3.1.3 第2课时 组合数的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教B版）

3.1.3 第2课时 组合数的应用 [课时检测] 1.某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为 (　　) A.12 B.18 C.21 D.24 解析:选B　可分两种情况:第一种情况，只有一位女生入选，不同的选法有=12种，第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有=6种，根据分类加法计数原理知，至少1位女生入选的不同的选法的种数为12+6=18. 2.体育课上，罗老师让8名身高各不相同的同学排队，要求排成前后两排，每排4人，且每排同学从左到右身高依次递增，则不同排法的种数为 (　　) A.60 B.70 C.80 D.90 解析:选B　从8人中任选4人放在第一排，有=70种选法，且仅有一种排法，其余4人放在第二排只有一种排法，所以不同排法的种数为70. 3.从3名女同学和2名男同学中各选出1人进行跳舞、唱歌表演，则不同的选法种数为 (　　) A.6 B.12 C.8 D.5 解析:选B　男女各选一人出来跳舞和唱歌，有区别，产生顺序，先选人，后排序.先分步，后排列，所有可能为··=3×2×2=12种，故选B. 4.已知书架上有4本不同的数学书，3本不同的化学书，从中任取3本书.若数学书、化学书每种都取出至少一本，则不同的取法种数为 (　　) A.60 B.180 C.30 D.90 解析:选C　由题意知，可分为两类:若取1本数学书，2本化学书，有=4×3=12种;若取2本数学书，1本化学书，有=6×3=18种，所以不同的取法种数为12+18=30. 5.某冰淇淋店至少需要准备m(m∈N+)种不同口味的冰淇淋，才能满足其广告所称“任选两种不同口味的冰淇淋的组合数超过100”.若来店里的顾客从这m种冰淇淋中任选一种或两种不同口味的冰淇淋，则不同的选择方法有 (　　) A.110种 B.115种 C.120种 D.125种 解析:选C　从n(n∈N+)种不同口味的冰淇淋中任选两种不同口味的冰淇淋的组合数为=，令>100，得n≥15，因此m=15.若来店里的顾客从这15种冰淇淋中任选一种或两种不同口味的冰淇淋，则不同的选择方法共有+=15+105=120(种). 6.从1，3，5中取两个数，从2，4中取一个数，可以组成没有重复数字的三位数，则在这些三位数中，奇数的个数为 (　　) A.12 B.18 C.24 D.36 解析:选C　从1，3，5中取两个数有种方法，从2，4中取一个数有种方法，而奇数只能从1，3，5取出的两个数之一作为个位数，另外两个数全排列即可，故奇数的个数为=3×2×2×2×1=24. 7.[多选]在某城市中，A，B两地之间有如图所示的道路网，甲随机沿道路网选择一条最短路径从A地出发到B地，则下列结论正确的是 (　　) A.不同的路径共有31条 B.不同的路径共有41条 C.若甲途经C地，则不同的路径共有18条 D.若甲途经C地，且不经过D地，则不同的路径共有8条 解析:选AC　由题图可知，从A地出发到B地的最短路径共包含7步，其中3步向上，4步向右，且前3步中至少有1步向上，则不同的路径共有++=31(条)，故A正确，B错误;若甲途经C地，则不同的路径共有=18(条)，故C正确;若甲途经C地，且不经过D地，则不同的路径共有=9(条)，故D错误. 8.现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同)，计划将其放在4个车库中(每个车库放2辆)，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有 (　　) A.144种 B.108种 C.72种 D.36种 解析:选C　根据题意，分3步进行分析:①从4种不同品牌的小车中任取2个品牌的小车，有种取法，②将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，有种情况，③剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，有1种情况，则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有×1=72种，故选C. 9.[多选]安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，则以下说法正确的是 (　　) A.