6.1.1 函数的平均变化率-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

　导数及其应用 6.1　导数 6.1.1　函数的平均变化率 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 通过具体实例了解函数的平均变化率，了解“以直代曲”的含义，会求运动物体的平均速度. 逐点清（一）　函数的平均变化率 [多维理解] 1.平均变化率的概率 一般地，若函数y=f（x）的定义域为D，且x1，x2∈D，x1≠x2，y1=f（x1），y2=f（x2），则 （1）自变量的改变量Δx=x2-x1； （2）因变量的改变量Δy=y2-y1（或Δf=f（x2）-f（x1））； （3）f（x）在[x1，x2]上的平均变化率为= . |微|点|助|解| （1）Δx是自变量的改变量，它可以为正、为负，但不为零；Δy是相应的因变量的改变量，它既可以为正，可以为负，也可以等于零. （2）平均变化率即=的几何意义就是函数y=f（x）图象上的两点（x0，f（x0））与（x0+Δx， f（x0+Δx））所在直线的斜率. （3）利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙、不精确”的，只有当Δx=x2-x1无限趋近于0时，这种量化才由“粗糙”趋近于“精确”. 2.平均变化率的实际意义 在以x1，x2为端点的闭区间上，自变量每增加1个单位，因变量平均将增加个单位.因此，如果自变量增加h个单位，那么因变量将增加h个单位. 3.平均变化率的几何意义 =表示函数y=f（x）图象上过两点（x1，f（x1）），（x2，f（x2））的割线的斜率. [微点练明] 1.函数f（x）=x2-cos x在[0，π]上的平均变化率为 （　　） A.1 B.2 C.π+ D.π 解析：选C　平均变化率为===π+. 2.已知函数f（x）=x2+3x在[0，m]上的平均变化率是函数g（x）=2x+1在[1，4]上的平均变化率的3倍，则实数m的值为　　　　.  解析：函数g（x）在[1，4]上的平均变化率为==2.函数f（x）在[0，m]上的平均变化率为==m+3.由题意知m+3=2×3，解得m=3. 答案：3 3.比较函数f（x）=2x与g（x）=x-1在区间[a-1，a]（a<0）上的平均变化率的大小. 解：f（x）=2x在区间[a-1，a]（a<0）上的平均变化率为==2a-2a-1=2a-1； g（x）=x-1在区间[a-1，a]（a<0）上的平均变化率为==-=.∵a<0，∴a-1<-1， ∴2a-1<2-1=， ∴f（x）=2x在区间[a-1，a]（a<0）上的平均变化率比g（x）=x-1在区间[a-1，a]（a<0）上的平均变化率小. 逐点清（二）　平均速度与平均变化率 [多维理解] 如果物体运动的位移x m与时间t s的关系为x=h（t），则物体在[t1，t2]（t1<t2时）或[t2，t1]（t2<t1时）这段时间内的平均速度为（m/s）.这就是说，物体在某段时间内的平均速度等于x=h（t）在该段时间内的平均变化率. [微点练明] 1.某质点沿直线运动，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为f（t）=t2+2t，则该质点在1≤t≤3这段时间内的平均速度为 （　　） A.6 m/s B.7 m/s C.8 m/s D.9 m/s 解析：选A　由题意知位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为f（t）=t2+2t，则该质点在1≤t≤3这段时间内的平均速度为===6（m/s）. 2.一个物体做直线运动，位移s（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为s（t）=6t2+mt，且这一物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s，则实数m的值为 （　　） A.2 B.1 C.-1 D.-2 解析：选A　Δs=s（2）-s（1）=6×22+2m-（6×12+m）=18+m，Δt=2-1=1，因为物体在1≤t≤2这段时间内的平均速度为20 m/s，所以v===18+m=20（m/s），解得m=2，故选A. 3.[多选]一球沿某一斜面自由滚下，测得滚下的垂直距离h（单位：m）与时间t（单位：s）之间的函数关系为h（t）=2t2+2t，则下列说法正确的是 （　　） A.前3 s内球滚下的垂直距离的增量Δh=20 m B.在时间[2，3]内球滚下的垂直距离的增量Δh=12 m C.前3 s内球在垂直方向上的平均速度为8 m/s D.在时间[2，3]内球在垂直方向上的平均速度为12 m/s 解析：选BCD　前3 s内，Δt=3 s，Δh=h（3）-h（0）=24 m，此时球在垂直方向上的平均速度为==8 m/s，A错误，C正确；在时间[2，3]内，Δt=1 s，Δh=h（3）-h（2）=12 m，此时球在垂直方向上的平均速度为==12 m/s，B正确，D正确.故选BCD. 4.某人服药后，吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度c（单位：μg/mL）来表示，它是时间t（单位：min）的函数，表示为c=c（t）.下表给出了c（t）的一些函数值： t/min 0 10 20 30 40 50 c（t）/（μg/mL） 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 t/min 60 70 80 90 100 — c（t）/（μg/mL） 0.97 0.90 0.79 0.63 0.41 — （1）求服药后30 min内，30 min到40 min，80 min到90 min这3段时间内，血液中药物质量浓度的平均变化率； （2）讨论刻画血液中的药物质量浓度变化快慢的方法，并说明上述3段时间中，药物质量浓度变化最快的时间段. 解：（1）服药后30 min内血液中药物质量浓度的平均变化率为≈0.004 67（μg/mL·min）， 服药后30 min到40 min内血液中药物质量浓度的平均变化率为≈0.002（μg/mL·min）， 服药后80 min到90 min内血液中药物质量浓度的平均变化率为≈-0.016（μg/mL·min）. （2）用平均变化率的绝对值的大小刻画药物质量浓度变化的快慢， 当>0时，血液中的药物质量浓度增加；当<0时，血液中的药物质量浓度减小， 因为|-0.016|>0.004 67>0.002， 所以80 min到90 min这段时间内血液中的药物质量浓度变化最快. 逐点清（三）　平均变化率的实际应用 [典例]　向一个圆台形的容器倒水，任意相等时间间隔内所倒的水体积相等，记容器内水面的高度h随时间t变化的函数为h=f（t），定义域为D，设t0∈D，k1，k2分别表示f（t）在区间[t0-Δt，t0]，[t0，t0+Δt]（Δt>0）上的平均变化率，则 （　　） A.k1>k2 B.k1<k2 C.k1=k2 D.无法确定 解析：选A　由容器的形状可知，在相同的变化时间内，高度的增加量越来越小，所以f（t）在区间[t0-Δt，t0]，[t0，t0+Δt]（Δt>0）上的平均变化率越来越小，即k1>k2. 　　|思|维|建|模| 　　平均变化率的绝对值反映函数在给定区间上变化的快慢，平均变化率的绝对值越大，函数在区间上的变化率越快；平均变化率的绝对值越小，函数在区间上的变化率越慢. 　　[针对训练] 1.物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况如图所示，下列说法正确的是 （　　） A.在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B.在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 C.在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D.在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 解析：选C　在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故A、B错误；在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，因为s2-s0>s1-s0，t1-t0>0，所以>，则在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度，故C正确，D错误. 2.如图，函数y=f（x）在[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是　　　　.  解析：由平均变化率的定义可知，函数y=f（x）在区间[x1，x2]，[x2，x3]，[x3，x4]上的平均变化率分别为，结合图象可以发现函数y=f（x）的平均变化率最大的一个区间是[x3，x4]. 答案：[x3，x4] 学科网（北京）股份有限公司 $