4.2.1随机变量及其与事件的联系（题型专练）数学人教B版2019选择性必修第二册

4.2.1随机变量及其与事件的联系 题型一 随机试验的判断 1．（判断题）（2025高三下·全国·专题练习）随机试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个( ) 2．（24-25高二下·全国·课前预习）（1）某人在射击训练中，射击一次命中的环数，能否用数值表示相应结果呢？ （2）抛掷一枚骰子，出现正面向上的点数共有几种不同的数字？能否用数值表示相应结果呢？ （3）拋掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？能否用数值来表示随机试验的结果呢？ 题型二 随机变量的样本空间 1．（24-25高二下·全国·随堂练习）在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为，则表示的试验结果是 ． 2．（21-22高一·全国·课后作业）写出下面随机试验的样本空间： (1)掷一颗骰子，观察朝上的点数是奇数还是偶数； (2)同时投掷两颗骰子，观察出现的点数和. 3．（22-23高二·全国·课堂例题）先后抛两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为X，样本空间为． (1)借助合适的符号，用列举法写出样本空间； (2)求出随机变量X的取值范围． 4．（24-25高二下·全国·课堂例题）为了督促各地做好环境保护工作，环保部门决定在31个省(自治区、直辖市和新疆生产建设兵团中，随机抽取6个进行突击检查，抽得的结果只要有一个不同就认为是不同的试验结果，记样本空间为. (1)中包含的样本点数目是多少? (2)设抽得的结果中直辖市个数为X，那么对中的每一个样本点，X都有唯一确定的值吗？X的取值是固定不变的吗？如果不是，X可取的值有哪些？ 题型三 随机变量的判断 1．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（   ） A．第4次投篮命中 B．第4次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．投篮命中4次 2．（24-25高二·全国·课堂例题）袋中有3个白球，5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（    ） A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到球的个数 3．（23-24高二·全国·课堂例题）掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则表示的随机事件是什么？ 4．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (4)一瓶果汁的容量为. 5．（22-23高二·全国·课堂例题）下列变量中哪些是随机变量？如果是随机变量，那么可能的取值有哪些？ (1)一个实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的5只白鼠，从中任取1只，记取到的白鼠的标号为X； (2)明天的降雨量L（单位：mm）； (3)先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面向上的次数X． 题型四 随机变量之间的关系 1．（22-23高二上·全国·课后作业）如果X是一个离散型随机变量且，其中a，b是常数且，那么Y（    ） A．不一定是随机变量 B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量 C．可能是定值 D．一定是离散型随机变量 2．（24-25高二下·全国·课前预习）随机变量之间的关系 如果X是一个随机变量，a，b都是实数且，则也是一个 ，且 ． 3．（23-24高二上·全国·课后作业）某公司的员工是按照下述方式获取税前的月工资：底薪1000元，设工作1h再获得40元，从该公司员工中任意抽取一名用Y表示所获月工资（单位：元）.（X为工作小时数） (1)当时，求Y的值； (2)写出X与Y之间的关系式． 题型五 随机变量的取值 1．（24-25高二下·全国·课后作业）袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码.在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量，则的所有可能取值是（    ） A．1，2，…，5 B．1，2，…，10 C．2，3，…，10 D．1，2，…，6 2．（23-24高二上·全国·课后作业）随机变量的取值范围是{1，2，3，4，5}，且．则Y的取值范围是 ． 3．（22-23高二下·江苏·课后作业）小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张用来买晚餐，用表示这两张金额之和，则的可能取值为 ． 4．（24-25高二·全国·课堂例题）从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量，请问有哪些取值？其中表示什么含义？ 5．