4.3.2 独立性检验 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教B版）

4.3.2　独立性检验 [课时跟踪检测] 1.如果有95%的把握判断事件A与B有关系,那么具体计算出的数据 (　　) A.χ2>3.841　　 B.χ2<3.841 C.χ2>6.635　　　 D.χ2<6.635 解析:选A　χ2的值与临界值比较,从而确定A与B有关的可信程度.当χ2>6.635时,有99%的把握判断A与B有关系;当χ2>3.841时,有95%的把握判断A与B有关系;当χ2>2.706时,有90%的把握判断A与B有关系;当χ2≤2.706时,就没有充分的证据判断A与B有关系. 2.假设有两个变量X与Y,它们的可能取值分别为{X1,X2}和{Y1,Y2},其2×2列联表为 X Y Y1 Y2 X1 10 18 X2 m 26 则当m取下面何值时,X与Y的关系最弱 (　　) A.8 B.9 C.14 D.19 解析:选C　由10×26=18m,解得m≈14.4,所以当m=14时,X与Y的关系最弱. 3.为研究男生和女生对数学课程的喜爱程度是否有差异,运用2×2列联表进行检验.经计算得χ2=3.526,参考下表,则认为“男生和女生对数学课程的喜爱程度有差异”犯错误的概率不超过 (　　) α 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 xα 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 A.10%　　 B.5% C.1%　　　 D.0.1% 解析:选A　因为χ2=3.526,结合表格可知χ2=3.526>2.706,所以认为“男生和女生对数学课程的喜爱程度有差异”犯错误的概率不超过10%. 4.现在很多人喜欢“自助游”,某调查机构为了了解赞成“自助游”是否与性别有关,在黄山旅游节期间,随机抽取了100人,得如下所示的列联表: 赞成“自助游” 不赞成“自助游” 总计 男性 30 15 45 女性 45 10 55 总计 75 25 100 附: α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参照公式,得到的正确结论是 (　　) A.有99.5%以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别无关” B.有99.5%以上的把握认为“赞成‘自助游’与性别有关” C.在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为“赞成‘自助游’与性别无关” D.在犯错误的概率不超过0.1的前提下,认为“赞成‘自助游’与性别有关” 解析:选D　由2×2列联表中的数据得χ2=≈3.030,∵2.706<3.030<3.841,∴在犯错误的概率不超过0.1的前提下,可以认为“赞成‘自助游’与性别有关”. 5.[多选]某校计划在课外活动中新增攀岩项目,为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关联,面向学生开展了一次随机调查,其中参加调查的男、女生人数相同,男生喜欢攀岩的占80%,女生不喜欢攀岩的占70%,则 (　　) A.参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多 B.参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多 C.若参与调查的男、女生人数均为100,则依据独立性检验的思想认为喜欢攀岩和性别有关联 D.无论参与调查的男、女生人数为多少,都可以依据独立性检验的思想认为喜欢攀岩和性别有关联 解析:选AC　由题意设参加调查的男、女生人数均为m,则得到如下2×2列联表: 喜欢攀岩 不喜欢攀岩 总计 男生 0.8m 0.2m m 女生 0.3m 0.7m m 总计 1.1m 0.9m 2m 所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多,参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数少,故A正确,B错误.由列联表中的数据,计算得到χ2==,χ2的值与调查的男、女生人数有关系,当m=100时,χ2==≈50.505>6.635,所以当参与调查的男、女生人数均为100时,依据独立性检验,我们有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关联,故C正确,D错误.故选AC. 6.(5分)若两个变量X与Y的2×2列联表为 Y 总计 X 10 15 25 40 16 56 总计 50 31 81 则有　　　　的把握认为“X与Y之间有关系”. 附:χ2=,其中n=a+b+c+d. P(χ2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解析:由列联表数据,可求得χ2=≈7.227>6.635, 所以有99%的把握认为“X与Y之间有关系”. 答案:99% 7.(10分)某学校随机调查了1 000名学生,将所得数学和语文期末考试成绩的样本观测数据整理得到如下列联表: 数学成绩 语文成绩 总计 优秀 不优秀 优秀 400 200 600 不优秀 200 200 400 总计 600 400 1 000 (1)判断是否有99%的把握认为数学成绩与语文成绩有关联?(5分) (2)按数学成绩是否优秀用分层抽样的方法从1 000名学生中选取5人,再从这5人中任选3人,求恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率.(5分) 附:χ2=,其中n=a+b+c+d.当χ2>6.635时,有99%的把握判断变量A,B有关联. 解:(1)根据列联表中的数据,得χ2==≈27.8. 因为27.8>6.635,所以有99%的把握认为数学成绩与语文成绩有关联. (2)由题意得选取的5人中数学成绩优秀的学生人数为×5=3,不优秀的学生人数为5-3=2, 则恰有2名数学成绩优秀的学生被选中的概率为=. 8.(15分)石墨烯有超级好的保温功能,从石墨中分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法,使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A材料、B材料可供选择,研究人员对附着在A材料、B材料上的石墨各做了5次再结晶试验,得到如下等高堆积条形图. A材料 B材料 总计 实验成功 实验失败 总计 (1)由等高堆积条形图提供的信息,填写2×2列联表,并判断是否有90%的把握认为试验的结果与材料有关;(5分) (2)以实验结果成功的频率作为概率,用A材料制作保温产品2件,仅从石墨烯结晶成功与否的角度考虑,求产品制作成功件数的分布列与期望.(10分) 解:(1) A材料 B材料 总计 实验成功 4 3 7 实验失败 1 2 3 总计 5 5 10 由表得χ2==≈0.476<2.706, 所以没有90%的把握认为试验的结果与材料有关. (2)设产品制作成功件数为X,由题意可知成功的概率为,且X服从二项分布, 即X~B,则X的可能取值为0,1,2, ∴P(X=0)=××=,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=, ∴X的分布列为 X 0 1 2 P ∴E(X)=0×+1×+2×=. 学科网（北京）股份有限公司 $