6.2.2 第2课时 函数最值的求法 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教B版）

6.2.2 第2课时 函数最值的求法 [课时跟踪检测] 1.关于函数f（x）=x3+x，下列说法正确的是 （　　） A.没有最小值，有最大值 B.有最小值，没有最大值 C.有最小值，有最大值 D.没有最小值，也没有最大值 解析：选D　依题意f'（x）=3x2+1>0，所以f（x）在R上单调递增，没有最小值也没有最大值. 2.函数y=x-sin x，x∈的最大值是 （　　） A.π-1 B.-1 C.π D.π+1 解析：选C　因为y'=1-cos x，当x∈时，y'>0，则函数在区间内单调递增，所以y的最大值为ymax=π-sin π=π. 3.已知函数f（x），g（x）均为[a，b]上的可导函数，在[a，b]上连续且f'（x）<g'（x），则f（x）-g（x）的最大值为 （　　） A.f（a）-g（a） B.f（b）-g（b） C.f（a）-g（b） D.f（b）-g（a） 解析：选A　令F（x）=f（x）-g（x），∴F'（x）=f'（x）-g'（x）<0，即F'（x）<0，∴F（x）在[a，b]内单调递减，∴F（x）max=f（a）-g（a）. 4.已知函数f（x）=（x+1）2+cos（x+1）+a的最小值是4，则a= （　　） A.3 B.4 C.5 D.6 解析：选A　由题知f'（x）=2（x+1）-sin（x+1），f″（x）=2-cos（x+1）>0，所以f'（x）单调递增，又f'（-1）=0，所以当x<-1时，f'（x）<0；当x>-1时，f'（x）>0.故x=-1为f（x）的最小值点，即f（-1）=1+a=4，解得a=3.故选A. 5.已知f（x）=x3-3x2+2，若f（x）在（2a，a+3）上存在最小值，则a的取值范围是 （　　） A. B. C.[-1，2） D.[-1，1） 解析：选A　由题意得f'（x）=3x2-6x=3x（x-2），易得x=0和x=2为f（x）的极值点，f（x）的单调递增区间为（-∞，0），（2，+∞），单调递减区间为（0，2）.又f（0）=2，f（2）=-2，所以令x3-3x2+2=-2，则（x+1）（x-2）2=0，解得x=-1或x=2.若函数f（x）在（2a，a+3）上存在最小值，则解得-≤a<1.故选A. 6.已知a>0，函数f（x）=ax-ln x的最小值为（a-1）ln 2+1，则a= （　　） A.1或2 B.2 C.1或3 D.2或3 解析：选A　由f（x）=ax-ln x（x>0），得f'（x）=a-=（a>0，x>0），当0<x<时，f'（x）<0，当x>时，f'（x）>0，所以f（x）在内单调递减，在上单调递增，故f（x）min=f=1+ln a=（a-1）ln 2+1，得ln a=（a-1）ln 2，解得a=1或a=2.故选A. 7.设直线x=t与函数f（x）=x2，g（x）=ln x的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小值时t的值为 （　　） A.1 B. C. D. 解析：选D　因为f（x）的图象始终在g（x）的上方，所以|MN|=f（x）-g（x）=x2-ln x.设h（x）=x2-ln x，则h'（x）=2x-=（x>0）.令h'（x）==0，得x=，所以h（x）在内单调递减，在上单调递增，所以当x=时，|MN|取最小值，此时t=. 8.[多选]若存在m，使得f（x）≥m对任意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有下界，其中m为函数f（x）的一个下界；若存在M，使得f（x）≤M对任意x∈D恒成立，则函数f（x）在D上有上界，其中M为函数f（x）的一个上界.如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界，则下列说法正确的是 （　　） A.1是函数f（x）=x+（x>0）的一个下界 B.函数f（x）=xln x有下界，无上界 C.函数f（x）=有上界，无下界 D.函数f（x）=有界 解析：选ABD　对于A，当x>0时，x+≥2（当且仅当x=1时取等号），∴f（x）>1恒成立，∴1是f（x）的一个下界，故A正确；对于B，∵f'（x）=ln x+1（x>0），∴当x∈时，f'（x）<0，当x∈时，f'（x）>0，∴f（x）在内单调递减，在上单调递增，∴f（x）≥f=-，∴f（x）有下界，又当x越来越大时，f（x）趋向于+∞，∴f（x）无上界，综上所述，f（x）=xln x有下界，无上界，故B正确；对于C，∵x2>0，ex>0，∴>0，∴f（x）有下界，故C错误；对于D，∵sin x∈[-1，1]，∴≤≤，又≥-1，≤1，∴-1<<1，∴f（x）既有上界又有下界，故D正确. 9.（5分）已知函数f（x）=x3-ax2+b，若f（x）在区间[0，1]内单调递增且最大值为0，写出一组符合要求的a，b，则a=　　　　，b=　　　　.  解析：f'（x）=x2-ax，令f'（x）=0，解得x=0或x=a，若f（x）在区间[0，1]内单调递增，则a≤0，最大值为f（1）=-a+b=0，则b=a-，不妨取a=0，则b=-. 答案：0（答案不唯一）　-（答案不唯一） 10.（5分）函数f（x）=2x3-6x2+m（m为常数）在[-2，2]上有最大值3，那么m=　　　　.  解析：由函数f（x）=2x3-6x2+m，可得f'（x）=6x2-12x=6x（x-2），当x∈[-2，0）时，f'（x）>0，f（x）单调递增；当x∈（0，2]时，f'（x）≤0，f（x）单调递减.所以当x=0时，函数f（x）取得最大值，最大值为f（0）=m，因为函数f（x）在区间[-2，2]上的最大值为3，所以m=3. 答案：3 11.（5分）已知函数f（x）=ln x-x+k在[1，e]上的最大值为2，则f（k）=　　　　.  解析：因为f（x）=ln x-x+k，所以f'（x）=-1=，又x∈[1，e]，所以f'（x）≤0在x∈[1，e]上恒成立，即f（x）在区间[1，e]内单调递减，所以f（1）=ln 1-1+k=2，解得k=3，故f（x）=ln x-x+3，所以f（k）=f（3）=ln 3. 答案：ln 3 12.（5分）若函数f（x）=xex在区间（-∞，a]上既存在最大值，也存在最小值，则实数a的取值范围是　　　　　.  解析：因为函数f（x）=xex，则f'（x）=ex+xex=（1+x）ex，当x>-1时，f'（x）>0，函数f（x）=xex单调递增；当x<-1时，f'（x）<0，函数f（x）=xex单调递减.所以函数f（x）=xex在（-∞，-1）上单调递减，在（-1，+∞）上单调递增，又因为函数f（x）=xex在区间（-∞，a]上既存在最大值，也存在最小值，结合图象可知a≥0. 答案：[0，+∞） 13.（15分）已知函数f（x）=2x+1-4ln x. （1）证明：f（x）≥-2x+5；（6分） （2）求f（x）在[1，3]上的最大值与最小值.（9分） 解：（1）证明：要证f（x）≥-2x+5，即证2x+1-4ln x≥-2x+5，即证x-1-ln x≥0，令g（x）= x-1-ln x，则g'（x）=（x>0）， 当x∈（0，1）时，g'（x）<0；当x∈（1，+∞）时，g'（x）>0，所以g（x）在（0，1）内单调递减，在（1，+∞）上单调递增，所以g（x）≥g（1）=0，从而f（x）≥-2x+5. （2）因为f（x）=2x+1-4ln x，x∈[1，3]， 所以f'（x）=2-=，x∈[1，3]， 令f'（x）>0，则2<x≤3；令f'（x）<0，则1≤x<2， 所以f（x）在[1，2）内单调递减，在（2，3]内单调递增， 所以f（x）min=f（2）=5-4ln 2， 又f（1）=3，f（3）=7-4ln 3，f（1）-f（3）=4（ln 3-1）>0，所以f（x）max=3， 所以f（x）在[1，3]上的最大值与最小值分别为3与5-4ln 2. 14.（15分）已知函数f（x）=ax+ln x. （1）讨论函数f（x）的单调区间；（7分） （2）当a=-1时，函数g（x）=f（x）+excos x-ln x-m在上的最大值为0，求实数m的值.（8分） 解：（1）由题意得f'（x）=a+，x>0， 当a≥0时，f'（x）>0在（0，+∞）上恒成立，故函数f（x）在（0，+∞）上单调递增； 当a<0时，若0<x<-，则f'（x）>0，函数f（x）单调递增，若x>-，则f'（x）<0，函数f（x）单调递减. 综上，当a≥0时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a<0时，函数f（x）在内单调递增，在上单调递减. （2）由题意g（x）=-x+excos x-m，x∈， g'（x）=-1+ex（cos x-sin x），令h（x）=g'（x）=-1+ex（cos x-sin x），h'（x）=-2exsin x. 当x∈时，h'（x）=-2exsin x≤0，h（x）单调递减，则h（x）≤h（0）=0，则g'（x）≤0， 则g（x）在内单调递减， 故g（x）在上的最大值为g（0）=1-m=0， 所以m=1. 15.（15分）已知函数f（x）=x3-x2-2x+1. （1）求函数f（x）的单调区间；（5分） （2）求函数f（x）的极值；（3分） （3）若函数f（x）在[a，+∞）上的最小值是-，求实数a的取值范围.（7分） 解：（1）由f（x）=x3-x2-2x+1，x∈R，得f'（x）= x2-x-2， 令f'（x）= x2-x-2>0，得x<-1或x>2， 令f'（x）= x2-x-2<0，得-1<x<2， 故f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（2，+∞），单调递减区间为（-1，2）. （2）由（1）可知f（x）的极大值为f（-1）=，极小值为f（2）=-. （3）函数f（x）在[a，+∞）上的最小值是-， 故f（a）≥f（2）=-， 由f（x）=f（2）=-可知x=2是x3-x2-2x+1=-的一个解， 故（x-2）2（2x+5）=0，解得x=-或x=2， 由于f（x）的单调递增区间为（-∞，-1），（2，+∞），单调递减区间为（-1，2）， 故要使得函数f（x）在[a，+∞）上的最小值是-，只需-≤a≤2，即实数a的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $