6.1.2 第1课时 瞬时变化率与导数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

　　　　　　6.1.2　导数及其几何意义　 第1课时　瞬时变化率与导数 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 了解导数概念的实际背景.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，进一步体会导数的内涵与思想. 　　函数在某点处的导数 1.瞬时变化率 一般地，设函数y=f（x）在x0附近有定义，自变量在x=x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率=无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f（x）在x=x0处的瞬时变化率. 2.函数f（x）在x=x0处的导数 （1）函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率，也称f（x）在x0处可导，并称k为f（x）在x=x0处的导数，记作f'（x0）=k. （2）“当Δx无限接近于0时，无限接近于常数k”也常用符号“→”（读作“趋向于”）表示为当Δx→0时，→k，或者写成=k，即f'（x0）=. 基础落实训练 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数在一点处的导数f'（x0）是一个常数. （　　） （2）函数y=f（x）在点x0处的导数f'（x0）就是导函数f'（x）在点x=x0处的函数值. （　　） （3）函数f（x）=0没有导函数. （　　） （4）=. （　　） 答案：（1）√　（2）√　（3）×　（4）√ 2.某物体运动的位移随时间变化的函数是s=f（t），已知t0时刻该物体的瞬时速度为a，则的值为 （　　） A.-2a B.2a C.a D. 解析：选C　因为t0时刻该物体的瞬时速度为a，所以=f'（t0）=a. 3.函数y=x2在x=1处的瞬时变化率为 （　　） A.2 B. C.- D.1 解析：选A　函数y=x2在x=1处的瞬时变化率为=（Δx+2）=2. 4.设函数f（x）在x=x0处可导，且满足=，则f'（x0）= （　　） A.2 B.1 C.-1 D.-2 解析：选B　f'（x0）==2=2×=1. 题型（一）　瞬时变化率 [例1]　已知函数y=f（x）=2x2+1. （1）求函数f（x）在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率； （2）求函数f（x）在区间[2，2.01]上的平均变化率； （3）求函数f（x）在x=2处的瞬时变化率. 解：（1）∵Δy=f（x0+Δx）-f（x0） =2（x0+Δx）2+1-2-1=2Δx（2x0+Δx）， ∴函数f（x）在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率为==4x0+2Δx. （2）由（1）可知=4x0+2Δx，当x0=2，Δx=0.01时， =4×2+2×0.01=8.02，即函数f（x）在区间[2，2.01]上的平均变化率为8.02. （3）Δy=f（2+Δx）-f（2）=2（2+Δx）2+1-（2×22+1）=2（Δx）2+8Δx.∴=2Δx+8. 故函数f（x）在x=2处的瞬时变化率为=（2Δx+8）=8. 　　|思|维|建|模| 求瞬时变化率的主要步骤 （1）计算函数值的改变量Δy=f（x2）-f（x1）. （2）计算自变量的改变量Δx=x2-x1. （3）得平均变化率=. （4）得瞬时变化率. 　　[针对训练] 1.已知函数f（x）=-. （1）函数f（x）在区间[1，1.5]，[1，1.1]上的平均变化率各是多少? （2）函数f（x）在x=1处的瞬时变化率是多少? 解：（1）∵f（x）=-， ∴f（1）=-6，f（1.5）=-4，f（1.1）=-， ∴该函数在区间[1，1.5]上的平均变化率为==4， 在区间[1，1.1]上的平均变化率为==. （2）函数f（x）在x=1处的瞬时变化率为 = ===6. 题型（二）　导数定义的应用 [例2]　已知函数y=f（x）=求此函数在x=1和x=4处的导数. 解：当x=1时，f（x）=3x2+2， 所以Δy=3（1+Δx）2+2-（3×12+2）=6Δx+3（Δx）2. 所以==6+3Δx. 所以f'（1）==（6+3Δx）=6. 当x=4时，f（x）=29+3（x-3）2， 所以Δy=29+3（4+Δx-3）2-[29+3（4-3）2]=6Δx+3（Δx）2. 所以==6+3Δx. 所以f'（4）==（6+3Δx）=6. 　　|思|维|建|模| 求函数y=f（x）在x=x0处的导数的三个步骤 　　[针对训练] 2.已知y=f（x）=，且f'（m）=-，则m等于 （　　） A.-4 B.2 C.-2 D.±2 解析：选D　因为===，所以f'（m）==-，所以-=-，m2=4，解得m=±2. 3.求函数y=x-在x=1处的导数. 解：∵Δy=（1+Δx）--=Δx+，∴==1+， ∴==2.从而y'|x=1=2. 题型（三）　导数在实际问题中的意义 [例3]　已知在使用某种杀菌剂t小时后室内的细菌数量为f（t）=105+104t-103t2. （1）求f'（10）； （2）f'（10）的实际意义是什么? 解：（1）由函数f（t）=105+104t-103t2， 当Δh≠0时，在使用杀菌剂10小时附近的时间段[10，10+Δh]（Δh>0）内， 可得细菌数量关于时间的增量为f（10+Δh）-f（10）=105+104（10+Δh）-103（10+Δh）2-（105+104×10-103×102）=-104Δh-103（Δh）2，则==-104-103Δh， 当Δh趋近于0，就得到f'（10）=（-104-103Δh）=-104=-10 000. （2）f'（10）的实际意义是细菌数量在t=10时的瞬时变化率，它表明在t=10附近，细菌数量大约以每小时104的速率减少. 　　|思|维|建|模| 认识瞬时变化率的关键点 （1）极限思想是逼近的思想，瞬时变化率就是平均变化率的极限. （2）函数y=f（x）在x=x0处的导函数f'（x0）反映了函数在x=x0处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况. 　　[针对训练] 4.某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润c（单位：元）与产量x（单位：台）之间的关系式为c（x）=-2x2+7 000x+600. （1）求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均变化率； （2）求c'（1 000）与c'（1 500），并说明它们的实际意义. 解：（1）当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均变化率为= =2 000（元/台）. （2）设x=1 000时产量的改变量为Δx1， 则= ==-2Δx1+3 000. 令Δx1→0，可得c'（1 000）=3 000. 设x=1 500时产量的改变量为Δx2， 则= ==-2Δx2+1 000. 令Δx2→0，可得c'（1 500）=1 000.c'（1 000）的实际意义：当产量为1 000台时，多生产1台旋切机可多获得3 000元；c'（1 500）的实际意义：当产量为1 500台时，多生产1台旋切机可多获得1 000元. 学科网（北京）股份有限公司 $