课时测评7 二项式定理-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义配套练习word（人教B版）

课时测评7　二项式定理 (时间：40分钟　满分：100分) (本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！) (1－8每小题5分，共40分) 1．若(2x－3)n＋3的展开式中共有15项，则自然数n的值为(　　) A．11 B．12 C．13 D．14 答案：A 解析：因为(2x－3)n＋3的展开式中共有n＋4项，所以n＋4＝15，即n＝11，故选A． 2．(多选)若的展开式中存在常数项，则n的取值可以是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：BD 解析：因为的展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Cxn－k(－1)kx－k＝C(－1)kxn－2k，若的展开式中存在常数项，则只需n－2k＝0，即n＝2k，又n∈N*，k∈N，所以n只需为正偶数即可，故A、C排除，B、D可以取得．故选B、D． 3．已知关于x的二项式展开式的常数项为80，则a的值为(　　) A．1 B．1 C．2 D．±2 答案：C 解析：由题意知Tk＋1＝Cakx－k，令－k＝0，得k＝3，所以a3C＝80，解得a＝2. 4．(x－2)5的展开式中，第4项的系数为(　　) A．－80 B．80 C．40 D．－40 答案：A 解析：(x－2)5的展开式中，第4项为T4＝Cx2(－2)3＝－80x，所以第4项的系数为－80. 5．(多选)对于二项式(n∈N*)，以下判断正确的有(　　) A．存在n∈N*，展开式中有常数项 B．对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C．对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D．存在n∈N*，展开式中有x的一次项 答案：AD 解析：该二项展开式的通项为Tk＋1＝C·(x3)k＝Cx4k－n，所以当n＝4k时，展开式中存在常数项，A选项正确，B选项错误；当n＝4k－1时，展开式中存在x的一次项，D选项正确，C选项错误． 6.的二项展开式中，含项的系数为________． 答案：－160 解析：的二项展开式的通项公式为Tk＋1＝(－1)k·26－kC·x，令＝，解得k＝3，故的二项展开式中，含项的系数为－8×20＝－160. 7．(x－a)8的展开式中，x5的系数为7，则a＝________． 答案： － 解析：(x－a)8展开式中第k＋1项为：Tk＋1＝Cx8－k(－a)k，所以x5的系数为C(－a)3＝7，解得a＝－. 8．9192除以100的余数是________． 答案：81 解析：方法一：9192＝(100－9)92＝C×10092－C×10091×9＋C×10090×92－…－C×100×991＋C×992.展开式中前92项均能被100整除，只需求最后一项除以100的余数，由992＝(10－1)92＝C×1092－C×1091＋C×1090－…＋C×102－C×10＋1.前91项均能被100整除，后两项和为－919，可从前面数中分离出1 000，结果为1 000－919＝81.所以9192被100除所得的余数为81. 方法二：9192＝(90＋1)92＝C×9092＋C×9091＋C×9090＋…＋C×902＋C×90＋1. 前91项均能被100整除，剩下两项为92×90＋1＝8 281，8 281除以100所得余数为81. 9．(10分)在展开式中，求： (1)含x的项；(4分) (2)含x3的项的系数．(6分) 解：(1)展开式的通项公式为Tk＋1＝Cx9－k＝C(－1)kx9－2k， 由9－2k＝1得k＝4，则含x的项为C(－1)4x＝126x. (2)由9－2k＝3得k＝3，则含x3的项系数为C(－1)3＝－84. 10．(10分)已知(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数成等差数列． (1)求n的值；(4分) (2)写出它展开式中的所有有理项．(6分) 解：(1)(＋)n(其中n<15)的展开式中第9项，第10项，第11项的二项式系数分别是C，C，C.依题意得＋＝2·， 化简得90＋(n－9)(n－8)＝20(n－8)，即n2－37n＋322＝0， 解得n＝14或n＝23， 因为n<15，所以n＝14. (2)展开式的通项Tk＋1＝Cx·x＝C·x， 展开式中的有理项为当且仅当k是6的倍数，0≤k≤14， 所以展开式中的有理项共3项是： k＝0，T1＝Cx7＝x7； k＝6，T7＝Cx6＝3 003x6； k＝12，T13＝Cx5＝91x5. 11．(5分)使(n∈N*)的展开式中含有常数项的最小的n为(　　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：B 解析：由二项式定理得，Tk＋1＝C(3x)n－k＝C3n－kxn－k，令n－k＝0，当k＝2时，n＝5，此时n最小． 12．(5分)(1＋x＋x2)的展开式中的常数项为________． 答案：－5 解析：的展开式中，Tk＋1＝Cx6－k·＝(－1)kCx6－2k，令6－2k＝0，得k＝3，T4＝C(－1)3＝－C，令6－2k＝－1，得k＝(舍去)，令6－2k＝－2，得k＝4，T5＝C(－1)4x－2，所以(1＋x＋x2)的展开式中的常数项为1×(－C)＋C＝－20＋15＝－5. 13．(10分)已知的展开式中的第二项和第三项的系数相等． (1)求n的值；(4分) (2)求展开式中所有二项式系数的和．(6分) 解：展开式的通项为Tk＋1＝C·xn－k·＝C··xn－k(k＝0，1，2，…，n)． (1)根据展开式中的第二项和第三项的系数相等，得C·＝C·，即n＝·，解得n＝5或n＝0(舍去)． (2)展开式中所有二项式系数的和为C＋C＋C＋C＋C＋C＝32. 14．(5分)(新角度)若对∀x∈R，(ax＋b)5＝(x＋2)5－5(x＋2)4＋10(x＋2)3－10(x＋2)2＋5(x＋2)－1恒成立，其中a，b∈R，则a＋b等于(　　) A．－1 B．0 C．2 D．3 答案：C 解析：由(x＋2)5－5(x＋2)4＋10(x＋2)3－10(x＋2)2＋5(x＋2)－1＝(x＋2－1)5＝(x＋1)5，得(ax＋b)5＝(x＋1)5，所以a＝b＝1，a＋b＝2.故选C． 15．(15分)(开放题)若n的展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列． (1)求n的值；(5分) (2)此展开式中是否有常数项？若存在，请求出该项；若不存在，请说明理由．(10分) 解：(1)由题意得C＋C＝2C(n≥3)，n＋＝， 化简得n(n2－9n＋14)＝0，解得n＝7或n＝2(舍去)或n＝0(舍去)，所以n＝7. (2)不存在，理由如下： Tk＋1＝C7－k·(x－4)k＝Cx，0≤k≤7且k∈N，＝0时，解得k＝∉N， 所以展开式中不存在常数项． 学科网（北京）股份有限公司 $