3.1.1 第2课时 计数原理的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套练习word（人教B版）

3.1.1 第2课时 计数原理的应用 [课时检测] 1.由数字1，2，3，4可以组成有重复数字的三位奇数的个数为 (　　) A.12 B.24 C.48 D.32 解析:选D　依据分步乘法计数原理，由数字1，2，3，4组成有重复数字的三位奇数，个位数字从两个奇数中选择，十位、百位没有限制，共有2×4×4=32个. 2.5名运动员进行3项体育运动比赛，每项只设有冠军和亚军各一名，那么各项冠军获得者的不同情况的种数为 (　　) A.53 B.35 C.120 D.10 解析:选A　每个项目只有一个冠军，每一名运动员都可能获得其中的一项冠军，因此每个项目获冠军的可能性有5种.∴n=5×5×5=53. 3.某种汽车牌照号码一共五个字符，但规定从左到右第二个字符只能从字母B，C，D中选择，其他四个字符可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个字符(从左到右)只想在数字3，5，6，8，9中选择，其他字符只想在1，3，6，9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有 (　　) A.180种 B.360种 C.720种 D.960种 解析:选D　根据题意，车主第一个号码在数字3，5，6，8，9中选择，共5种选法，第二个号码只能从字母B，C，D中选择，有3种选法，剩下的3个号码在1，3，6，9中选择，每个号码有4种选法，则共有4×4×4=64种选法.所以共有5×3×64=960种选法，故选D. 4.如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 (　　) A.48 B.18 C.24 D.36 解析:选D　正方体的两个顶点确定的直线有棱、面对角线、体对角线.对于每一条棱，都可以与两个侧面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有2×12=24(个)；对于每一条面对角线，都可以与一个对角面构成“正交线面对”，这样的“正交线面对”有12个，不存在四个顶点确定的平面与体对角线垂直，所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36(个). 5.[多选]现有不同的红球4个，黄球5个，绿球6个，则下列说法正确的是 (　　) A.从中选出2个球，正好一红一黄，有9种不同的选法 B.若每种颜色选出1个球，有120种不同的选法 C.若要选出不同颜色的2个球，有31种不同的选法 D.若要不放回地依次选出2个球，有210种不同的选法 解析:选BD　从中选出2个球，正好一红一黄，有4×5=20种不同的选法，A错误；若每种颜色选出1个球，有4×5×6=120种不同的选法，B正确；若要选出不同颜色的2个球，有4×5+5×6+4×6=74种不同的选法，C错误；若要不放回地依次选出2个球，有15×14=210种不同的选法，D正确. 6.如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同染色方法的种数为 (　　) A.192 B.420 C.210 D.72 解析:选B　按照S→A→B→C→D的顺序进行染色，按照A，C是否同色分类:第一类，A，C同色，由分步乘法计数原理有5×4×3×1×3=180(种)不同的染色方法；第二类，A，C不同色，由分步乘法计数原理有5×4×3×2×2=240(种)不同的染色方法.根据分类加法计数原理，共有180+240=420种不同的染色方法.故选B. 7.自然数n是一个三位数，其十位与个位、百位的差的绝对值均不超过1，我们就把n叫作“集中数”.那么，大于600的“集中数”的个数是 (　　) A.30 B.31 C.32 D.33 解析:选B　当百位为6时，十位可以为5，6，7，当十位为5时，个位可以为4，5，6；当十位为6时，个位可以为5，6，7；当十位为7时，个位可以为6，7，8，共9个；当百位为7时，十位可以为6，7，8，当十位为6时，个位可以为5，6，7；当十位为7时，个位可以为6，7，8；当十位为8时，个位可以为7，8，9，共9个；当百位为8时，十位可以为7，8，9，当十位为7时，个位可以为6，7，8；当十位为8时，个位可以为7，8，9；当十位为9时，个位可以为8，9，共8个；当百位为9时，十位可以为8，9，当十位为8时，个位可以为7，8，9；当十位为9时，个位可以为8，9，共5个.综上，总共9+9+8+5=31个，故选B. 8.(5分)古人用天干、地支来表示年、月、日、时的次序.用天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，用天干的“乙、丁、己、辛、癸”和地支的“丑、卯、巳、未、酉、亥”相配，共可配成　　　　组.  解析:分两类:第一类，由天干的“甲、丙、戊、庚、壬”和地支的“子、寅、辰、午、申、戌”相配，则有5×6=30(组)不同的结果；同理，第二类也有30组不同的结果，共可得到30+30=60(组). 答案:60 9.(5分)将摆放在编号为1，2，3，4，5五个位置上的5件不同商品重新摆放，则恰有一件商品的位置不变的摆放方法种数为　　　　.  解析:根据题意，分2步进行: ①从5件不同商品中选出1件，放回原来的位置，有5种情况，假设编号为5的位置不变； ②剩下四件都不在原来位置，即编号为1，2，3，4的四件商品都不在原来位置， 编号为1的商品有3种放法，假设其放在了2号商品原来的位置，则2号商品有3种放法， 剩下编号为3，4的两件商品只有1种放法，则其余四件商品的放法有3×3=9种. 故恰有一件商品的位置不变的摆放方法有5×9=45种. 答案:45 10.(5分)一杂技团有8名会表演魔术或口技的演员，其中有6人会表演口技，有5人会表演魔术，现从这8人中选出2人上台表演，1人表演口技，1人表演魔术，则不同的安排方法有　　　　种.  解析:由题可知有2人只会表演魔术，3人只会表演口技，3人既会表演魔术又会表演口技，针对只会表演魔术的人讨论，先从只会表演魔术的2人中选1人表演魔术，有2种选择，再从其他的6人中选1人表演口技，有6种选择，故共有2×6=12种选择；不选只会表演魔术的人，从既会表演魔术又会表演口技的3人中选1人表演魔术，有3种选择，再从只会表演口技的3人和既会表演魔术又会表演口技的剩余2人中选1人表演口技，有5种选择，故共有3×5=15种选择.所以不同的安排方法有12+15=27种. 答案:27 11. (5分)甲、乙、丙、丁四位毕业生被安排去北京、上海、广州三个地方实习，每人只能去一个城市，北京一定要有人去，则不同的实习安排方案有　　　　种.  解析:根据题意，甲、乙、丙、丁四位毕业生被安排去北京、上海、广州三个地方实习，每人只能去一个城市，则每人有3种选择，则4人一共有3×3×3×3=81种选择；若北京没人去，即四位实习生选择了去上海、广州，每人有2种选择，则4人一共有2×2×2×2=16种选择，即北京一定要有人去的实习安排方案有81-16=65(种). 答案:65 12.(10分)将2个不同的红球和2个不同的黑球放入3个不同的盒子中(可以有盒子不放球). (1)若2个红球放入同一个盒子中，则不同的放法有多少种?(5分) (2)若每个盒子最多只能装3个球，则不同的放法有多少种?(5分) 解:(1)若2个红球放入同一个盒子中，可看成将3个不同的球放入3个不同的盒子中，不同的放法有33=27种. (2)不考虑每个盒子最多只能装3个球，有34种放法. 若4个球放入同一个盒子中，有3种放法. 故不同的放法有34-3=78种. 13.(10分)如图，从左到右共有5个空格. (1)向5个空格中分别放入0，1，2，3，4这5个数字，一共可组成多少个不同的五位数的奇数?(5分) (2)用红、黄、蓝这3种颜色给5个空格涂色，要求相邻空格用不同的颜色涂色，一共有多少种涂色方案? (5分) 解:(1)由题意，选一个奇数放在个位有2种放法，从余下的数中选一个数放在万位有3种放法， 再放余下的千、百、十位，共有3×2×1=6种，根据分步乘法计数原理，这样的五位数的奇数共有2×3×3×2×1=36(个). (2)从左数第1个格子有3种涂色方案，则剩下的每个格子均有2种涂色方案，故涂色方案共有3×24=48(种). 14.(15分)为亮化城市，现在要把一条路上7盏灯全部改装成彩色路灯，如果彩色路灯有红、黄、蓝三种颜色，在安装时要求相同颜色的路灯不能相邻，而且每种颜色的路灯至少要有2盏，那么有多少种不同的安装方法? 解:由题意知，每种颜色的路灯至少要有2盏，这说明有三种颜色的路灯的分配情况只能是2，2，3的形式. 不妨设红的3个，七个位置分别用1，2，3，4，5，6，7表示，那么红的可以排135，136，137，146，147，157，246，247，257，357，共10种， 其中135，136，146，247，257，357会留下4个空，两个不相邻，两个相邻，连续的不能放一样的颜色， 那么就必须一蓝一黄，剩下两个一黄一蓝放到剩下两个不相邻的空里，各4种. 147留4个空，两个两个相邻，共4种放法. 137，157，四个空中3个相邻，一个分开，各2种放法. 246，四个空都分开，有6种放法. 所以共有6×4+1×4+2×2+1×6=38种， 当黄或蓝有3个时，总数一样，故一共有3×38=114种不同的安装方法. 15.(15分)已知0，1，2，3，4，5这六个数字. (1)可以组成多少个数字不重复的三位奇数?(4分) (2)可以组成多少个数字不重复的小于1 000的自然数?(5分) (3)可以组成多少个数字不重复的大于3 000且小于5 421的四位数?(6分) 解:(1)分3步:①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；②再选百位数字有4种选法；③十位数字也有4种选法；由分步乘法计数原理知所求三位数共有3×4×4=48个. (2)分3类:①一位数，共有6个；②两位数，先选十位数字，有5种选法；再选个位数字，也有5种选法，共有5×5=25个；③三位数，先选百位数字，有5种选法；再选十位数字，也有5种选法；再选个位数字，有4种选法，共有5×5×4=100个；因此，比1 000小的自然数共有6+25+100=131个. (3)分4类:①千位数字为3或4时，后面三个数位上可随便选择，此时共有2×5×4×3=120个；②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3=48个；③千位数字为5，百位数字是4，十位数字为0，1之一时，共有2×3=6个；④5 420也满足条件，故所求四位数共有120+48+6+1=175个. 学科网（北京）股份有限公司 $