8.5.3 平面与平面的平行（教学课件）高一数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.5空间直线、平面的平行 第3课时 平面与平面的平行 学 习 目 标 1 2 3 理解平面与平面平行的定义，掌握平面与平面平行的判定定理和性质定理，明确定理的条件与结论。 能运用判定定理证明两个平面平行，运用性质定理解决与平面平行相关的简单问题，提升空间想象能力和逻辑推理能力。 掌握平面与平面平行的判定与性质的内在联系，能灵活运用定理进行转化，体会空间几何中“线面平行”与“面面平行”的转化思想。 新课引入 问题1：平面与平面有几种位置关系？分别是什么？ 回顾旧知 β α β α 问题2：怎样判定平面与平面平行？ 两个平面内分别有一条直线互相平行？ 两个平面内分别有两条直线平行？ 新课引入 楼房中的问题 建筑工人在建造楼房时，如何判断每一层的楼板是否与水平面平行？ 装修工人铺设地板时，如何确保地板所在平面与水平面平行？ 新课引入 面面平行判定 实验探究 实验1 将笔记本的两条对边所在直线（平行线）都与桌面平行 转动笔记本，保持这两条直线与桌面平行，观察本子与桌面是否一定平行？ 都与桌面平行 虽然两直线都与桌面平行，但本子与桌面相交 实验2 将三角尺的两条相邻边所在直线（相交线）都与桌面平行，观察三角尺与桌面是否平行？ 思考：为什么两条相交直线都平行于另一平面，就能判定两平面平行？而两条平行直线却不行？ 新课引入 双层的“空中走廊” 想象你是一名桥梁工程师，正在设计一座双层景观桥。这座桥的上层平台和下層平台是完全平行的两个水平面。 现在，为了支撑上层平台的重量，你需要在上下两层之间安装一系列垂直的立柱（这些立柱垂直于桥面）。 同时，为了让桥体更加稳固，你还需要在上下两层之间安装斜向的钢梁，这些钢梁连接上下两层。 钢梁与上层平台、下层平台分别是什么关系？ 如果我再架设一块水平的辅助板（第三个平面），它分别与上下两层相交，那么这两条交线之间是什么关系？ 如果辅助板是倾斜的（比如一块斜撑板），它与上下两层桥面分别交于两条线，这两条线还会平行吗？ 面面平行性质 在刚才的桥梁设计中，我们发现：当两个平面平行时，第三个平面与它们相交，两条交线总是互相平行的。 这其实就是我们今天要学习的——面面平行的性质定理。 构建体系 面面平行判定 1.平面与平面平行的判定定理 语言类型 内容 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 图形语言 定理理解 1. 关键词：“两条”、“相交”、“都平行”——三者缺一不可 2. 转化思想：将”面面平行”转化为”线面平行”（再转化为”线线平行”） 3. 证明思路：反证法（假设相交，推出矛盾） 注意事项 两条直线必须相交，平行直线不行（反例：长方体中一个面的两条平行棱都平行于对面，但两面相交？不，这里需要修正：实际上长方体相对面是平行的，但如果是两个相交平面内各有一条平行线都平行于交线，则两平面相交） - 必须是同一平面内的两条相交直线 构建体系 面面平行性质 平面与平面平行的性质定理 语言类型 内容 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 图形语言 定理理解 项目 内容 核心作用 由面面平行推导线线平行，实现空间问题平面化 关键操作 构造同时与两个平行平面相交的第三个平面 证明方法 线线平行定义法：两条直线无公共点且共面 定理文字 两个平行平面同时和第三个平面相交，交线平行 符号语言 若，，，则 构建体系 面面平行 平行关系的转化网络 线线平行 ←——基本事实4、平面几何方法——→ 线线平行 ↑ ↓ └————— 线面平行的性质定理 ————————→ 线面平行 ↑ ↓ └—— 面面平行的性质定理 ——→ 面面平行 ↑ ↓ └—— 面面平行的判定定理 —┘ 转化口诀 低维→高维：找平行，用判定（线线→线面→面面） 高维→低维：得平行，用性质（面面→线面→线线） 典例分析 题型1 面面平行的判定 【例1】 如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为平行四边形,点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.求证:平面MNQ∥平面PBC. 证明:∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD, ∴MQ∥AD,NQ∥BP. ∵BP⊂平面PBC,NQ⊄平面PBC, ∴NQ∥平面PBC. ∵底面ABCD为平行四边形, ∴BC∥AD,∴MQ∥BC. ∵BC⊂平面PBC,MQ⊄平面PBC, ∴MQ∥平面PBC. 又MQ∩NQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理,得平面MNQ∥平面PBC. 线面平行（1） 线面平行（2） 判定面面平行 典例分析 题型1 面面平行的判定 例2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,S是B1D1的中点,E,F,G分别是BC,DC,SC的中点. 求证:(1)直线EG∥平面BDD1B1; (2)平面EFG∥平面BDD1B1. 证明:(1)如图,连接SB, ∵E,G分别是BC,SC的中点,∴EG∥SB. 又SB⊂平面BDD1B1,EG⊄平面BDD1B1, ∴直线EG∥平面BDD1B1. (2)连接SD,∵F,G分别是DC,SC的中点,∴FG∥SD. 又SD⊂平面BDD1B1,FG⊄平面BDD1B1,∴FG∥平面BDD1B1. 又EG∥平面BDD1B1,且EG⊂平面EFG,FG⊂平面EFG, EG∩FG=G, ∴平面EFG∥平面BDD1B1. 辅助线 线线平行 线面平行（1） 线面平行（2） 第（1）问证明线面平行（1） 证明面面平行 典例分析 题型2 面面平行的判定探究问题 例3 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?并说明理由. 解:当Q为CC1的中点时,平面D1BQ∥平面PAO.理由如下:如图,连接PQ. 结论 第一组线面平行 第二组线面平行 获得面面平行 典例分析 题型2 面面平行的判定探究问题 例4.若将本例改为“在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则当点M满足　　　　　时,有MN∥平面B1BDD1.”请填空.  解析:取B1C1的中点P,连接PF,PN(图略),易证平面FHNP∥平面B1BDD1,故只要M∈FH,即可保证MN∥平面B1BDD1. 答案:M∈FH 平面与平面平行的判定定理的综合运用,注意运用“线在面中,面中有线”;有中点条件时,常构造平行四边形、三角形中位线等找平行;或先猜想、尝试线面平行,线线平行,再来论证结论正确. 感悟 典例分析 题型3 平面与平面平行的性质定理 例5 正方体ABCD-A1B1C1D1如图所示.  (1)求证:平面AB1D1∥平面C1BD; (2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E,F,并证明:A1E=EF=FC. (1)证明:因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD B1C1, 所以四边形AB1C1D是平行四边形,所以AB1∥C1D. 又因为C1D⊂平面C1BD,AB1⊄平面C1BD, 所以AB1∥平面C1BD. 同理B1D1∥平面C1BD. 因为AB1∩B1D1=B1,AB1⊂平面AB1D1,B1D1⊂平面AB1D1, 所以平面AB1D1∥平面C1BD. 典例分析 题型3 平面与平面平行的性质定理 例5 正方体ABCD-A1B1C1D1如图所示.  (1)求证:平面AB1D1∥平面C1BD; (2)试找出体对角线A1C与平面AB1D1和平面C1BD的交点E,F,并证明:A1E=EF=FC. 辅助线 如图,连接A1C1交B1D1于点O1,连接AO1,则AO1是平面AB1D1与平面ACC1A1的交线 E点位置 所以A1C与平面AB1D1的交点E在AO1上,故A1C与AO1相交于点E. F点位置 同理,连接AC交BD于点O,连接C1O与A1C交于点F, 则F就是A1C与平面C1BD的交点. 证明A1E=EF=FC 因为平面A1C1C∩平面AB1D1=EO1,平面A1C1C∩平面C1BD=C1F,平面AB1D1∥平面C1BD,所以EO1∥C1F.在△A1C1F中,O1是A1C1的中点,所以E是A1F的中点,即A1E=EF;同理可证OF∥AE,所以F是CE的中点,即CF=FE,所以A1E=EF=FC. 典例分析 题型3 平面与平面平行的性质定理 例6.如图,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABC,α分别交线段PA,PB,PC于点A',B',C'. 解:∵平面α∥平面ABC,平面PAB∩平面α=A'B',平面PAB∩平面ABC=AB, ∴A'B'∥AB.同理可证B'C'∥BC,A'C'∥AC.∴∠B'A'C'=∠BAC,∠A'B'C'=∠ABC,∴△A'B'C'∽△ABC.∵PA'∶A'A=2∶3,∴PA'∶PA=2∶5,∴A'B'∶AB=2∶5. 1.面面平行的性质定理的注意事项 (1)定理的条件:两平面平行,第三个平面与这两个平面均相交. (2)定理的实质:面面平行转化为线线平行,体现了转化思想,可实现线面、线线、面面平行间的相互转化. 2.面面平行的性质定理的几个推论 (1)两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面. (2)夹在两平行平面间的平行线段相等. (3)经过平面外的一点有且只有一个平面与已知平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例. 