5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套练习word（人教B版）

5.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式 [课时跟踪检测] 1.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn=（n+1）2+λ，则λ的值是 （　　） A.-2 B.-1 C.0 D.1 解析：选B　等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn，所以λ=-1. 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a8=17，S17=340，则数列{an}的公差是 （　　） A.-4 B.-3 C. D.3 解析：选D　因为S17===17a9=340，所以a9=20，又a8=17，所以d=a9-a8=20-17=3.故选D. 3.已知等差数列{an}中，a1=1，Sn为{an}的前n项和，S5=5S3-5，则S4= （　　） A.4 B.-2 C.3 D.-1 解析：选B　记等差数列{an}的公差为d，则S5=5a1+10d=5（3a1+3d）-5，整理得2a1+d-1=0，又a1=1，所以d=-1，所以S4=4×1+×（-1）=-2.故选B. 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3=9，S6=36，则a7+a8+a9= （　　） A.27 B.45 C.81 D.18 解析：选B　由等差数列{an}，得S3，S6-S3，S9-S6成等差数列，可得2（S6-S3）= S3+S9-S6，即2×（36-9）=9+ S9-S6，解得S9-S6=45，即a7+a8+a9=45.故选B. 5.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a5=5，a1+S11=67，则a3·a12是{an}中的 （　　） A.第30项 B.第36项 C.第48项 D.第60项 解析：选B　设公差为d， 则解得 所以an=n，则a3·a12=3×12=36，令an=36，则n=36，所以a3·a12是{an}中的第36项.故选B. 6.已知等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且=，则= （　　） A. B. C. D. 解析：选A　由已知得=，可设Sn=kn（3n+5），Tn=kn（4n+6），则a7=S7-S6=182k-138k=44k，b8=T8-T7=304k-238k=66k，即==，故选A. 7.[多选]已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，a2=2，an+1+an=3n，则 （　　） A.a4=5 B.S20=300 C.S31=720 D.n为奇数时，Sn= 解析：选ABD　由an+1+an=3n，则an+2+an+1=3（n+1），两式作差，得an+2-an=3，a1=1，当n为奇数时，{an}是首项为1，公差为3的等差数列，即an=n-；a2=2，当n为偶数时，{an}是首项为2，公差为3的等差数列，即an=n-1.所以a4=a2+3=5，A正确；S20=（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）=+=300，B正确；S31=（a1+a3+…+a31）+（a2+a4+…+a30）=+=721，C错误；n为奇数时，Sn=+=+=，D正确.故选ABD. 8.（5分）（2024·新课标Ⅱ卷）记Sn为等差数列{an}的前n项和，若a3+a4=7，3a2+a5=5，则S10=　 　　.  解析：因为数列an为等差数列，所以由题意得解得 则S10=10a1+d=10×（-4）+45×3=95. 答案：95 9.（5分）等差数列{an}，{bn}前n项和分别为Sn，Tn，且=3，则=　　　　.  解析：由等差数列性质可得==3，解得=. 答案： 10.（5分）设数列{an}的前n项和为Sn，点（n∈N+）均在函数y=2x-3的图象上，则数列{an}的通项公式an=　　　　.  解析：依题意得=2n-3，即Sn=2n2-3n，所以数列{an}为等差数列，且a1=S1=-1，a2=S2-S1=3，设其公差为d，则d=4，所以an=4n-5（n∈N+）. 答案：4n-5 11.（5分）已知数列{an}的通项公式为an=2n-1，在ak和ak+1之间插入k个2（k∈N+）形成一个新数列{bn}，则{bn}的前2 025项的和为　　　　.  解析：在数列{bn}中，在ak+1的前面的所有项的项数为k+（1+2+…+k）=≤2 025，当k=62时，=2 015，即在a63的前面的所有项的项数为2 015，又在a63与a64之间共有63个2，所以数列{bn}的前2 025项中包含数列{an}的项有63项，中间插入2的数量为1+2+…+62+9=1 962，所以数列{bn}的前2 025项和为+1 962×2=7 893. 答案：7 893 12.（10分）在等差数列{an}中，a1=1，a3=-3. （1）求数列{an}的通项公式；（4分） （2）若数列{an}的前k项和Sk=-35，求k的值.（6分） 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由a1=1，a3=-3，可得1+2d=-3，解得d=-2. 从而an=1+（n-1）×（-2）=3-2n. （2）由（1）可知an=3-2n， 所以Sn==2n-n2. 由Sk=-35，可得2k-k2=-35， 即k2-2k-35=0，解得k=7或k=-5. 又k∈N+，故k=7. 13.（10分）已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+c，求数列{an}的通项公式，并判断它是不是等差数列. 解：当n=1时，a1=S1=2+c， 当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+n+c）-[（n-1）2+（n-1）+c]=2n. ∴数列{an}的通项公式是an= ①当c=0时，an=2n为等差数列； ②当c≠0时，a1=2+c≠2×1，∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数，∴{an}不是等差数列.故当c=0时，{an}是等差数列，当c≠0时，{an}不是等差数列. 14.（10分）已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a3a4=117，a2+a5=22. （1）求数列{an}的通项公式an；（4分） （2）若数列{bn}是等差数列，且bn=，求非零常数c.（6分） 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，且d>0. ∵a3+a4=a2+a5=22，又a3a4=117， ∴a3，a4是方程x2-22x+117=0的两个根. 又公差d>0，∴a3<a4，∴a3=9，a4=13. ∴∴∴an=4n-3，n∈N+. （2）由（1）知，Sn=n×1+×4=2n2-n， ∴bn==， ∴b1=，b2=，b3=. ∵{bn}是等差数列， ∴2b2=b1+b3， ∴2c2+c=0， ∴c=- （c=0舍去）. 经检验，c=-符合题意，∴c=-. 学科网（北京）股份有限公司 $