5.3.1 第2课时 等比数列的性质-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

第2课时　等比数列的性质 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学]

[课时目标]

1.理解等比中项的概念，能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算.

2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题.

 

1.等比中项

如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项.

|微|点|助|解|

（1）在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项.

（2）当a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.所以“a，G，b成等比数列”与“G=”是不等价的.

2.等比数列的性质

一般地，如果{an}是等比数列，而且正整数s，t，p，q满足s+t=p+q，则asat=apaq.特别地，如果2s=p+q，则=apaq.

3.等比数列的常用结论

（1）若{an}是公比为q的等比数列，则：

①{can}（c为任一常数）是公比为q的等比数列；

②{|an|}是公比为|q|的等比数列；

③{}（m为常数，n∈N+）是公比为qm的等比数列.

（2）若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列.

基础落实训练

1.若{an}，{bn}都是等比数列，则下列数列仍是等比数列的是 （　　）

A.{an+bn}  B.{an-bn}

C.{anbn} D.{an+5}

解析：选C　两个等比数列的积构成的数列仍是等比数列.故选C.

2.在等比数列{an}中，若a1，a10是方程3x2-2x-6=0的两根，则a4·a7= （　　）

A.-6 B.-2 

C.2 D.

解析：选B　a4a7=a1a10==-2.

3.在等比数列{an}中，an>0，且a1a10=27，则log3a2+log3a9等于 （　　）

A.9　　　　　　　 B.6 

C.3 D.2

解析：选C　因为a2a9=a1a10=27，所以log3a2+log3a9=log327=3.

 

题型（一）　等比中项及应用

[例1]　等比数列{an}中，a4=48，a8=3，则a4与a8的等比中项为 （　　）

A.12 B.-12

C.±12 D.30

解析：选C　记a4与a8的等比中项为G，则G2=a4a8=48×3=144，所以G=±12.故选C.

[例2]　已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），a5是a4与a8的等比中项，则= （　　）

A.- B.-

C. D.

解析：选A　因为a5是a4与a8的等比中项，所以=a4a8.又因为数列{an}为等差数列，公差为d（d≠0），所以（a1+4d）2=（a1+3d）（a1+7d），化简得2a1d=-5d2，即2a1=-5d，所以=-.

　　|思|维|建|模|