专题04 爪形定理、极化恒等式、等和线的应用常考4题型（期中专项训练）高一数学下学期人教A版

专题04 爪形定理、极化恒等式、等和线的应用 题型1 爪形定理（常考点） 题型3 极化恒等式求数量积的最值（范围）（难点） 题型2 极化恒等式求数量积 题型4 等和线求系数的最值（范围）（难点） 题型一 爪形定理的应用（共6小题） 1．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（多选）（25-26高三上·辽宁·期末）在 中，点 在边 所在的直线上，且 ，若 ，则 的值可能为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 5．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·河北·月考）如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则__________. 题型二 极化恒等式求数量积（共4小题） 7．（25-26高三上·山东潍坊·开学考试）如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（    ）    A． B． C． D． 8．（24-25高一下·吉林·期末）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 9．（25-26高三上·全国·月考）已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆内切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（    ）    A．1 B．3 C．5 D．8 10．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型三 极化恒等式求数量积的最值（范围）（共4小题） 11．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 12．（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 13．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．我校高一数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形，边长为，点为线段上的动点，则的最大值为________ ． 14．（2025高一·全国·专题练习）已知正内接于半径为2的圆，为线段上一动点，延长，交圆于点，则的取值范围为 ． 题型四 等和线求系数的和、差以及和差的最值（共7小题） 15.（25-26高三上·四川成都·期末）如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 16．（2026高一下·全国·专题练习）在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，点是圆上及内部的动点，设，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 17．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 18．（23-24高一下·重庆渝中·月考）键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学中广泛使用．有机物“萘”可以用下左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为下右图所示的图形．已知与为全等的正六边形．若点为右边正六边形的边界（包括顶点）上的动点，且向量，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19.（多选）（25-26高一上·江苏盐城·期末）如图，点B是线段的中点，，点是平行四边形内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（    ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 20．（25-26高三下·上海·月考）如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 21．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，，点在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，求实数的取值范围． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 爪形定理、极化恒等式、等和线的应用 题型1 爪形定理（常考点） 题型3 极化恒等式求数量积的最值（范围）（难点） 题型2 极化恒等式求数量积 题型4 等和线求系数的最值（范围）（难点） 题型一 爪形定理的应用（共6小题） 1．（25-26高一下·湖北襄阳·月考）如图所示，已知在中，是线段上的靠近A的三等分点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因是线段上的靠近A的三等分点，则. 【解法二：】（爪形定理）, 故选：B 2.（25-26高一上·四川绵阳·期中）如图，在中，为线段上的一点，（，）且，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】因为， 所以， 则， 故，. 故选：B. 【解法二：】（爪形定理）， 故，. 故选：B. 3．（多选）（25-26高三上·辽宁·期末）在 中，点 在边 所在的直线上，且 ，若 ，则 的值可能为（ ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】由题意，当点位于如图所示的位置时，， 此时，那么. 由题意，当点位于如图所示的位置时，， 此时，那么. 故选：BC. 【解法二：】（爪形定理）由题意，当点在线段上时，， 此时，那么. 当点D在线段的延长线上时，， 此时，那么. 故选：BC. 4．（25-26高一上·山东日照·期末）如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为______. 【答案】/0.25 【详解】由题意及图，， 又，所以， 所以， 又，所以，解得m，t． 故答案为：． 【解法二：】（爪形定理）， 所以，解得. 5．（25-26高一上·安徽·期末）在梯形中，，点在对角线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意，作图如下所示： 由题意得，. 故选：A. 【解法二：】（爪形定理）. 故选：A. 6．（25-26高三上·河北·月考）如图，在中，为的中点，为上一点，且满足，.若，则__________. 【答案】/0.4 【详解】因为， 所以. 设，所以①. 因为为的中点，所以. 设，又， 所以 ②. 由①②可得，解得. 所以，所以. 故答案为： 【解法二：】（爪形定理）， 设，则，即， 由三点共线，可得，解得， 所以，即， 所以. 故答案为： 题型二 极化恒等式求数量积（共4小题） 7．（25-26高三上·山东潍坊·开学考试）如图，在中，，为中点，点在上，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，为中点，则， 因为，，所以为等边三角形， 则，，而，则， 由，， 所以 . 故选：B. 【解法二：】（极化恒等式）在中，，，， 所以，则, 因为，又，由极化恒等式可得， . 故选：B. 8．（24-25高一下·吉林·期末）已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设的中点为D，则． 因为， 所以． 因为等边的边长为2， 则，所以． 所以． 故选：B. 9．（25-26高三上·全国·月考）已知圆与圆的半径分别为3和1，圆与圆内切沿着圆周滚动如图所示，是圆的任意直径，则（    ）    A．1 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【详解】. 故选：. 10．（24-25高一下·广东深圳·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取的中点，连接，如图所示， 所以的取值范围是，即， 又由，所以. 故选：B. 题型三 极化恒等式求数量积的最值（范围）（共4小题） 11．（24-25高一下·重庆沙坪坝·期中）边长为1的正六边形内有一内切圆，是内切圆的直径，点为正六边形六条边上的动点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设正六边形内切圆圆心为， 由题意可知内切圆半径为，， 又因为，所以的取值范围为． 故选：C． 12．（2025高一·全国·专题练习）如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】如图，取的中点，， 而，所以． 故答案为： 13．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）《哪吒》的玉虚宫，形态由九宫八卦阵演变而来，设计灵感来源于汉代，内饰充满了中国文化符号．我校高一数学实践小组将玉虚宫轮廓抽象为正八边形，结合向量知识进行主题探究活动．如图，正八边形，边长为，点为线段上的动点，则的最大值为________ ． 【答案】1 【详解】由， 且，，，， 所以 ， 当时，的最大值为1. 故答案为：1 【解法二：】 （极化恒等式）取中点，连接， 由极化恒等式知，， 因为为定长，所以当最小，即点为中的时，取的最大值， 此时. 所以当时，的最大值为1. 故答案为：1 14．（2025高一·全国·专题练习）已知正内接于半径为2的圆，为线段上一动点，延长，交圆于点，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】如图，取中点为，连结． 由条件可知， ． 因为点在劣弧上，当点在点处时取最小值，当点在点处时取最大值， 所以，所以． 故答案为： 题型四 等和线求系数的和、差以及和差的最值（共7小题） 15.（25-26高三上·四川成都·期末）如图，圆的内接四边形的面积为，已知，，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【详解】由，则.四边形内接于圆，则四边形为等腰梯形. 设等腰梯形高为，又面积为，则等腰梯形高为， 则. 法一：取中点，直线相交于，在中，， ，则，所以. ，又三点共线， 则，则. 法二：， 所以 所以， 所以. 故选：A. 16．（2026高一下·全国·专题练习）在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，点是圆上及内部的动点，设，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图所示，显然是等和线， 当动圆圆心是点时，直线是距离最近的等和线． 易知点到这两条等和线的距离比为，从而此时的； 而当动圆的圆心在点时，直线是距离最远的等和线， 易知点到直线与直线的距离比为， 从而此时的．综上， 故选：C 17．（24-25高一下·山东济南·月考）如图，与的面积之比为2，点是内任意一点(含边界)，且，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当点P在线段BC上运动时，此时B、P、C三点共线， 因为，所以，此时为的最小值； 分别延迟AB、AC至，使，连接，如图所示， 因为， 所以与相似，且相比为， 因为与的面积之比为2，且， 所以与的高之比为， 即与高之比为， 所以三点共线， 当P位于D点时，， 此时，即，此时为的最大值， 所以当点在内（含边界）运动时，的取值范围为 故选：A 18．（23-24高一下·重庆渝中·月考）键线式可以直观地描述有机物的结构，在有机化学中广泛使用．有机物“萘”可以用下左图所示的键线式表示，其结构简式可以抽象为下右图所示的图形．已知与为全等的正六边形．若点为右边正六边形的边界（包括顶点）上的动点，且向量，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由平面向量共线定理可得，，，则三点共线的充要条件是. 下面先证明“等和线定理”， 如图，设，， 因为三点共线，所以存在，使得. ， ，，则. 由“等和线定理”结合图形可知：当点在上时，易得， 当点在上时，易得， 当点在上时，易得， 当点在上时，易得， 当点在上时，易得， 当点在上时，易得， 综上，可得. 故选：C． 19.（多选）（25-26高一上·江苏盐城·期末）如图，点B是线段的中点，，点是平行四边形内（含边界）的一点，且，以下结论中正确的是（    ） A．当是线段的中点时， B．当时， C．当为定值时，点的轨迹是一条线段 D．的最大值为 【答案】ACD 【详解】对于A，当是线段的中点时，， 所以，所以A正确. 对于B，当时，取线段，线段的中点，分别记为，则平行于. 延长与直线交于点，则，. 所以，所以，所以点的轨迹为线段. 当点与重合时，. 当点与重合时，. 所以.所以B不正确. 对于C，当为定值2时，. 令，可得三点共线. 分别取线段的中点，记为，所以，即. 连接交于点，则. 所以点的轨迹是线段，所以C正确. 对于D，由于平行四边形在的左上方，且三点共线，所以. 所以，所以，即当时，取得最大值，此时点与点重合，所以D正确. 故选：ACD. 20．（25-26高三下·上海·月考）如图，，点在由射线、线段及的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，则的取值范围是________. 【答案】 【详解】如图，在的反向延长线上取点，使得， 过作，分别交和的延长线于点、， 则，， 由于， 要使得点落在指定区域内，则点应落在上（不含端点处）， 当点在点处时，， 当点在点处时，， 所以的取值范围是. 21．（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示，，点在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动，且，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】因点在由射线OM，线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动， 故存在，使 ， 依题意，，则，因，则. 故实数的取值范围为. 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $