5.3.2 第2课时 数列求和(学用Word)(课时跟踪检测)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册（人教B版）

第二课时　数列求和 1.数列1，1＋2，1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n－1，…的前99项和为（　　） A.2100－101 B.299－101 C.2100－99 D.299－99 2.已知数列{an}中，an＝1＋，则S＝a1＋a2＋…＋a95＋a96＝（　　） A.96 B.97 C.98 D.99 3.已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，则数列的前2 025项的和为（　　） A. B. C. D. 4.已知数列{an}的通项公式是an＝，其前n项和Sn＝，则项数n等于（　　） A.13 B.10 C.9 D.6 5.已知数列2 024，2 025，1，－2 024，－2 025，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后相邻两项之和，则这个数列的前2 025项之和S2 025＝（　　） A.4 048 B.4 049 C.4 050 D.4 051 6.〔多选〕高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数f（x）＝（表示不超过x的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝（ an＋），令bn＝，则下列结论正确的是（　　） A.an＝n（n∈N＋） B.Sn＝（n∈N＋） C.＝6 D.＝18 7.已知等比数列{an}的公比q≠1，且a1＝1，3a3＝2a2＋a4，则数列的前4项和为　　　　. 8.已知数列{an}的前n项和为Sn，且an＝（－1）nn，则S21＝　　　　. 9.已知等差数列{an}满足a1＝4，a3＝8，则数列{an}的前n项和Sn＝　　　　；记数列的前n项和为Tn，则T10＝　　　　. 10.已知Sn是数列{an}的前n项和，且满足Sn－2an＝n－4. （1）证明：{Sn－n＋2}为等比数列； （2）求数列{Sn}的前n项和Tn. 11.〔多选〕在数列{an}中，若an＋an＋1＝3n，则称{an}为“和等比数列”.设Sn为数列{an}的前n项和，且a1＝1，则下列对“和等比数列”的判断中正确的有（　　） A.a2 024＝ B.a2 024＝ C.S2 025＝ D.S2 025＝ 12.数列{an}的前n项和为Sn，定义{an}的“优值”为Hn＝，现已知{an}的“优值”Hn＝2n，则an＝　　　　　　，Sn＝　　　　　　. 13.已知数列{an}满足a1＝2，＝. （1）求{an}的通项公式； （2）求数列的前n项和. 14.已知函数f（n）＝且an＝f（n）＋f（n＋1），则a1＋a2＋a3＋…＋a2 026＝（　　） A.－2 025 B.－2 026 C.2 025 D.2 026 15.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且4Sn＝（an＋1）2. （1）求数列{an}的通项公式； （2）在①bn＝；②bn＝3n·an；③bn＝这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中并求解. 若　　　　，求{bn}的前n项和Tn. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+款辅专家 第二课时 数列求和 1.A由数列可知a=1+2+22++2”-1=竖=2”-1，所以前99项的和为5=(2-1)十 (22-1）+…十(29-1）=2+2+.+29-99=2121-99=2100-101. 1-2 2.Aa,=1十27=熟，所以8=a十a十+as+a6=诗+器++诗+3，S=as6十as十 十a十a=器+特+.十器+等，两式相加可得2S=(a十a)+(as十a)十+(a2十a5) +(a1十a6)=96×2,所以S=96,故选A. 3.CSm=n2,.n≥2时，a,=Sm-S-1=n2-(n-1)2=2n-1,而a1=S1=1符合上式，a,= 2n-l,=2m-12+1=支（点--），数列{}的前2025项的和为S=专[( 1-青)+（青-吉)+（传-)+.+（x22一2x202s师）]=生(1-2师）=8船， 故选C. 4.D因为a,=尝=1-，所以S,=(1-)+(1-)+(1-言)++(1-)=n-(生+ +付十+中)=n学=m1+中.令一1+-器=+点，所以=6 5.Ca+1=am+a+2,a1=2024,a2=2025,.a3=1,a4=-2024,a5=-2025,a6=-1,a =2024,,∴.a+6=an,且a1+a2+..+a6=0.∴.S2o25=337(a1+a2+.十a6)+(41十a2+a3) =4050.故选C. 6.BCD对于A、B,:Sm=克(a十t)，.当n≥2时，2Sm=Sn-Sn-1+3aS→S%-S1=1, 又S=号(a十高)=a,a>0,则a=1,.S品=nSn=Vi,an=V-Vn-1,故A错，B对； 对于C,:b,=a=am=克(Vn+2-V五)，∴b+b++b=克(V65+64-V2 1)=主(V65+7-V2)∈(6,7)，[b十b++bl=6,故C对：对于D,京。