则 . 题型六 奔驰定理与“四心”应用（共4小题） 40．（25-26高一·全国·假期作业）如图，已知是的垂心，且，则（ ） A． B． C． D． 41．（多选）（24-25高一下·河北·月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知是内一点，、、的面积分别为、、，且.则下列说法正确的是（    ） A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 42．（多选）（24-25高一下·广东·月考）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是内一点，，，的面积分别为，，，则.设O是内一点，的三个内角分别为A，B，C，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（   ）    A． B．O有可能是的重心 C．若O为的外心，则 D．若O为的内心，则为直角三角形 43．（24-25高一下·湖北武汉·期末）奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（   ）    A． B． C． D． 44．（2024高一下·四川宜宾·竞赛）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”的很相似，故形象地称其为“奔驰定理）.“奔驰定理”的内容如下：如图，已知是内一点，,,的面积分别为,,，则.若是锐角内的一点， 是的三个内角，且点满足，则下列说法正确的是 .（填序号） ①是的外心；②； ③；④ 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $