4.3.1 第2课时 相关系数 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教B版）

4.3.1 第2课时 相关系数 [课时跟踪检测] 1.调查某种群花萼长度和花瓣长度,所得数据如图所示.其中相关系数r=0.824 5,下列说法正确的是 (　　) A.花瓣长度和花萼长度没有相关性 B.花瓣长度和花萼长度呈负相关 C.花瓣长度和花萼长度呈正相关 D.若从样本中抽取一部分,则这部分的相关系数一定是0.824 5 解析:选C　因为相关系数r=0.824 5,比较接近于1,所以花瓣长度和花萼长度的相关性较强,并且呈正相关,所以A、B错误,C正确;因为相关系数与样本的数据有关,所以当样本发生变化时,相关系数也会发生变化,所以D错误.故选C. 2.对两组数据x,y和v,u分别进行回归分析,得到散点图如图所示,并求得回归直线方程分别是=x+和=v+,并对变量x,y进行线性相关检验,得到相关系数r1,对变量v,u进行线性相关检验,得到相关系数r2,则下列判断正确的是 (　　) A.b1>0　　 B.b2<0 C.|r1|<|r2|　　　 D.r1+r2<0 解析:选D　由散点图可知,x与y负相关,v与u正相关,则b1<0,b2>0,故A、B错误;且图形中点(x,y)比(v,u)更加集中在一条直线附近,则|r1|>|r2|.又r1<0,r2>0,得r1+r2<0,故C错误,D正确. 3.(2025·天津高考)下列说法中错误的是 (　　) A.若X~N(μ,σ2),则P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ) B.若X~N(1,22),Y~N(2,22),则P(X<1)<P(Y<2) C.|r|越接近1,相关性越强 D.|r|越接近0,相关性越弱 解析:选B　对于A,根据正态分布对称性可知,P(X≤μ-σ)=P(X≥μ+σ),A说法正确; 对于B,根据正态分布对称性可知,P(X<1)=P(Y<2)=0.5,B说法错误; 对于C和D,样本相关系数|r|越接近0,相关性越弱,越接近1,相关性越强,故C和D说法正确. 4.在一次试验中,测得(x,y)的四组值分别为(1,2),(2,0),(4,-4),(-1,6),则y与x的相关系数为 (　　) A.1　　 B.-2 C.0　　　 D.-1 解析:选D　因为=1.5,=1,=22,=56,xiyi=-20,所以相关系数r==-1. 5.[多选]根据国家统计局统计,我国2018~2023年的出生人口数(单位:万人)分别为1 523,1 465,1 202, 1 062,956,902,将年份减去2017记为x,出生人口数记为y,得到以下数据: x 1 2 3 4 5 6 y/万人 1 523 1 465 1 202 1 062 956 902 已知= yi=1 185,由最小二乘法求得y关于x的回归直线方程为=-136x+,则 (　　) A.=1 661 B.这6年出生人口数的第一四分位数为1 465 C.相关系数r<0 D.样本点(4,1 062)的残差为55 解析:选AC　=3.5,所以=+136=1 661,A正确;6×0.25=1.5,所以第一四分位数是把数据从小到大排列的第二个数956,B错误;相关系数和-136的正负相同,C正确;当x=4时,=-136×4+1 661=1 117,对应残差为1 062-1 117=-55,D错误. 6.已知由样本数据(xi,yi)(i=1,2,3,…,10)组成的一个样本,变量x,y具有线性相关关系,其回归直线方程为=x+,并计算出变量x,y之间的相关系数为-0.96,xi=-8,yi=-15,则回归直线经过 (　　) A.第一、二、三象限　　 B.第二、三、四象限 C.第一、二、四象限　　　 D.第一、三、四象限 解析:选B　由相关系数为-0.96,知x,y负相关,所以<0.又xi=-8,yi=-15,求得样本中心点为(-0.8,-1.5),由于(-0.8,-1.5)在回归直线上,且点在第三象限,所以回归直线经过第二、三、四象限. 7.[多选]已知变量x和变量y的一组成对样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)的散点落在一条直线附近,= xi,= yi,相关系数为r,回归直线方程为=x+,则 (　　) A.当r越大时,成对样本数据的线性相关程度越强 B.当r>0时,>0 C.当xn+1=,yn+1=时,成对样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n,n+1)的相关系数r'满足r'=r D.当xn+1=,yn+1=时,成对样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,n,n+1)的回归直线方程=x+满足= 解析:选BCD　当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强,故A错误;当r>0时,成对样本数据正相关,相关系数r的符号与相同,则>0,故B正确;当xn+1=,yn+1=时,将这组数据添加后,,不变,故相关系数r的表达式中的分子和分母均不变,故C正确;当xn+1=,yn+1=时,将这组数据添加后,,不变,故回归直线方程中斜率的表达式中的分子和分母均不变,所以=,故D正确. 8.(5分)在钢铁碳含量对于电阻的效应研究中,得到如下数据表: 碳含量 x/% 0.10 0.30 0.40 0.55 0.70 0.80 0.95 20 ℃时 电阻y/Ω 15 18 19 21 22.6 23.6 26 则相关系数r=　　　　.说明钢铁碳含量与电阻之间具有　　　　(选填“较强”或“较弱”)的相关关系.  解析:由已知数据得= xi≈0.543,= yi≈20.74, xiyi-7=85.45-7×0.543×20.74≈6.62, -7=2.595-7×0.5432≈0.531, -7=3 094.72-7×20.742≈83.687. ∴r=≈0.993. 由于r比较接近于1,故钢铁碳含量与电阻之间的线性相关关系较强. 答案:0.993　较强 9.(5分)已知由一组样本数据确定的回归直线方程为=1.5x+1,且=2,发现有两组数据(2.4,2.8)与(1.6,5.2)误差较大.去掉这两组数据后,重新求得回归直线的斜率为1,那么当x=4时,的估计值为　　　　.  解析:由一组样本数据确定的回归直线方程为=1.5x+1,且=2,∴=1.5×2+1=4,∴样本点的中心为(2,4).去掉(2.4,2.8)与(1.6,5.2),计算得剩余数据的样本点的中心也是(2,4).∵重新求得的回归直线的斜率为1,∴回归直线方程可设为=x+,将(2,4)代入,得=2,∴回归直线方程为=x+2.将x=4代入回归直线方程,得的估计值为6. 答案:6 10.(10分)某电商统计了最近5个月某商品的网络直播线上月销售量y(单位:千件)与售价x(单位:元/件)的情况如下表所示. 售价x(元/件) 53 49 51 50 47 月销售量y/千件 5 9 7 10 9 (1)求相关系数r,并说明是否可以用线性回归模型拟合y与x的关系;(当|r|∈[0.75,1]时,可以认为两个变量有很强的线性相关性;否则,没有很强的线性相关性)(精确到0.01)(6分) (2)建立y关于x的回归直线方程,并估计当售价为52元/件时,该商品的线上月销售量为多少千件?(4分) 解:(1)由已知得==50,==8. ==-≈-≈-0.78. 因为|r|>0.75,所以y与x有很强的线性相关性,可以用线性回归模型拟合. (2) =-=8-(-0.7)×50=43, 所以y关于x的回归直线方程为=-0.7x+43. 当x=52时,=-0.7×52+43=6.6, 故当售价为52元/件时,该商品的线上月销售量估计为6.6千件. 11.(15分)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示,该地周光照量X(单位:小时)都在30小时以上,其中不足50小时的有5周,不低于50小时且不超过70小时的有35周,超过70小时的有10周.根据统计,该基地的西红柿增加量y(单位:kg)与使用某种液体肥料的质量x(单位:kg)之间的对应数据为如图所示的折线图. (1)依据折线图计算相关系数r(精确到0.01),并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系. (若|r|>0.75,则线性相关程度很高,可用线性回归模型拟合)(8分) (2)蔬菜大棚对光照要求较高,某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪,但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制,并有如下关系: 周光照量X/小时 30<X<50 50≤X≤70 X>70 光照控制仪运行台数 3 2 1 对商家来说,若某台光照控制仪运行,则该台光照控制仪产生的周利润为3 000元;若某台光照控制仪未运行,则该台光照控制仪周亏损1 000元.若商家安装了3台光照控制仪,求商家在过去50周的周总利润的平均值. (7分) 参考数据:≈0.55,≈0.95. 解:(1)由已知数据可得==5,==4. ==≈0.95. ∵|r|>0.75,∴可用线性回归模型拟合y与x的关系. (2)由条件可得在过去50周里, 当X>70时,共有10周,此时只有1台光照控制仪运行,每周的周总利润为1×3 000-2×1 000=1 000(元).当50≤X≤70时,共有35周,此时有2台光照控制仪运行,每周的周总利润为 2×3 000-1×1 000=5 000(元).当30<X<50时,共有5周,此时3台光照控制仪都运行, 每周的周总利润为3×3 000=9 000(元). ∴过去50周的周总利润的平均值为=4 600(元), ∴商家在过去50周的周总利润的平均值为4 600元. 学科网（北京）股份有限公司 $