5.3.1 第1课时 等比数列的定义 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教B版）

5.3.1 第1课时 等比数列的定义 [课时跟踪检测] 1.下列三个数依次成等比数列的是 （　　） A.1，4，8 B.-1，2，4 C.9，6，4 D.4，6，8 解析：选C　≠，A错误；≠，B错误；因为==，所以9，6，4依次成等比数列，C正确；≠，D错误.故选C. 2.已知等比数列{an}中，a1=1，a4=-8，则公比q= （　　） A.2 B.-4 C.4 D.-2 解析：选D　依题意a4=a1q3=q3=-8，q=-2.故选D. 3.在等比数列{an}中，a1=2，a4=.若am=2-11，则m= （　　） A.17 B.16 C.14 D.13 解析：选D　设等比数列{an}的公比为q， 因为a1=2，a4=，所以2q3=，解得q=. 又am=2-11，所以2×=2-11，可得m=13. 4.已知等比数列{an}的前3项和为168，a2-a5=42，则a6= （　　） A.14 B.12 C.6 D.3 解析：选D　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意可得 即解得 所以a6=a1q5=3，故选D. 5.设{an}是等比数列，则“a1<a2”是“数列{an}是递增数列”的 （　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析：选B　设等比数列{an}的公比为q，则由a1<a2，可得a1（q-1）>0，解得或此时数列{an}不一定是递增数列； 若数列{an}是递增数列，必得a1<a2. 所以“a1<a2”是“数列是递增数列”的必要不充分条件. 6.[多选]已知{an}为等差数列，满足4a3-a8=7，a2+a7=11，{bn}为等比数列，满足b1=a1，b4=a15，则下列结论正确的是 （　　） A.{an}的首项与公差相等 B.a2，a5，a11成等比数列 C.{bn}的首项与公比相等 D.b3，b5，b6成等差数列 解析：选BC　因为{an}是等差数列，设公差为d，则4a3-a8=3a1+d=7，a2+a7=2a1+7d=11，解得a1=2，d=1，故A错误；可得an=2+n-1=n+1，所以a2=3，a5=6，a11=12，是等比数列，故B正确；数列{bn}为等比数列，且b1=a1=2，b4=a15=16，所以q=2，则bn=2n，故C正确；b3=8，b5=32，b6=64，不是等差数列，故D错误. 7.在数列{an}中，a1=，∀m，n∈N+，=aman，则a6等于 （　　） A. B. C. D. 解析：选C　由于∀m，n∈N+，有=aman，且a1=，令m=1，则=a1an=an，即数列{an}是首项为，公比为的等比数列，所以an=a1=×=，故a6==. 8.（5分）在等比数列{an}中，若a1=1，=2a6，则公比q=　　　　.  解析：∵=2a6，a1=1，∴（q3）2=2q5，得q=2. 答案：2 9.（5分）设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2-8x+3=0的两根，则a6+a7=　　　　.  解析：由题意得a4=，a5=，∴q==3. ∴a6+a7=（a4+a5）q2=×32=18. 答案：18 10.（5分）写出一个公比为3，且第三项小于1的等比数列的通项公式an=　　　　.   解析：设数列{an}的公比为q，则q=3， 由已知可得a3<1，∴9a1<1， ∴a1<，故a1可取， 故满足条件的等比数列的通项公式可能为an=×. 答案：×（答案不唯一） 11.（5分）已知等比数列{an}满足a1-a3=-，a2-a4=-，则使得a1a2·…·an取得最小值的n为　　　　.  解析：设公比为q，则q==3，∴a1-a3=-8a1=-，∴a1=，a2=，a3=，a4=1，…，即{an}是递增的等比数列，∴n=3或n=4时，a1a2·…·an取得最小值. 答案：3或4 12.（10分）（1）一个等比数列{an}的第3项与第4项分别是12与18，求这个数列的通项公式；（4分） （2）已知等比数列{an}中，a5=3，a7=27，求q及an.（6分） 解：（1）法一　设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，由题意得解得 ∴an=a1qn-1=×. 法二　∵{an}为等比数列， ∴q===. ∴an=a3qn-3=12×=×. （2）由a7=a5q2，得q2==9， ∴q=±3，则a1=， 当q=3时，an=a1qn-1=×3n-1=3n-4； 当q=-3时，an=a1qn-1=×（-3）n-1=-（-3）n-4. 13.（10分）数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，=Sn（n=1，2，3，…）.求证：数列是等比数列. 证明：由a1=1，=Sn， 得an>0，Sn>0. 由=Sn，=-Sn， 得（n+2）Sn=n（-Sn）， 整理，得n=2（n+1）Sn， 所以=2·， 则=2. 因为==1，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列. 14.（15分）已知无穷数列1，1，…，1，…，求证： （1）这个数列是等比数列；（4分） （2）这个数列中的任一项是其后第5项的；（4分） （3）数列中任两项之积仍为数列中的项.（7分） 证明：（1）任取数列中的相邻两项an=1，an+1=1，则==1，且a1=1=1≠0. 由等比数列定义可知这个数列为等比数列. （2）任取数列中的一项am=1，则其后第5项应为am+5=1. 则==1=10-1=，得证. （3）任取数列中两项=1=1， 则=1·1=1. ∵n1≥1，n2≥1，且n1，n2∈N+，n1≠n2， ∴n1+n2-2>0，且n1+n2-2∈N+， ∴符合已知数列中的项的特点，即为数列中的项. 学科网（北京）股份有限公司 $