若每人都安排一项工作，则不同的方法种数为45 B.若每项工作至少有1人参加，则不同的方法种数为 C.如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排1人，则不同的方法种数为(+) D.若每项工作至少有1人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同的安排方法种数为+ 解析:选AD　若每人都安排一项工作，每人有4种安排方法，则有45种安排方法，故A正确;先将5人分为4组，再将分好的4组全排列，安排4项工作，有种安排方法，故B错误;先将5人分为3组，有种分组方法，将分好的三组安排翻译、导游、礼仪三项工作，有种情况，则有种安排方法，故C错误;①从丙、丁、戊中选出1人开车，②从丙、丁、戊中选出2人开车，则有(+)种安排方法，故D正确. 10.(5分)在4月举行的高中学校篮球联赛中，8个篮球队中有2个强队，先任意将这8个队分成两个组(每组4个队)进行比赛，这两个强队被分在一个组内的分法有　　　　种.  解析:两个强队被分在一个组内，则该组的另两个球队是从除强队外的6个队中任取两个，余下4个队为一组，所以不同的分法有=15种. 答案:15 11.(5分)饺子是我国的传统美食，不仅味道鲜美而且寓意美好.现锅中煮有白菜馅饺子4个，韭菜馅饺子5个，这两种饺子的外形完全相同.从中任意舀取4个饺子，则每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为　　　　.  解析:由题意，每种口味的饺子都至少舀取到1个的情况有++=20+60+40=120种，9个饺子任意舀取4个饺子的情况有=126种，所以每种口味的饺子都至少舀取到1个的概率为=. 答案: 12.(5分)某班准备利用班会的时间举行一场小型的文娱活动，准备表演3个歌唱类节目和2个语言类节目，现要排出一个节目单，若前2个节目中必须要有语言类节目，则不同的排法有　　　种.  解析:若前2个节目都是语言类节目，此时后3个为歌唱类节目，有=12种情况; 若前2个节目中恰有1个是语言类节目，有1个是歌唱类节目，则有=12种情况， 剩余的3个节目进行全排列，则有=6种情况，则共有12×6=72种情况. 综上，有12+72=84种不同的排法. 答案:84 13.(5分)将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列，记第i项为ai(i=1，2，…，7)，若a4=7，a1+a2+a3<a5+a6+a7，则这样的数列共有　　　个.  解析:∵1+2+3+4+5+6=21，∴前3项的和S3≤10，列举可知，①(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，5)，(1，2，6)有4个;②(1，3，4)，(1，3，5)，(1，3，6)有3个;③(1，4，5)有1个;④(2，3，4)，(2，3，5)有2个，共有10个，∴共计有10××=360个这样的数列. 答案:360 14.(10分)用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的六位数，要求所有相邻两个数字的奇偶性都不同，且1和2相邻.问:有多少个这样的六位数? 解:先排3，5，有种方法，再将4，6插空排列，有2种方法，最后将1，2捆绑放到3，4，5，6形成的5个空中，且保持所有相邻两个数字的奇偶性都不同，共有种方法，综上，一共有=40个这样的六位数. 15.(10分)从4名女生，3名男生中选出3名学生去参加一项创新大赛. (1)选出3名学生中，恰有1名男生的选法有多少种?(3分) (2)选出3名学生中，既有女生又有男生的选法有多少种?(3分) (3)选出3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有多少种?(4分) 解:(1)从3名男生中选出1名的选法有=3种， 从4名女生中选出2名的选法有=6种， 所以选出的3名学生中，恰有1名男生的选法有3×6=18种. (2)选出的3名学生中，有1名女生2名男生的选法有=12种， 有2名女生1名男生的选法有=18种， 所以选出的3名学生中，既有女生又有男生的选法有12+18=30种. (3)选出的3名学生中，女生中的甲在内且男生中的乙不在内的选法有=10种; 女生中的甲不在内且男生中的乙在内的选法有=10种; 女生中的甲在内且男生中的乙也在内的选法有=5种， 所以选出的3名学生中，女生中的甲与男生中的乙至少有1名在内的选法有10+10+5=25种. 学科网（北京）股份有限公司 $