（24-25高二下·全国·课前预习）甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用表示需要比赛的局数，写出所有可能的取值，并写出表示的试验结果． 6．（24-25高二下·全国·课堂例题）写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果． (1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数； (2)从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和． 题型六 离散型随机变量与连续型随机变量的区分 1．（24-25高二·全国·课堂例题）下面给出三个随机变量： ①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数； ②某森林树木的高度在（单位：）这一范围内变化，测得某一树木的高度； ③某人射击2次，击中目标的环数之和．其中离散型随机变量有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2.（多选）（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（    ） A．从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数 B．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数 C．某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度 D．某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差 3．（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥一天经过的车辆数 B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 4．（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）下列变量中，不是离散型随机变量的是（    ） A．一条河流每日最大流量 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，可能投中的次数 5．（多选）（22-23高二下·江苏·课后作业）下面给出四个随机变量，其中是离散型随机变量的为（　　） A．高速公路某收费站在未来1小时内经过的车辆数X B．一个沿直线进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y C．某景点7月份每天接待的游客数量 D．某人一生中的身高X 6．（22-23高二下·江苏·课后作业）下列随机变量中是离散型随机变量的是 ，是连续型随机变量的是 （填序号）． ①某机场候机室中一天的旅客数量X； ②某水文站观察到一天中江水的水位X； ③某景区一日接待游客的数量X； ④某大桥一天经过的车辆数X. 7．（24-25高二下·全国·课前预习）下列随机变量哪个是离散型随机变量． (1)掷一枚骰子一次，用表示所得点数； (2)白炽灯的使用时间． 8．（20-21高二·江苏·课后作业）下列变量是不是随机变量？在随机变量中，哪些是离散型随机变量，哪些是连续型随机变量？ (1)某人上班途中共有5个红绿灯路口，此人某天上班遇到红灯的次数； (2)某地区今后每一年的人口的出生数； (3)某单位全体员工体检时每人的血清转氨酶测定值； (4)某水库某一时刻的水位． 题型一 随机变量的概率问题 1．（判断题）（24-25高二下·全国·随堂练习）甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3.( ) 2．（多选）（2024·江西·模拟预测）已知表示中最小的数，表示中最大的数.若为的任意排列，设，，则（    ） A．排列总数为720个 B．满足的排列有80个 C．的概率为 D．的概率为 3．（22-23高二下·山东青岛·期中）现有7张卡片，分别写上数字1，2，3，4，5，5，6，从这7张卡片中随机抽取3张，记所取卡片上数字的最大值为X，则= ． 4．（24-25高二·全国·假期作业）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数为6的概率是 . 5．（22-23高二·全国·课堂例题）某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000元，每工作1小时获取30元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X小时，获取的税前月工资为Y元． (1)当时，求Y的值； (2)写出X与Y之间的关系式； (3)若，求的值． 1．（21-22高二·全国·课后作业）写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果. (1)一袋中装有只同样大小的白球，编号为、、、、.