阶段测评(3)(Word练习)-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册(人教B版)

阶段测评(三)[范围4.2] (时间：50分钟，满分：100分) 一、选择题：本题共6小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．小明通过某次考试的概率是未通过的5倍，令随机变量X＝则P(X＝0)＝(　　) A．　　　　　　 B． C． D． 解析　因为通过某次考试的概率是未通过的5倍， 所以1－P(X＝0)＝5P(X＝0)，解得P(X＝0)＝， 故选C. 答案　C 2．已知甲参加青年志愿者的选拔，选拔以现场答题的方式进行．已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，设甲答对的试题数为X，则X＝2的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　由题意可知，X＝2表示答对2题，即随机抽出3道题有2道题答对，1道题答错， 所以P(X＝2)＝＝. 答案　D 3．若随机变量X～N(6，8)，则当P(X<a－2)＝P(X>5)时，a的值为(　　) A．9 B．7 C．5 D．3 解析　∵随机变量X～N(6，8)且P(X<a－2)＝P(X>5)，∴a－2与5关于x＝6对称，∴a－2＋5＝12，∴a＝9. 答案　A 4．若随机变量X服从二项分布B，则P(X＝3)的值为(　　) A． B． C． D． 解析　因为随机变量X服从二项分布B，所以P(X＝3)＝C·6＝. 答案　C 5．某项智力测试共有A，B，C，D，E五道试题，测试者需依次答完五道试题且至少答对其中三道试题才算通过测试．小明答对A，B，C三道试题的概率均为，答对D，E两道试题的概率均为，且每道试题答对与否相互独立，则小明在答错试题A的条件下通过测试的概率为(　　) A． B． C． D． 解析　小明已经答错了试题A，故要通过测试需在B，C，D，E四道试题中至少答对其中三道试题． ∵至少答对其中三道试题包括恰好答对三道试题和答对四道试题两种情况， ∴至少答对其中三道试题的概率为 C×2××＋C×××2＋2×2＝＋＋＝. 所以小明在答错试题A的条件下通过测试的概率为. 答案　D 6．某竞赛小组共有13人，其中有6名女生，现从该竞赛小组中任选5人参加一项活动，用ξ表示这5人中女生的人数，则下列概率中等于的是(　　) A．P(ξ＝1) B．P(ξ≤1) C．P(1≤ξ≤3) D．P(ξ≤2) 解析　ξ的取值是0，1，2，3，4，5， P(ξ＝0)＝，P(ξ＝1)＝，P(ξ＝2)＝， P(ξ＝3)＝，P(ξ＝4)＝，P(ξ＝5)＝， 所以P(ξ≤2)＝. 答案　D 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 7．下列判断正确的是(　　) A．若随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，P(X≤4)＝0.79，则P(X≤－2)＝0.21 B．将一组数据中的每个数据都减去同一个数后，方差不变 C．若随机变量X服从二项分布B，则E(X)＝1 D．若方差D(X)＝3，则D(2X＋1)＝7 解析　A，B，C选项均正确，若D(X)＝3，则D(2X＋1)＝4D(X)＝12，D选项错误．故选ABC. 答案　ABC 8．设X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论错误的是(　　) A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1) B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1) C．对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t) D．对任意正数t，P(X≥t)≥P(Y≥t) 解析　由正态分布的概率密度函数曲线的性质可知，X～N(μ1，σ)，Y～N(μ2，σ)的正态分布的概率密度曲线分别关于直线x＝μ1，x＝μ2对称，因此结合题中所给图象可得μ1<μ2，所以P(Y≥μ2)<P(Y≥μ1)，故A错误．又X～N(μ1，σ)的正态分布的概率密度函数曲线较Y～N(μ2，σ)的正态分布的概率密度函数曲线“瘦高”，所以σ1<σ2，所以P(X≤σ2)>P(X≤σ1)，故B错误，对任意正数t，P(X≤t)≥P(Y≤t)，P(X≥t)≤P(Y≥t)，故C正确，D错误．故选ABD. 答案　ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 9．某俱乐部共有客户3000人，现在要准备礼物，邀请客户在指定时间来领取(每位客户只允许领一份).假设任一客户去领奖的概率为4%，则至少需要准备________份礼物才能向每一位客户都发出领奖邀请． 解析　设来领奖的人数X＝k(k＝0，1，…，3000)，∴P(X＝k)＝C0.04k(1－0.04)3000-k，则X～B(3000，0.04)，∴E(X)＝3000×0.04＝120.故至少需要准备120份礼物． 答案　120 10．春节前夕，某火车站三个安检入口每天通过的旅客人数均服从正态分布N(1000，σ2)，若P(900≤X≤1100)＝0.6，假设三个安检入口均能正常工作，则这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率为________． 解析　根据正态曲线的对称性，每个安检入口超过1100人的概率P(X>1100)＝[1－P(900≤X≤1100)]＝×(1－0.6)＝0.2＝.所以这三个安检入口每天至少有两个超过1100人的概率P＝C×＋C＝. 答案　 11．某校甲、乙两个女排校队举行一场友谊比赛，采用五局三胜制(无平局，某队先赢三局即获胜，比赛结束).若两队的水平和比赛状态相当，且每局比赛相互独立，则比赛结束时已经进行的比赛局数的数学期望是________． 解析　设比赛结束时已经进行的比赛局数为X，则X的可能取值为3，4，5. 当甲队或乙队连胜三局时， P(X＝3)＝＋＝. 当甲队或乙队在前三局胜两局，且第四局获胜时， P(X＝4)＝C×××＋C×××＝. 当甲队或乙队在前四局胜两局，且第五局获胜时， P(X＝5)＝C···＋C···＝. ∴数学期望E(X)＝3×＋4×＋5×＝. 答案　 四、解答题：本题共3小题，共43分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12．(13分)一个袋子中装有大小完全相同的8个球，其中有2个红球，6个白球． (1)不放回地从袋中任取3个球，求恰有1个红球的概率； (2)有放回地每次取1个球，直到取到2次红球即停止，求恰好取4次停止的概率； (3)有放回地每次取1个球，共取3次，记取到红球的个数为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 解析　(1)由题意，从8个球中不放回地任取3个球，有C＝56(种)不同的取法， 其中恰有1个红球有C·C＝30(种)不同的取法， 所以恰有一个红球的概率P＝＝. (2)由题意，恰好取4次停止，即前3次中有1次取到红球，且第4次取到红球，有放回地每次取1个球，取到红球的概率为＝， 故所求概率P＝C×××＝. (3)随机变量X的可能取值为0，1，2，3， 则P(X＝0)＝C×＝， P(X＝1)＝C××＝， P(X＝2)＝C××＝， P(X＝3)＝C×＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 由题意可知X～B， 所以数学期望E(X)＝3×＝. 13．(15分)为了切实维护居民合法权益，提高居民识骗防骗能力，守好居民的“钱袋子”，某社区开展“全民反诈在行动——反诈骗知识竞赛”活动，现从参加该活动的居民中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如下表． 成绩(分) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 人数 2 4 22 40 28 4 (1)求抽取的100名居民竞赛成绩的平均分和方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值为代表)； (2)以频率估计概率，发现该社区参赛居民竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本成绩平均分，σ2近似为样本成绩方差s2，若μ－σ≤X≤μ＋2σ，参赛居民可获得“参赛纪念证书”；若X>μ＋2σ，参赛居民可获得“反诈先锋证书”． ①若该社区有3000名居民参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的居民人数(结果保留整数)； ②试判断竞赛成绩为96分的居民能否获得“反诈先锋证书”． 附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 解析　(1)100名居民本次竞赛成绩的平均分 ＝45×＋55×＋65×＋75×＋85×＋95×＝75， 100名居民本次竞赛成绩的方差 s2＝(45－75)2×＋(55－75)2×＋(65－75)2×＋(75－75)2×＋(85－75)2×＋(95－75)2×＝100. (2)①由于μ近似为样本成绩平均分，σ2近似为样本成绩方差s2，所以μ＝75，σ2＝100，可知σ＝＝10. 由于竞赛成绩X近似地服从正态分布N(μ，σ2)，因此参加竞赛的居民可获得“参赛纪念证书”的概率为 P(μ－σ≤X≤μ＋2σ)＝P(μ－σ≤X≤μ＋σ)＋P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈×0.682 7＋×0.954 5＝0.818 6. 又3 000×0.818 6＝2 455.8≈2456， 所以估计获得“参赛纪念证书”的居民人数为2456. ②当X>μ＋2σ时，即X>95时，参赛居民可获得“反诈先锋证书”，所以竞赛成绩为96分的居民能获得“反诈先锋证书”． 14．(15分)为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚，为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，得到如下数据： 处罚金额x(单位：元) 0 5 10 15 20 会闯红灯的人数y 80 50 40 20 10 (1)若用表中数据所得频率代替概率，则处罚10元时与处罚20元时，行人会闯红灯的概率的差是多少？ (2)若从这5种处罚金额中随机抽取2种不同的金额进行处罚，在两个路口进行试验． ①求这两种金额之和不低于20元的概率； ②若用X表示这两种金额之和，求X的分布列和数学期望． 解析　(1)由条件可知，处罚10元会闯红灯的概率与处罚20元会闯红灯的概率的差是：－＝. (2)①设“两种金额之和不低于20元”的事件为A，从5种金额中随机抽取2种，总的抽选方法共有C＝10种，满足金额之和不低于20元的有6种，故所求概率为P(A)＝＝. ②根据条件，X的可能取值为5，10，15，20，25，30，35，分布列为 X 5 10 15 20 25 30 35 P E(X)＝5×＋10×＋15×＋20×＋25×＋30×＋35×＝20. 学科网（北京）股份有限公司 $$