反思感悟 举一反三 1.(多选)下列说法正确的是 A.一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，必与另外一个平面 平行 B.一个平面内两条相交直线与另一个平面内的两条相交直线平行， 则这两个平面平行 C.平行于同一个平面的两平面平行 D.夹在两个平行平面间的平行线段相等 √ √ √ 解析　A中，直线还可以在平面内，A错误； B中，一个平面内两条相交直线平行于另一个平面内的两条相交直线，可得两条相交直线与另一个平面平行，即两个平面平行，B正确； C，D显然正确. 举一反三 2.已知平面α与平面β平行，直线a⊂α，则下列说法正确的是 A.a与α内所有直线平行 B.a与β内的无数条直线平行 C.a与β内的任何一条直线都不平行 D.a与β内的任何一条直线平行 √ 解析　∵α∥β，a⊂α，过a作平面γ与平面β相交，则a与交线平行. 在β内与交线平行的直线都与a平行，故有无数条，故选B. 3.若平面α∥平面β，直线a⊂α，点M∈β，过点M的所有直线中 A.不一定存在与a平行的直线 B.只有两条与a平行的直线 C.存在无数条与a平行的直线 D.有且只有一条与a平行的直线 √ 解析　由于α∥β，a⊂α，M∈β，过M有且只有一条直线与a平行，故D项正确. 举一反三 4.求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等. α∥β，AB∥CD，且A∈α，C∈α，B∈β，D∈β． 求证：AB＝CD． A B C D α β γ 证明：过平行线AB，CD作平面γ，与平面α和β分别相交于AC和BD． ∵α∥β，∴BD∥AC． 又 AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形． ∴ AB＝CD． 举一反三 5.已知平面α∥平面β，P∉ α且P∉ β，过点P的直线m与α、β分别交于A、C，过点P的直线n与α、β分别交于B、D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，求BD的长． P α C D β A B m n 解：∵AC∩BD=P, ∵α∥β,平面PCD∩α=AB,平面PCD∩β=CD, ∴AB∥CD, ∴经过直线AC与BD可以确定平面PCD, 举一反三 6.如图，在正方体EFGH－E1F1G1H1中，下列四对截面彼此平行的一对是 A.平面E1FG1与平面EGH1 B.平面FHG1与平面F1H1G C.平面F1H1H与平面FHE1 D.平面E1HG1与平面EH1G √ 解析　如图，∵EG∥E1G1，EG⊄平面E1FG1，E1G1⊂平面E1FG1， ∴EG∥平面E1FG1. 又G1F∥H1E， 同理可证H1E∥平面E1FG1， 又H1E∩EG＝E，H1E，EG⊂平面EGH1， ∴平面E1FG1∥平面EGH1. 举一反三 7.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为 A.1 B.1.5 C.2 D.3 √ 解析　平面α∥平面BC1E，平面α∩平面ABB1A1＝A1F，平面BC1E∩平面ABB1A1＝BE， ∴A1F∥BE，又A1E∥FB， ∴四边形A1FBE为平行四边形， ∴FB＝A1E＝3－1＝2， 学海拾贝 知识小结 平面与平面平行 ├── 判定定理：线面平行 → 面面平行 │ └── 关键：两条相交直线 ├── 性质定理：面面平行 → 线线平行 │ └── 关键：构造第三个平面 └── 应用 ├── 证明面面平行（判定） ├── 证明线线平行（性质） └── 计算线段比例、面积比 学海拾贝 方法小结 判定方法：判定两个平面平行的关键是在其中一个平面内找出两条相交直线分别平行于另一个平面。 操作步骤： 在一个平面内找出两条相交直线 证明这两条直线分别平行于另一个平面 利用判定定理得出结论 利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤 (1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条. (2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出). (3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上. (4)由定理得出结论. 学海拾贝 思想方法 转化与化归思想：三种平行关系之间的相互转化 空间问题平面化：利用性质定理将空间问题转化为平面问题 构造法：构造辅助平面、辅助直线 易错提醒 判定定理：必须是”两条相交直线”，不是”两条直线”也不是”无数条直线” 性质定理：必须强调”第三个平面”与两个平行平面都相交 符号规范：严格区分 ⊂（包含于）和 ∈（属于），⊄ 和 ∉ 感谢聆听! 若,求的值. $