现从该袋内随机取出只球，被取出的球的最大号码数； (2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数. 2．（22-23高二下·全国·课后作业）指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号数； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球和黑球的个数； (3)某林场的树木最高达30m，则此林场中树木的高度； (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差. 3．（22-23高二下·江苏·课后作业）写出下列各随机变量所有可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，需要比赛的局数X； (2)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数X，所含红粉笔的支数Y； (3)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，其中含有次品的件数X. 4．（22-23高二下·江苏·课后作业）写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果． (1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数； (2)从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和． 5．（2023·四川成都·模拟预测）某超市计划销售某种食品，现邀请甲乙两个商家进场试销10天．两个商家向超市提供的日返利方案如下：甲商家每天固定返利60元，且每卖出一件食品商家再返利3元；乙商家无固定返利，卖出不超出30件（含30件）的食品，每件食品商家返利5元，超出30件的部分每件返利10元．经统计，试销这10天两个商家每天的销量如下茎叶图： (1)现从甲商家试销的销量不小于30件的4天中随机抽取2天，求这两天的销售量之和大于60件的概率； (2)根据试销10天的数据，将频率视作概率，用样本估计总体，回答以下问题： （ⅰ）记商家乙的日返利额为X（单位：元），求X的值域Ω； （ⅱ）证明存在，使得，即X取值k的概率不小于X不取值k的概率． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.1随机变量及其与事件的联系 题型一 随机试验的判断 1．（判断题）（2025高三下·全国·专题练习）随机试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个( ) 【答案】正确 【分析】利用随机试验的意义判断即可. 【详解】随机试验所有可能的结果是明确的，并且不止一个，命题正确. 故答案为：正确 2．（24-25高二下·全国·课前预习）（1）某人在射击训练中，射击一次命中的环数，能否用数值表示相应结果呢？ （2）抛掷一枚骰子，出现正面向上的点数共有几种不同的数字？能否用数值表示相应结果呢？ （3）拋掷一枚硬币，可能会出现哪几种结果？能否用数值来表示随机试验的结果呢？ 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析 【详解】（1）试验结果：命中1环，命中2环，…，命中10环，用数值表示试验结果：1，2，…，10． （2）共有6种，可以用1，2，3，4，5，6来表示相应结果． （3）抛掷一枚硬币，可能出现正面向上、反面向上两种结果．可以用1表示正面向上，0表示反面向上． 题型二 随机变量的样本空间 1．（24-25高二下·全国·随堂练习）在8件产品中，有3件次品，5件正品，从中任取3件，记次品的件数为，则表示的试验结果是 ． 【答案】取到1件次品和2件正品或取到3件正品 【分析】根据试验结果写出复合要求的试验结果即可. 【详解】表示次品的件数为1,0，即取到1件次品和2件正品或取到3件正品. 故答案为：取到1件次品和2件正品或取到3件正品. 2．（21-22高一·全国·课后作业）写出下面随机试验的样本空间： (1)掷一颗骰子，观察朝上的点数是奇数还是偶数； (2)同时投掷两颗骰子，观察出现的点数和. 【答案】(1){奇数，偶数} (2){2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} 【分析】（1）、(2)根据随机试验的定义可得答案. 【详解】（1）{奇数，偶数}； （2）{2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12}. 3．（22-23高二·全国·课堂例题）先后抛两枚均匀的硬币，设正面朝上的硬币数为X，样本空间为． (1)借助合适的符号，用列举法写出样本空间； (2)求出随机变量X的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据生活经验列举可能结果即可； （2）由可能出现的结果直接写出随机变量的取值即可. 【详解】（1）用分别表示硬币反面朝上和正面朝上， 则样本空间； （2）因为有可能没有硬币正面朝上，也有可能恰有一个硬币正面朝上， 还有可能两个硬币都正面朝上， 因此X的取值范围是． 4．