4.2.5 第1课时 正态分布 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教B版）

4.2.5 第1课时 正态分布 [课时跟踪检测] 1.[多选]下面给出的关于正态曲线的四个叙述中,正确的是 (　　) A.曲线在x轴上方,且与x轴不相交 B.当x>μ时,曲线下降,当x<μ时,曲线上升 C.当μ一定时,σ越小,总体分布越分散,σ越大,总体分布越集中 D.曲线关于直线x=μ对称,且当x=μ时,位于最高点 解析:选ABD　只有C错误,因为当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“瘦高”,总体分布越集中;σ越大,曲线越“矮胖”,总体分布越分散. 2.[多选]对于正态分布N(0,1)的概率密度函数φ(x)=,下列说法正确的是 (　　) A.φ(x)是偶函数 B.φ(x)的最大值是 C.φ(x)在x>0时是减函数,在x<0时是增函数 D.φ(x)关于x=1对称 解析:选ABC　∵φ(x)=,∴φ(x)为偶函数,且其最大值是;当x<0时,函数为增函数,当x>0时,函数为减函数,A、B、C正确;曲线不关于x=1对称,故选ABC. 3.设随机变量ξ服从正态分布N(4,9),若P(ξ≥6)=0.2,则下列结论正确的是 (　　) A.P(ξ≤2)=0.2,标准差σ=4 B.P(ξ>2)=0.8,标准差σ=3 C.P(ξ>2)=0.8,标准差σ=9 D.P(ξ≤4)=0.2,标准差σ=3 解析:选B　因为随机变量ξ服从正态分布N(4,9),P(ξ≥6)=0.2,所以μ=4,σ2=9,P(ξ≤2)=P(ξ≥6)=0.2,P(ξ≤4)=0.5,所以σ=3,P(ξ>2)=1-P(ξ≤2)=0.8. 4.已知随机变量X~N(μ,σ2),Y~B(6,p),且P(X≤4)=,E(X)=E(Y),则p= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　由X~N(μ,σ2),P(X≤4)=,得E(X)=μ=4.由Y~B(6,p),得E(Y)=6p,因此6p=4,解得p=. 5.设随机变量ξ服从正态分布,ξ的正态曲线如图所示,若P(ξ<0)=p,则P(0<ξ<1)与D(ξ)分别为 (　　) A.-p, B.p, C.-p, D.p, 解析:选C　根据题意得P(0<ξ<1)==-p,由正态曲线得ξ~N,所以D(ξ)==. 6.某市高三年级女生的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(163,9),现在该市随机选择一名高三女生,则她的身高位于[166,169]内的概率是 (　　) 参考数据:P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954. A.0.135 5 B.0.135 7 C.0.135 9 D.0.136 1 解析:选A　依题意,得μ=163,σ=3,所以P(166≤X≤169)=P(μ+σ≤X≤μ+2σ)≈(0.954-0.683)=0.135 5. 7.[多选]某地生产的甲、乙两类水果的质量X,Y(单位:kg)分别服从正态分布N(λ,),N(μ,),它们的正态曲线如图所示,则下列说法正确的是 (　　) A.λ<μ B.σ1>σ2 C.P(X≥x0)>P(Y≥x0) D.P(X≥x0)<P(Y≥x0) 解析:选AD　根据正态曲线可知甲类水果的平均质量λ<x0,乙类水果的平均质量μ>x0(x0>0),∴λ<μ,A正确;根据正态曲线可知,甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右,所以σ1<σ2,B错误;根据正态曲线可知P(X≥x0)<0.5,P(Y≥x0)>0.5,所以P(X≥x0)<P(Y≥x0),C错误,D正确. 8.传输信号会受到各种随机干扰,为了在强干扰背景下提取微弱信号,可用同步累积法.设s是需提取的确定信号的值,每隔一段时间重复发送一次信号,共发送m次,每次接收端收到的信号Xi=s+εi(i=1,2,3,…,m),其中干扰信号εi为服从正态分布N(0,σ2)的随机变量.令累积信号Y=Xi,则Y服从正态分布N(ms,mσ2),定义信噪比为信号的均值与标准差之比的平方,例如X1的信噪比为,则累积信号Y的信噪比是接收一次信号的 (　　) A.倍 B.m倍 C.倍 D.m2倍 解析:选B　由Y服从正态分布N(ms,mσ2),得Y的信噪比为=m.又接收一次信号X1的信噪比为,所以=m,所以累积信号Y的信噪比是接收一次信号的m倍. 9.[多选]某市有甲、乙两个工厂生产同一型号的汽车零件,零件的尺寸分别记为X,Y,已知X,Y均服从正态分布,X~N(μ1,),Y~N(μ2,),其正态曲线如图所示,则下列结论正确的是 (　　) A.甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值 B.甲工厂生产零件尺寸的平均值小于乙工厂生产零件尺寸的平均值 C.甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 D.甲工厂生产零件尺寸的稳定性低于乙工厂生产零件尺寸的稳定性 解析:选AC　由题图可知,μ1=μ2,σ1<σ2,故甲工厂生产零件尺寸的平均值等于乙工厂生产零件尺寸的平均值,故A正确,B错误;甲工厂生产零件尺寸的稳定性高于乙工厂生产零件尺寸的稳定性,故C正确,D错误. 10.(5分)某工厂生产的一批零件的使用寿命X(单位:年)近似服从正态分布N(80,σ2).若P(60≤X≤100)=,则从这批零件中任意取出1件,其寿命低于60的概率是　　　　.  解析:由P(60≤X≤100)=,X服从正态分布N(80,σ2),得P(X<60)==. 答案: 11.(5分)设随机变量X服从标准正态分布N(0,1),那么对于任意a,记Φ(a)=P(X<a),已知Φ(a)=0.7,则P(|X|<a)=　　　　.  解析:由题可知,P(|X|<a)=P(-a<X<a)=1-2P(X>a)=1-2[1-Φ(a)]=1-2×(1-0.7)=0.4. 答案:0.4 12.(10分)若正态曲线对应的函数为φμ,σ(x)=·,分别写出正态曲线与x轴在下列区间内所围的面积: (1)[μ-σ,μ];(5分) (2)[μ-2σ,μ].(5分) 解:(1)根据对称性,正态曲线与x轴在区间[μ,μ+σ]内所围的面积与在区间[μ-σ,μ]内所围的面积相等,约为0.341 5. (2)根据对称性,正态曲线与x轴在区间[μ-2σ,μ]内所围的面积与在区间[μ,μ+2σ]内所围的面积相等,约为0.477 0. 13.(10分)已知随机变量X~N(μ,σ2),且其正态曲线在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上为减函数,且P(72≤X≤88)=0.683. (1)求参数μ,σ的值;(6分) (2)求P(64≤X≤72).(4分) 解:(1)由于正态曲线在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上是减函数, ∴正态曲线关于直线x=80对称, 即参数μ=80.又P(72≤X≤88)=0.683. 结合P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,可知σ=8. (2)∵P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)=P(64≤X≤96)≈0.954,∴P(64≤X≤72)=[P(64≤X≤96)-P(72≤X≤88)]≈0.135 5. 学科网（北京）股份有限公司 $