6.1.2 第1课时 瞬时变化率与导数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

　　　　　　6.1.2　导数及其几何意义　

第1课时　瞬时变化率与导数 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学]

[课时目标]

了解导数概念的实际背景.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，进一步体会导数的内涵与思想.

 

 　　函数在某点处的导数

1.瞬时变化率

一般地，设函数y=f（x）在x0附近有定义，自变量在x=x0处的改变量为Δx，当Δx无限接近于0时，若平均变化率=无限接近于一个常数k，那么称常数k为函数f（x）在x=x0处的瞬时变化率.

2.函数f（x）在x=x0处的导数

（1）函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率，也称f（x）在x0处可导，并称k为f（x）在x=x0处的导数，记作f'（x0）=k.

（2）“当Δx无限接近于0时，无限接近于常数k”也常用符号“→”（读作“趋向于”）表示为当Δx→0时，→k，或者写成=k，即f'（x0）=.

基础落实训练

1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”）

（1）函数在一点处的导数f'（x0）是一个常数. （　　）

（2）函数y=f（x）在点x0处的导数f'（x0）就是导函数f'（x）在点x=x0处的函数值. （　　）

（3）函数f（x）=0没有导函数. （　　）

（4）=. （　　）

答案：（1）√　（2）√　（3）×　（4）√

2.某物体运动的位移随时间变化的函数是s=f（t），已知t0时刻该物体的瞬时速度为a，则的值为              （　　）

A.-2a B.2a

C.a D.

解析：选C　因为t0时刻该物体的瞬时速度为a，所以=f'（t0）=a.

3.函数y=x2在x=1处的瞬时变化率为 （　　）

A.2 B.

C.- D.1

解析：选A　函数y=x2在x=1处的瞬时变化率为=（Δx+2）=2.

4.设函数f（x）在x=x0处可导，且满足=，则f'（x0）= （　　）

A.2 B.1

C.-1 D.-2

解析：选B　f'（x0）==2=2×=1.

 

题型（一）　瞬时变化率

 [例1]　已知函数y=f（x）=2x2+1.

（1）求函数f（x）在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率；

（2）求函数f（x）在区间[2，2.01]上的平均变化率；

（3）求函数f（x）在x=2处的瞬时变化率.

解：（1）∵Δy=f（x0+Δx）-f（x0）

=2（x0+Δx）2+1-2-1=2Δx（2x0+Δx），

∴函数f（x）在区间[x0，x0+Δx]上的平均变化率为==4x0+2Δx.

（2）由（1）可知=4x0+2Δx，当x0=2，Δx=0.01时，

=4×2+2×0.01=8.02，即函数f（x）在区间[2，2.01]上的平均变化率为8.02.

（3）Δy=f（2+Δx）-f（2）=2（2+Δx）2+1-（2×22+1）=2（Δx）2+8Δx.∴=2Δx+8.

故函数f（x）在x=2处的瞬时变化率为=（2Δx+8）=8.

　　|思|维|建|模|

求瞬时变化率的主要步骤

（1）计算函数值的改变量Δy=f（x2）-f（x1）.

（2）计算自变量的改变量Δx=x2-x1.

（3）得平均变化率=.

（4）得瞬时变化率.

　　[针对训练]

1.已知函数f（x）=-.

（1）函数f（x）在区间[1，1.5]，[1，1.1]上的平均变化率各是多少?

（2）函数f（x）在x=1处的瞬时变化率是多少?

解：（1）∵f（x）=-，

∴f（1）=-6，f（1.5）=-4，f（1.1）=-，

∴该函数在区间[1，1.5]上的平均变化率为==4，

在区间[1，1.1]上的平均变化率为==.

（2）函数f（x）在x=1处的瞬时变化率为

=

===6.

 

题型（二）　导数定义的应用