（24-25高二下·全国·课堂例题）为了督促各地做好环境保护工作，环保部门决定在31个省(自治区、直辖市和新疆生产建设兵团中，随机抽取6个进行突击检查，抽得的结果只要有一个不同就认为是不同的试验结果，记样本空间为. (1)中包含的样本点数目是多少? (2)设抽得的结果中直辖市个数为X，那么对中的每一个样本点，X都有唯一确定的值吗？X的取值是固定不变的吗？如果不是，X可取的值有哪些？ 【答案】(1) (2)对样本空间中的每一个样本点，变量X都有唯一的取值，但对不同的样本点，X的取值可能不同，其值可以是0，1，2，3，4中的任意一个. 【分析】（1）根据样本点和组合概念，运用组合表示即可；（2）根据样本点概念和随机变量概念判定. 【详解】（1）根据样本点概念，知道中包含的样本点数目是. （2）对样本空间中的每一个样本点，变量X都有唯一的取值，但对不同的样本点，X的取值可能不同，其值可以是0，1，2，3，4中的任意一个. 题型三 随机变量的判断 1．（24-25高二下·河南驻马店·阶段练习）某人进行投篮训练，最多投篮4次，命中一次就停止投篮，记投篮次数为，则表示的试验结果是（   ） A．第4次投篮命中 B．第4次投篮未命中 C．前3次投篮均未命中 D．投篮命中4次 【答案】C 【分析】根据变量的意义进行判断. 【详解】根据变量的意义可知：表示前3次投篮均未命中，可以进行第四次投篮，则投篮次数为4次. 故选：C 2．（24-25高二·全国·课堂例题）袋中有3个白球，5个黑球，从中任取2个球，下列选项中可以用随机变量表示的是（    ） A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球 C．取到白球的个数 D．取到球的个数 【答案】C 【分析】根据随机变量的定义及随机变量定义判断即可. 【详解】选项A，B是随机事件． 选项D取到球的个数是定值2． 选项C可能的取值为0，1，2，可以用随机变量表示， 故选：C． 3．（23-24高二·全国·课堂例题）掷一枚质地均匀的骰子，出现向上的点数为ξ，则表示的随机事件是什么？ 【答案】答案见解析 【分析】由随机事件及随机变量的定义可得答案. 【详解】表示出现的点数为4点或5点或6点. 4．（24-25高二下·全国·课堂例题）下列变量中，哪些是随机变量，哪些是离散型随机变量？并说明理由． (1)某机场一年中每天运送乘客的数量； (2)某单位办公室一天中接到电话的次数； (3)明年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数； (4)一瓶果汁的容量为. 【答案】(1)是随机变量，也是离散型随机变量，理由见解析 (2)是随机变量，也是离散型随机变量，理由见解析 (3)是随机变量，也是离散型随机变量，理由见解析 (4)是随机变量，但不是离散型随机变量，理由见解析 【分析】根据离散型随机变量概念性质可解. 【详解】（1）某机场一年中每天运送乘客的数量可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （2）某单位办公室一天中接到电话的次数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （3）明年5月1日到10月1日期间，所查酒驾的人数可能为0，1，2，3，…，是随机变化的，因此是随机变量，也是离散型随机变量． （4）由于果汁的容量在498mL~502mL之间波动，是随机变量，但不是离散型随机变量,是连续性随机变量. 5．（22-23高二·全国·课堂例题）下列变量中哪些是随机变量？如果是随机变量，那么可能的取值有哪些？ (1)一个实验箱中装有标号为1，2，3，3，4的5只白鼠，从中任取1只，记取到的白鼠的标号为X； (2)明天的降雨量L（单位：mm）； (3)先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面向上的次数X． 【答案】(1)X是随机变量， (2)L是随机变量， (3)X是随机变量， 【分析】（1）（2）（3）根据随机变量的定义判断各试验研究对象是否为随机变量，结合试验情况确定可能取值. 【详解】（1）根据条件知，X是随机变量，可能的取值共有4种，它的取值集合是． （2）降雨量具有一定的随机性，所以L是随机变量，可能的取值有无数多个，它可以取中的某个数． （3）设H代表正面向上，T代表反面向上，则该问题的样本空间为． 出现H的次数分别有2，1，0种，故正面向上的次数X是随机变量，其取值集合是． 题型四 随机变量之间的关系 1．（22-23高二上·全国·课后作业）如果X是一个离散型随机变量且，其中a，b是常数且，那么Y（    ） A．不一定是随机变量 B．一定是随机变量，不一定是离散型随机变量 C．可能是定值 D．一定是离散型随机变量 【答案】D 【分析】根据随机变量的概念和函数的性质进行判断. 【详解】因为X是一个离散型随机变量，而，a，b是常数且， 根据函数的性质知，也是离散型随机变量. 故选：D 2．（24-25高二下·全国·课前预习）随机变量之间的关系 如果X是一个随机变量，a，b都是实数且，则也是一个 ，且 ． 【答案】 随机变量 【分析】根据随机变量之间的关系直接得出结果. 【详解】如果是一个随机变量，都是实数且， 则也是一个随机变量，且. 故答案为：随机变量； 3．（23-24高二上·全国·课后作业）某公司的员工是按照下述方式获取税前的月工资：底薪1000元，设工作1h再获得40元，从该公司员工中任意抽取一名用Y表示所获月工资（单位：元）.（X为工作小时数） (1)当时，求Y的值； (2)写出X与Y之间的关系式． 【答案】(1)4600元 (2). 【分析】（1）由题意可直接求得答案； （2）根据题意可直接写出X与Y之间的关系式. 【详解】（1）当时，表示工作了90小时， 所以（元）. （2）根据题意有. 题型五 随机变量的取值 1．（24-25高二下·全国·课后作业）袋中有大小相同的5个钢球，分别标有1，2，3，4，5五个号码.在有放回地抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量，则的所有可能取值是（    ） A．1，2，…，5 B．1，2，…，10 C．2，3，…，10 D．1，2，…，6 【答案】C 【分析】先得第一次和第二次取出的球可能的号码，相加即可得的所有可能取值. 【详解】第一次可取1，2，3，4，5中的任意一个，由于是有放回抽取， 第二次也可取1，2，3，4，5中的任何一个， 两次的号码和可能为2，3，4，5，6，7，8，9，10. 故选：C 2．（23-24高二上·全国·课后作业）随机变量的取值范围是{1，2，3，4，5}，且．则Y的取值范围是 ． 【答案】{3，5，7，9，11} 【分析】根据离散型随机变量的取值代入，即可求解. 【详解】因为的取值范围是{1，2，3，4，5}， 且， 所以的取值范围是{3，5，7，9，11}． 故答案为：{3，5，7，9，11} 3．（22-23高二下·江苏·课后作业）小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张用来买晚餐，用表示这两张金额之和，则的可能取值为 ． 【答案】6，11，15，21，25，30 【分析】根据题意，结合表示两张金额之和，即可求得的可能取值，得到答案. 【详解】由题意，随机变量的可能取值为6，11，15，21，25，30. 其中，表示“抽到的是1元和5元”； 表示“抽到的是1元和10元”； 表示“抽到的是5元和10元”； 表示“抽到的是1元和20元”； 表示“抽到的是5元和20元”； 表示“抽到的是10元和20元”． 故答案为：6，11，15，21，25，30. 4．（24-25高二·全国·课堂例题）从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之差的绝对值为随机变量，请问有哪些取值？其中表示什么含义？ 【答案】的所有可能取值有：1，2，3，4，5．表示“取出标有1，5或2，6的两张卡片”． 【分析】根据随机变量的定义可得. 【详解】所取卡片上的数字之差的绝对值可能是：1，2，3，4，5， 故随机变量Y的可能取值有：1，2，3，4，5. 其中表示“取出标有1，5或2，6的两张卡片” 5．（24-25高二下·全国·课前预习）甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，用表示需要比赛的局数，写出所有可能的取值，并写出表示的试验结果． 【答案】答案见解析 【分析】根据随机变量的取值，即可求解. 【详解】根据题意可知的可能取值为4，5，6，7． 表示共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局； 表示在前4局中有1人输了一局，最后一局此人胜出； 表示在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出； 表示在前6局中两人打平，最后一局有1人胜出． 6．（24-25高二下·全国·课堂例题）写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果． (1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数； (2)从分别标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）（2）根据随机变量的含义即可求解. 【详解】（1）设所需要的取球次数为，则． 表示“第1次就取到白球”，表示前次取到的均是红球，第次取到白球，． （2）设所取卡片上的数字之和为，则． 表示“取出标有1，2的两张卡片”； 表示“取出标有1，3的两张卡片”； 表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”； 表示“取出标有2，4或1，5的两张卡片”； 表示“取出标有3，4或2，5或1，6的两张卡片”； 表示“取出标有2，6或3，5的两张卡片”； 表示“取出标有3，6或4，5的两张卡片”； 表示“取出标有4，6的两张卡片”； 表示“取出标有5，6的两张卡片”． 题型六 离散型随机变量与连续型随机变量的区分 1．（24-25高二·全国·课堂例题）下面给出三个随机变量： ①某地110报警台1分钟内接到的求救电话的次数； ②某森林树木的高度在（单位：）这一范围内变化，测得某一树木的高度； ③某人射击2次，击中目标的环数之和．其中离散型随机变量有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据离散型随机变量的定义判断即可. 【详解】由离散型随机变量的定义可知①③中的随机变量都是可以一一列举出来的， 故均匀离散型随机变量，而②中的随机变量可以取内的任意值，无法一一列举， 故它不是离散型随机变量． 故选：C. 2.（多选）（23-24高二下·江苏·课前预习）（多选）下列随机变量是离散型随机变量的是（    ） A．从10张已编好号码的卡片(从1号到10号)中任取一张，被取出的卡片的号数 B．一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数 C．某林场树木最高达30 m，则此林场中树木的高度 D．某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差 【答案】AB 【分析】根据离散型随机变量的定义可依次判断各个选项. 【详解】对A，只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，故A正确； 对B，从10个球中取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球、2个白球，1个黑球、1个白球和2个黑球、3个黑球，即所含白球的个数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义，故B正确； 对C，林场树木的高度是一个随机变量，它可以取(0，30]内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量，故C错误； 对D，实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量，故D错误. 故选：AB. 3．（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）（多选）下列叙述中，是离散型随机变量的是（    ） A．某座大桥一天经过的车辆数 B．某无线电寻呼台一天内收到的寻呼次数 C．一天之内的温度 D．一位射击手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，用表示该射击手在一次射击中的得分 【答案】ABD 【分析】根据已知条件，结合离散型随机变量的定义，即可求解. 【详解】A，B，D中的可以取的值可以一一列举出来，可以作为离散型随机变量， 而C中的可以取某一区间内的一切值，属于连续型，不能作为离散型随机变量. 故选：ABD. 4．（多选）（24-25高二下·全国·课后作业）下列变量中，不是离散型随机变量的是（    ） A．一条河流每日最大流量 B．一只刚出生的大熊猫，一年以后的身高 C．某人在车站等出租车的时间 D．某人投篮10次，可能投中的次数 【答案】ABC 【分析】由离散型随机变量的特点即可求解. 【详解】离散型随机变量的取值是可以一一列举的，结合选项可知只有ABC符合题意. 故选：ABC. 5．（多选）（22-23高二下·江苏·课后作业）下面给出四个随机变量，其中是离散型随机变量的为（　　） A．高速公路某收费站在未来1小时内经过的车辆数X B．一个沿直线进行随机运动的质点，它在该直线上的位置Y C．某景点7月份每天接待的游客数量 D．某人一生中的身高X 【答案】AC 【分析】根据离散型随机变量的概念逐项分析判断. 【详解】对于选项A：收费站在未来1小时内经过的车辆数X有限，且可一一列出，是离散型随机变量，故A正确 对于选项C：某景点7月份每天接待的游客数量有限，且可一一列出，是离散型随机变量，故C正确； 对于选项B、D，都是某一范围内的任意实数，无法一一列出，不符合离散型随机变量的定义，故B、D错误． 故选：AC. 6．（22-23高二下·江苏·课后作业）下列随机变量中是离散型随机变量的是 ，是连续型随机变量的是 （填序号）． ①某机场候机室中一天的旅客数量X； ②某水文站观察到一天中江水的水位X； ③某景区一日接待游客的数量X； ④某大桥一天经过的车辆数X. 【答案】 ①③④ ② 【分析】利用离散型随机变量的定义与连续型随机变量的定义判断求解． 【详解】①③④中的随机变量的所有取值，都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量； ②中的随机变量可以取某一区间内的一切值，故是连续型随机变量． 故答案为：①③④，② 7．（24-25高二下·全国·课前预习）下列随机变量哪个是离散型随机变量． (1)掷一枚骰子一次，用表示所得点数； (2)白炽灯的使用时间． 【答案】(1)是 (2)不是 【详解】（1）离散型随机变量指它全部可能取到的不相同的值是有限个或可列无限多个的随机变量，依题意，掷一枚骰子一次，所得点数为1，2，3，4，5，6，可以一一列举，所以是离散型随机变量. （2）白炽灯的使用时间是随机的，但任意白炽灯的使用时间是不确定的非负数，不能一一列举，所以不是离散型随机变量. 8．（20-21高二·江苏·课后作业）下列变量是不是随机变量？在随机变量中，哪些是离散型随机变量，哪些是连续型随机变量？ (1)某人上班途中共有5个红绿灯路口，此人某天上班遇到红灯的次数； (2)某地区今后每一年的人口的出生数； (3)某单位全体员工体检时每人的血清转氨酶测定值； (4)某水库某一时刻的水位． 【答案】(1)是随机变量，且为离散型随机变量 (2)是随机变量，且为离散型随机变量 (3)是随机变量，且为连续型随机变量 (4)是随机变量，且为连续型随机变量 【分析】根据随机变量，离散型随机变量，连续型随机变量的定义依次判断得到答案. 