精品解析：湖北省武昌实验中学2025-2026学年高二下学期3月阶段性检测数学试卷

高二年级三月阶段性检测 数学试卷 考试时间：2026年3月26日下午14：00-16：00 试卷满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知函数满足，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数满足， 所以， 所以. 2. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】通过对函数求导，再将代入解方程即得. 【详解】由求导得： ， 则，故. 故选：C. 3. 如图所示是函数的导数的图像，下列四个结论： ①在区间上是增函数； ②在区间上是减函数，在区间上是增函数： ③是的极大值点； ④是的极小值点. 其中正确的结论是 A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 【答案】D 【解析】 【分析】结合导函数的图象，可判断函数的单调性，从而可判断四个结论是否正确. 【详解】由题意，和 时，；和时，， 故函数在和上单调递减，在和上单调递增， 是的极小值点，是的极大值点， 故②④正确，答案为D. 【点睛】用导数求函数极值的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数； ③求方程的根； ④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值. 4. 在等比数列中，是函数的极值点，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的极值点的定义求得，再运用等比中项即可求得. 【详解】由可得， 依题意是方程的两根，则，， 又数列是等比数列，设公比为， 则，， 故，，故. 故选：A. 5. 若数列满足，且对于任意的都有，则等于（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 利用累加法求出，再由裂项相消求和即可. 【详解】由可得 ，，，， 累加得 即 故选：D 6. 如图，在正三棱柱中，，若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先求出底面内切圆半径，再结合题意得到正方体外接球直径等于该内切圆直径时，棱长最大可得. 【详解】在正三棱柱中，，所以底面三角形内切圆半径为， 因为存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，所以正方体的外接球要在该正三棱柱中， 若正方体棱长最大，可知该球体直径应为底面内切圆直径，即，即， 此时三棱柱的高大于球的直径，符合要求. 故选：D 7. 函数的导函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再利用单调性求解不等式即得. 【详解】令函数，而， 求导得， 因此函数在R上单调递增，由，得， 不等式，解得， 所以不等式的解集是. 故选：A 【点睛】思路点睛：对于含有导函数的不等式的问题，在求解过程中一般要通过构造函数来解决，构造时要结合题中的条件，再判断出所构造的函数的单调性，借助单调性求解. 8. 如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用双曲线的光学性质及双曲线定义，设，用表示，先在中由求出，再在中由即可求解. 【详解】由题意可知直线，都过点，如图， 则有，， 设，则， 所以，故， 所以， 因此， 在，， 即， 整理得即，解得， 所以， 令双曲线半焦距为c， 在中，，即， 解得， 所以的离心率为. 故选：B 【点睛】方法点睛：求双曲线离心率的三种方法： ①定义法，通过已知条件列出方程组，求得a，c的值，根据离心率的定义求解离心率e；②齐次式法，由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于e的一元二次方程求解；③特殊值法：通过取特殊值或特殊位置，求出离心率. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）下列结论错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由导数的四则运算及初等函数导数逐项判断即可. 【详解】因为，所以A错误； ，而，所以B错误； ，所以C错误； ，所以D正确. 故选：ABC 10. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B. C. 若，则 D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 【答案】ABD 【解析】 【分析】对选项A，根据题意得到，即可判断A正确，对选项B，分别对直线斜率存在和不存在进行讨论，即可判断B正确，对选项C，根据焦点弦公式即可判断C错误，对选项D，首先过分别向准线作垂线，垂足为，再结合抛物线的概念即可判断D正确. 【详解】对选项A，抛物线：的焦点到准线的距离是4， 所以，，故A正确. 对选项B，当直线的斜率不存在时，，所以， 当直线的斜率存在时，设， 得：，所以. 故B正确 对选项C，，故C错误. 对选项D，如图所示： 过分别向准线作垂线，垂足为， 因为， 所以， 即：以为直径的圆与的准线相切，故D正确. 故选：ABD 11. 高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有（ ） A B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据与的关系，化简可得，判断A，B；再由裂项相消法求判断C；利用放缩法判断D. 【详解】对于A，B，， 所以当时，， 又，则， 所以，故A错，B对； 对于C，， ， ，故C对； 对于D，， ， 当时，， ， ，故D对； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：此题解题的关键是正确理解高斯函数，根据递推式，从而可归纳出通项公式，进而可求得答案. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用方程表示焦点在y轴上的椭圆建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】因为方程表示焦点在y轴上的椭圆， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知，则曲线在点处的切线方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】先求导函数，结合点斜式直线方程，利用导数的几何意义即可求解. 【详解】由题意得：，又， 所以， 所以所求的切线方程为. 14. 对，恒有，则实数a的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】通过对不等式进行变形，构造函数，利用函数单调性求解的最小值. 【详解】令，则， 令，有 当时,，当时,，即在上单调递减，在上单调递增， ，因此，在单调递增， 则 令，则， 当时,，当时, 于是得函数在上单调递增，在上单调递减，则当时,，即得 所以实数a的最小值为 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项. （1）求的通项公式； （2）若，，求数列的前项和. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列通项公式把、、都用与表示，结合已知解出，即可得出的通项公式； （2）先表示出，再表示出，用错位相减法即可求解. 【小问1详解】 设的公差为，因为是与的等比中项， 所以，即， 整理得. 又，，所以， 则. 【小问2详解】 由（1）可得，， 则①， ②， ①-②得 则. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调性和极值． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）把代入，求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. （2）求出函数的导数，按分类探讨函数的单调区间及极值. 【小问1详解】 当时，则，求导得，则，而， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得，显然， 当时，，函数在上单调递增，无极值； 当时，由，得；由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，无极小值， 所以当时，函数在上单调递增，无极值； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减，极大值为，无极小值. 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点． （1）求证：平面； （2）平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直性质定理证明平面，可得，再利用向量法证明，然后由线面垂直判定定理可证； （2）以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法可解. 【小问1详解】 因为为正三角形，是中点，所以， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又平面，所以， ， 又在平面内且相交，故平面 【小问2详解】 分别为的中点，， 又平面过且不过，平面． 又平面交平面于，故，进而， 因为是中点，所以是的中点． 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ，， 设平面法向量为， 则，即，取，得， 则， 因为，所以. 18. 已知点，，，且. （1）求点P的轨迹方程C； （2）已知点，斜率为k的直线过点M. （i）若，且直线与曲线C只有一个交点，求k的值； （ii）已知点，直线与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线，的斜率分别为，，若为定值，求实数m的值. 【答案】（1） （2）（i）或；（ii） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的性质及定义写出对应参数，即可得； （2）（i）设直线，联立双曲线方程得，讨论、，分别求直线与双曲线只有一个交点情况下对应k值； （ii）设直线，，联立双曲线并应用韦达定理，结合，韦达定理代入化简，根据定值列方程组求得参数m. 【小问1详解】 由题意，点P的轨迹为双曲线，且， 所以，则点P的轨迹方程C为； 【小问2详解】 （i）由题设，设直线，联立双曲线，得， 所以， 当，即时，直线与双曲线只有一个交点， 当，交点为；当，交点为； 当，此时，则， 当，切点为；当，切点为； 综上，或 （ii）由题设直线， 联立双曲线方程，得，则， 故，所以①， 设，则，， 由 又，， 为定值， 所以，此时为定值. 19. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意正整数，都有. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）由分析需满足条件，得到，再说明时不满足条件； （3）结合（2）得对恒成立，令（），则，再累加求和即可证明. 【小问1详解】 当时，， 所以，，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 当时，若单调递减，则满足条件， 因此需在恒成立，即在恒成立， 所以 设， 则当时，恒成立（当且仅当时取等号）， 所以在单调递增，所以， 所以，得； 当时，，， 所以存在，， 则当时，，单调递增，此时，不满足条件， 综上可知，实数的取值范围为. 【小问3详解】 由（2）知，当时，对任意恒成立， 所以对恒成立，当且仅当时等号成立， 令（），则，即， 所以，，，，，， 累加得： 所以，证毕. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级三月阶段性检测 数学试卷 考试时间：2026年3月26日下午14：00-16：00 试卷满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 已知函数满足，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 2. 已知函数，则（ ） A 1 B. C. D. 2 3. 如图所示是函数的导数的图像，下列四个结论： ①在区间上是增函数； ②在区间上是减函数，在区间上是增函数： ③是的极大值点； ④是的极小值点. 其中正确的结论是 A. ①③ B. ②③ C. ②③④ D. ②④ 4. 在等比数列中，是函数的极值点，则（ ） A. 2 B. C. D. 1 5. 若数列满足，且对于任意的都有，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正三棱柱中，，若存在一个可以在三棱柱内任意转动的正方体，则该正方体棱长的最大值为（ ） A 1 B. C. D. 2 7. 函数的导函数满足，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点.若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点和，且，则的离心率为( ) A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. （多选）下列结论错误的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 10. 已知抛物线：的焦点到准线的距离是4，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的焦点坐标是 B C. 若，则 D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径 11. 高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有（ ） A B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为______． 13. 已知，则曲线在点处的切线方程为______. 14. 对，恒有，则实数a的最小值为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在公差不为0的等差数列中，，且是与的等比中项. （1）求的通项公式； （2）若，，求数列的前项和. 16. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调性和极值． 17. 如图，四棱锥的底面是矩形，是等边三角形，平面平面分别是的中点，与交于点． （1）求证：平面； （2）平面与直线交于点，求直线与平面所成角的大小． 18. 已知点，，，且. （1）求点P的轨迹方程C； （2）已知点，斜率为k的直线过点M. （i）若，且直线与曲线C只有一个交点，求k的值； （ii）已知点，直线与双曲线C有两个不同的交点A，B，直线，的斜率分别为，，若为定值，求实数m的值. 19. 已知函数. （1）若，求曲线在处的切线方程； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）证明：对任意正整数，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $