5.3.1 第2课时 等比数列的性质-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册教师用书word（人教B版）

第2课时　等比数列的性质 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] [课时目标] 1.理解等比中项的概念，能根据等比数列的定义推出等比数列的性质，并能运用这些性质简化运算. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题. 1.等比中项 如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项. |微|点|助|解| （1）在一个等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项. （2）当a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项.所以“a，G，b成等比数列”与“G=”是不等价的. 2.等比数列的性质 一般地，如果{an}是等比数列，而且正整数s，t，p，q满足s+t=p+q，则asat=apaq.特别地，如果2s=p+q，则=apaq. 3.等比数列的常用结论 （1）若{an}是公比为q的等比数列，则： ①{can}（c为任一常数）是公比为q的等比数列； ②{|an|}是公比为|q|的等比数列； ③{}（m为常数，n∈N+）是公比为qm的等比数列. （2）若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列. 基础落实训练 1.若{an}，{bn}都是等比数列，则下列数列仍是等比数列的是 （　　） A.{an+bn} B.{an-bn} C.{anbn} D.{an+5} 解析：选C　两个等比数列的积构成的数列仍是等比数列.故选C. 2.在等比数列{an}中，若a1，a10是方程3x2-2x-6=0的两根，则a4·a7= （　　） A.-6 B.-2 C.2 D. 解析：选B　a4a7=a1a10==-2. 3.在等比数列{an}中，an>0，且a1a10=27，则log3a2+log3a9等于 （　　） A.9　　　　　　　 B.6 C.3 D.2 解析：选C　因为a2a9=a1a10=27，所以log3a2+log3a9=log327=3. 题型（一）　等比中项及应用 [例1]　等比数列{an}中，a4=48，a8=3，则a4与a8的等比中项为 （　　） A.12 B.-12 C.±12 D.30 解析：选C　记a4与a8的等比中项为G，则G2=a4a8=48×3=144，所以G=±12.故选C. [例2]　已知等差数列{an}的公差为d（d≠0），a5是a4与a8的等比中项，则= （　　） A.- B.- C. D. 解析：选A　因为a5是a4与a8的等比中项，所以=a4a8.又因为数列{an}为等差数列，公差为d（d≠0），所以（a1+4d）2=（a1+3d）（a1+7d），化简得2a1d=-5d2，即2a1=-5d，所以=-. 　　|思|维|建|模| 　　在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项和后一项的等比中项. 　　[针对训练] 1.在等差数列{an}中，公差d≠0，且a3是a1和a9的等比中项，则=　　　　.  解析：由题意知，a3是a1和a9的等比中项，∴=a1a9.∴（a1+2d）2=a1（a1+8d），解得a1=d，∴==. 答案： 2.已知b是a，c的等比中项，求证：ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项. 证明：因为b是a，c的等比中项，所以b2=ac，且a，b，c均不为零，又（a2+b2）（b2+c2）=a2b2+a2c2+b4+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2，（ab+bc）2=a2b2+2ab2c+b2c2=a2b2+2a2c2+b2c2，所以（ab+bc）2=（a2+b2）·（b2+c2），由a，b，c均不为零，可得a2+b2≠0，b2+c2≠0，故ab+bc≠0，即ab+bc是a2+b2与b2+c2的等比中项. 题型（二）　等比数列的性质 [例3]　已知{an}为等比数列， （1）若a2a4=，求a1a5； （2）若an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，求a3+a5； （3）若an>0，a5a6=9，求log3a1+log3a2+…+log3a10的值. 解：（1）等比数列{an}中，∵a2a4=， ∴=a1a5=a2a4=，∴a1a5=. （2）由等比中项，化简条件得+2a3a5+=25，即（a3+a5）2=25，∵an>0，∴a3+a5=5. （3）由等比数列的性质知a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9， ∴log3a1+log3a2+…+log3a10=log3（a1a2·…·a10）=log3[（a1a10）（a2a9）（a3a8）（a4a7）（a5a6）]=log395=10. 　　[变式拓展] 1.本例（3）改为“a5+a6=3，a15+a16=6”，求a25+a26的值. 解：∵数列{an}为等比数列，∴a5+a6，a15+a16，a25+a26也成等比数列， ∴a25+a26===12. 2.本例（1）条件变为“若a5a6a7=-27”，求a2a6+a2a10+a6a10的最大值. 解：法一　因为数列{an}是等比数列，所以a5a6a7==-27，所以a6=-3，所以a2=<0，所以a2a6+a2a10+a6a10=a2a6++=-3a2+9-≥2+9=27， 当且仅当-3a2=-，即a2=-3时取等号. 法二　因为数列{an}是等比数列，所以a5a6a7==-27，所以a6=-3，所以a2a6+a2a10+a6a10=++≥2a4a8+9=2+9=2×9+9=27，当且仅当a4=a8=-3时取等号. 　　|思|维|建|模| 等比数列的运算常用的两种思路 （1）根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1，q，然后求其他； （2）利用性质巧解，其中m+n=k+l=2s（m，n，k，l，s∈N+）⇔am·an=ak·al=. 　　[针对训练] 3.在等比数列{an}中，若a5a7a9a11=36，则a2a14= （　　） A.6 B.9 C.±6 D.±9 解析：选A　因为a5a7a9a11= =36，所以=6（负值舍去），所以a2a14==6.故选A. 4.已知等比数列{an}满足a2+a4+a6+a8=20，a2a8=2，则+++的值为 （　　） A.20 B.10 C.5 D. 解析：选B　在等比数列{an}中，由等比数列的性质可得a4a6=a2a8=2.所以+++=+===10.故选B. 题型（三）　等比数列项的设法与求解 [例4]　有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，第一个数与第四个数的和为21，中间的两个数的和为18，求这四个数. 解：法一　设前三个数分别为，a，aq（q≠0），则第四个数为2aq-a. 由题意得 解得q=2或q=. 当q=2时，a=6，这四个数为3，6，12，18； 当q=时，a=， 这四个数为. 法二　设后三个数分别为a-d，a，a+d，则第一个数为，所以这四个数为，a-d，a，a+d. 由题意得 解得或故这四个数为3，6，12，18或. 　　|思|维|建|模| 等比数列中的设项方法与技巧 （1）若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或，a，aq. （2）若四个数成等比数列，可设为a，aq，aq2，aq3；若四个数均为正（负）数，可设为，aq，aq3；若四个数成公比为负数的等比数列，可设为，-，aq，-aq3. 　　[针对训练] 5.已知四个数前三个成等差数列，后三个成等比数列，中间两数之积为16，首尾两数之积为-128，求这四个数. 解：设四个数为-a，，a，aq， 则由题意得解得或因此所求的四个数为-4，2，8，32或4，-2，-8，-32. 学科网（北京）股份有限公司 $