【详解】（1）此人某天上班遇到红灯的次数是随机变量，且为离散型随机变量. （2）地区今后每一年的人口的出生数为随机变量，且为离散型随机变量. （3）某单位全体员工体检时每人的血清转氨酶测定值是随机变量，且为连续型随机变量. （4）某水库某一时刻的水位是随机变量，且为连续型随机变量. 题型一 随机变量的概率问题 1．（判断题）（24-25高二下·全国·随堂练习）甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为ξ，则ξ的可能取值为1，2，3.( ) 【答案】错误 【分析】根据甲射击的总次数即可得结果． 【详解】甲进行3次射击，甲击中目标的概率为，记甲击中目标的次数为，则的可能取值为0，1，2，3. 故答案为：错误. 2．（多选）（2024·江西·模拟预测）已知表示中最小的数，表示中最大的数.若为的任意排列，设，，则（    ） A．排列总数为720个 B．满足的排列有80个 C．的概率为 D．的概率为 【答案】ACD 【分析】在深刻理解题意的基础上对每个选项逐一判断.其中选项A是全排列问题，选项B需要先选后排，选项C，D可以列一列再研究. 【详解】A，1，2，3，4，5，6的任意排列方法总数为个，所以A正确； B，若，则先从1，2，3，4，5，6中随机选出3个数，共有种不同的方法， 再将剩下3个数任意排列，共有种不同的方法， 则满足的排列有个，所以B错误； CD，因为，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， ，，，， 共有10种不同的情况，则的概率为，所以C正确； 的概率为，所以D正确. 故选：ACD. 3．（22-23高二下·山东青岛·期中）现有7张卡片，分别写上数字1，2，3，4，5，5，6，从这7张卡片中随机抽取3张，记所取卡片上数字的最大值为X，则= ． 【答案】 【分析】根据给定条件，求出随机试验的基本事件总数，再求出的事件所含基本事件数即可计算作答. 【详解】从这7张卡片中随机抽取3张的试验有个基本事件， 其中的事件所含基本事件数为， 所以. 故答案为： 4．（24-25高二·全国·假期作业）甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛：第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空.比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止.设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数为6的概率是 . 【答案】/0.0625 【分析】记为甲、乙、丙在第局获胜，写出对应的基本事件，应用独立事件乘法公式和互斥事件加法公式求概率即得. 【详解】分别记为甲、乙、丙在第局获胜，则. 由已知，可取，其中表示事件为“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜丙胜”或 “乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜丙胜”或“甲胜丙胜乙胜甲胜丙胜乙胜”或“乙胜丙胜甲胜乙胜丙胜甲胜”， 所以 . 故答案为：. 5．（22-23高二·全国·课堂例题）某快餐店的小时工是按照下述方式获取税前月工资的：底薪1000元，每工作1小时获取30元．从该快餐店中任意抽取一名小时工，设其月工作时间为X小时，获取的税前月工资为Y元． (1)当时，求Y的值； (2)写出X与Y之间的关系式； (3)若，求的值． 【答案】(1)4300 (2) (3)0.4 【分析】（1）根据底薪1000元，每工作1小时获取30元求解； （2）根据底薪1000元，每工作1小时获取30元求解； （3）由（2）得到求解. 【详解】（1）当时，表示工作了110个小时， 所以． （2）由题意得：． （3）因为， 所以， 从而. 1．（21-22高二·全国·课后作业）写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果. (1)一袋中装有只同样大小的白球，编号为、、、、.现从该袋内随机取出只球，被取出的球的最大号码数； (2)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）最大号码数可取、、，分析可得试验的结果； （2）呼叫次数可取、、、…、，即得答案. 【详解】（1）最大号码数可取、、， ，表示取出的个球的编号为：、、， ，表示取出的个球的编号为：、、或、、或、、， ，表示取出的个球的编号为： 、、或、、或、、或、、或、、或、、； （2）某部电话在单位时间内收到的呼叫次数可取、、、…、，， 表示被呼叫次，其中、、、…. 2．（22-23高二下·全国·课后作业）指出下列随机变量是不是离散型随机变量，并说明理由. (1)从10张已编好号码的卡片（1号到10号）中任取一张，被取出的卡片的号数； (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球和黑球的个数； (3)某林场的树木最高达30m，则此林场中树木的高度； (4)某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺寸之差. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 (4)答案见解析 【分析】根据离散型随机变量的定义，即可逐一求解. 【详解】（1）只要取出一张，便有一个号码，因此被取出的卡片的号数可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． （2）从10个球中任取3个球，所得的结果有以下几种：3个白球；2个白球和1个黑球；1个白球和2个黑球； 3个黑球，即其结果可以一一列出，符合离散型随机变量的定义． （3）林场树木的高度是一个随机变量，它可以取内的一切值，无法一一列举，不是离散型随机变量． （4）实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出，不是离散型随机变量． 3．（22-23高二下·江苏·课后作业）写出下列各随机变量所有可能的取值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果． (1)甲、乙两队员进行乒乓球单打比赛，规定采用“七局四胜制”，需要比赛的局数X； (2)盒中装有6支白粉笔和2支红粉笔，从中任意取出3支，其中所含白粉笔的支数X，所含红粉笔的支数Y； (3)在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，其中含有次品的件数X. 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】根据题意结合离散型随机变量的概念逐项分析求解. 【详解】（1）根据题意可知X的可能取值为4，5，6，7. 表示“共打了4局，甲、乙两人有1人连胜4局”； 表示“在前4局中有1人输了1局，最后一局此人胜出”； 表示“在前5局中有1人输了2局，最后一局此人胜出”； 表示“在前6局中，两人打平，最后一局有1人胜出”． （2）X的可能取值为1，2，3，表示“取出支白粉笔，支红粉笔”，其中； Y的可能取值为0，1，2，表示“取出支红粉笔，支白粉笔”，其中. （3）随机变量X的可能取值为0，1，2，3，4. 表示“取出的4件产品中有件次品”，其中. 4．（22-23高二下·江苏·课后作业）写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果． (1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数； (2)从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）设所需的取球次数为X，求出X的取值及所表示的随机试验的结果可得答案； （2）设所取卡片上的数字之和为X，求出X的取值及所表示的随机试验的结果．. 【详解】（1）设所需的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…，10，11， 表示前次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，3，4，…，11； （2）设所取卡片上的数字之和为X，则X＝3，4，5，6，7. 表示“取出标有1，2的两张卡片”； 表示“取出标有1，3的两张卡片”； 表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”； 表示“取出标有2，4的两张卡片”； 表示“取出标有3，4的两张卡片”． 5．（2023·四川成都·模拟预测）某超市计划销售某种食品，现邀请甲乙两个商家进场试销10天．两个商家向超市提供的日返利方案如下：甲商家每天固定返利60元，且每卖出一件食品商家再返利3元；乙商家无固定返利，卖出不超出30件（含30件）的食品，每件食品商家返利5元，超出30件的部分每件返利10元．经统计，试销这10天两个商家每天的销量如下茎叶图： (1)现从甲商家试销的销量不小于30件的4天中随机抽取2天，求这两天的销售量之和大于60件的概率； (2)根据试销10天的数据，将频率视作概率，用样本估计总体，回答以下问题： （ⅰ）记商家乙的日返利额为X（单位：元），求X的值域Ω； （ⅱ）证明存在，使得，即X取值k的概率不小于X不取值k的概率． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据茎叶图确定随机抽取2天销售量之和大于60件的组合、4天中随机抽取2天的销售量组合，应用古典概率的求法求概率； （2）（ⅰ）根据茎叶图写出乙的不同日销售量下对应返利额，即得值域Ω；（ⅱ）由茎叶图确定对应返利额的概率，进而证明结论. 【详解】（1）由题设，甲10天销售量不小于30件的， 从中随机抽取2天销售量之和大于60件的组合有4组、1组， 又4天中随机抽取2天的销售量组合有1组、4组、1组， 所以两天的销售量之和大于60件的概率. （2）（ⅰ）由题意，若日销售量为件， （件） 28 29 30 31 （元） 140 145 150 160 所以. （ⅱ）由茎叶图知：，，， 显然，，且， 所以，存在，使得. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $