6.1.1 函数的平均变化率-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

　导数及其应用

6.1　导数

6.1.1　函数的平均变化率 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学]

 

[课时目标]

通过具体实例了解函数的平均变化率，了解“以直代曲”的含义，会求运动物体的平均速度.

 

逐点清（一）　函数的平均变化率

[多维理解]

1.平均变化率的概率

一般地，若函数y=f（x）的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1=f（x1），y2=f（x2），则

（1）自变量的改变量Δx=x2-x1；

（2）因变量的改变量Δy=y2-y1（或Δf=f（x2）-f（x1））；

（3）f（x）在[x1，x2]上的平均变化率为=   .

|微|点|助|解|

（1）Δx是自变量的改变量，它可以为正、为负，但不为零；Δy是相应的因变量的改变量，它既可以为正，可以为负，也可以等于零.

（2）平均变化率即=的几何意义就是函数y=f（x）图象上的两点（x0，f（x0））与（x0+Δx，

f（x0+Δx））所在直线的斜率.

（3）利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙、不精确”的，只有当Δx=x2-x1无限趋近于0时，这种量化才由“粗糙”趋近于“精确”.

 

2.平均变化率的实际意义

在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将增加个单位.因此，如果自变量增加h个单位，那么因变量将增加h个单位.

3.平均变化率的几何意义

=表示函数y=f（x）图象上过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的割线的斜率.

 

[微点练明]

1.函数f（x）=x2-cos x在[0，π]上的平均变化率为 （　　）

A.1 B.2

C.π+ D.π

解析：选C　平均变化率为===π+.

2.已知函数f（x）=x2+3x在[0，m]上的平均变化率是函数g（x）=2x+1在[1，4]上的平均变化率的3倍，则实数m的值为　　　　. 

解析：函数g（x）在[1，4]上的平均变化率为==2.函数f（x）在[0，m]上的平均变化率为==m+3.由题意知m+3=2×3，解得m=3.

答案：3

3.比较函数f（x）=2x与g（x）=x-1在区间[a-1，a]（a<0）上的平均变化率的大小.

解：f（x）=2x在区间[a-1，a]（a<0）上的平均变化率为==2a-2a-1=2a-1；

g（x）=x-1在区间[a-1，a]（a<0）上的平均变化率为==-=.∵a<0，∴a-1<-1，

∴2a-1<2-1=，

∴f（x）=2x在区间[a-1，a]（a<0）上的平均变化率比g（x）=x-1在区间[a-1，a]（a<0）上的平均变化率小.

 

逐点清（二）　平均速度与平均变化率

[多维理解]

如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h（t），则物体在[t1，t2]（t1<t2时）或[t2，t1]（t2<t1时）这段时间内的平均速度为（m/s）.这就是说，物体在某段时间内的平均速度等于x=h（t）在该段时间内的平均变化率.

 

[微点练明]

1.某质点沿直线运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为f（t）=t2+2t，则该质点在1≤t≤3这段时间内的平均速度为              （　　）

A.6 m/s B.7 m/s

C.8 m/s D.9 m/s

解析：选A　由题意知位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为f（t）=t2+2t，则该质点在1≤t≤3这段时间内的平均速度为===6（m/s）.

2.一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为s（t）=6t2+mt，且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s，则实数m的值为              （　　）

A.2 B.1

C.-1 D.-2