=方> nmi石=2a+1-),京+京++a>2[(2-)+(3-V2)++ (V101-V100)]=2(√101-1)>18.当m≥2时，京=2<aa=2(-Vn-1), +京+.+<1+2[(V2-)+(5-2)++(V100-99)]=1+2(W100- 1)=19,[守+京++]=18，故D对.故选B、C、D. 1/4 ·独家授权侵权必究· 。学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+款辅专家 85 7.128 解析：等比数列{an}中，a1=1,3a=2a2十a4,∴.3q2=2q十q3.又q≠1，.q=2,.an =2,“中=()21，即{}是首项为，公比为生的等比数列，∴数列{实}的前4 (] 项和为1-4 8.一11解析：根据题意，S21=41+a2十..十a21=-1+(2-3)+(4-5)+(6-7)+..十 (20-21)=-11. 9.n2+3n9解析：等差数列{a}满足a=4,a3=8, 故a3-a1=2d=4,d=2, 故a,=2n+2,S,=4n+n1×2=2+3n, 2 所以=本=n叶=合一时， 所以10=1一支+之-青++动一立=出 10.解：(1)证明：当n=1时，a1=S1,S1-2a1=1-4,解得a1=3. 由Sm-2a,=n-4可得Sm-2(Sm-Sm-1)=n-4(n≥2)， 即Sm=2Sn-1-n+4,所以Sm-n+2=2[Sm-1-(n-1)+2]. 因为S1一1十2=4，所以{S一n十2}是首项为4，公比为2的等比数列. (2)由(1)知S,-n十2=2n+1,所以S,=2n+1+n-2, 于是Tm=(22+23+.…+2+1)十(1+2+…十n)-2n=41-21+1-2n=243m2-3m-8 1-2 2 2 11.AC因为a十a+1=3”,所以a+1十a+2=3n+1,两式相减得a+2一am=2X3”,所以a224= （a24-a202z）+(a02m-a2z0）+.+(a4-a)+a2=2X(32+34+…十32022)十2=30a41, 4 故A正确，B错误.S22s=a+(a2十a3)+(a4十as)十.十(a2024十a22s)=1十(32+34+…十32 24)=g,故C正确，D错误.故适A、C 12.n十143】解析：由题意a+2a2十.十2-la,=n·2”,∴n≥2时，a十2a十.十2”-2a-1 2 =(n-1)·2m-1,两式相减得2m-1a,=n·2n-(n-1)·2m-1=(n+1)·2m-1,am=n+1,又 a=2,满足a=n十1，.a,=n十1，S,=2+1=43. 13.解：(1)因为=2，赞=牛， 所以器=子，爵=，器=寺，…最=品， 所以.器.器·…最=×是×青××品， 2/4 独家授权侵权必究· 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 所以号=n,得a,=2n. (2)由(1)得景=器=2nX(￥)”， 令数列{景}的前n项和为S 则S=2×()1+4×()2+6×（幸)3+.+2(n-1)×（)m-1+2n×(幸)”， 所以sm=2×(幸)2+4×（辛）3+6×（年)4++2(n-1)×()"+2n×()m+1, 所以Sm=2×()1+2×()2+2×（4)3++2×()n-2n×(￥)m+1 =2×[()1+()2+()3++()"]-2n×()+1 =2x地的 1-4 -2n×(串)+1 =号×[1-（保P]-2×(是）+1 =子器， 所以S,=号- 3+4 9%21, 所以数列{学}的前刀项和为号-器。 14.D当n为奇数时，a,=n2-(n十1)2=-2n-1,当n为偶数时，a,=-n2+(n十1)2=2n十 1,所以a41=-3,2=5,a43=-7,a4=9,.,故a1十a2=2,a3十a4=2,,所以a1十a2十a十.… 十a226=2×2026=2026.故选D. 15.解：(1)因为4Sm=（a+1)2, 所以当n=1时，4a=4S1=（a1十1)2，解得a1=1. 当n≥2时，4Sm-1=(an-1十1)2，又4Sm=(a十1)2， 所以两式相减得4a,=(an十1)2-(au-1十1)2， 可得(an十an-1)(an-an-1-2)=0, 因为am>0,所以am-am-1=2, 所以数列{a,}是首项为1，公差为2的等差数列， 故数列{an}的通项公式为an=2n一1. (2)若选条件①， b.=时=2m2+i=(点-2)， 则T=[(1-青)+（专-诗）+（信-）++（点-+）]=(1-本)=舜 3/4 ·独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.Gom● 您身边的互联网+教辅专家 若选条件②， bm=3n·a,=3n·（2n-1), 则Tm=1×3+3×32+5×33+..+(2n-1)×3", ① 3Tm=1×32+3×33+5×34+..+(2n-1)×3n+1,② ①-②得-2Tm=3+2×（32+33+.+3m)-（2n-1)×3m+1=-6+(2-2n)·3n+1, 可得Tn=(n-1)·3n+1+3. 若选条件③， 由a,=2n-1可得S,=+21如=2， 所以b,=点=2m-12+1=支（点-卉）， 故1=[(1-青)+（传-吉）+（信-）++（-)]=是(1-)=杂 4/4 ·独家授权侵权必究·