4.3.1 第1课时 相关关系与回归直线方程-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学统计模型中“相关关系与回归直线方程”核心知识点，从变量关系辨析（函数关系、相关关系、不相关）入手，通过散点图判断线性相关（正相关、负相关），进而学习回归直线方程的构建（最小二乘法）及性质（过样本中心、回归系数意义），形成递进式学习支架。 该资料采用“逐点清”结构，通过表格对比变量关系、散点图分析实例（如木材体积与树龄）、回归方程计算（如记忆力与判断力模型），培养学生用数学眼光观察数据关联，用数学思维推理回归方法，用数学语言表达模型应用。课中助力概念精准传递，课后“微点练明”通过例题与练习帮助学生巩固，有效查漏补缺。

4.3统计模型 4.3.1　一元线性回归模型 第1课时　相关关系与回归直线方程 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] [课时目标] 1.了解变量间的相关关系.　　　　　　　 2.能根据散点图判断两个变量是否具有相关关系. 3.了解线性回归思想,会求回归直线方程. 逐点清(一)　相关关系 [多维理解] 1.变量之间的常见关系 函数关系 两个变量之间的关系可以用函数表示 相关关系 如果两个变量中一个变量的取值一定时,另一个变量的取值带有一定的随机性,那么这两个变量之间的关系叫作相关关系 不相关 两个变量间没有任何关系 2.散点图 (1)在讨论两个变量x和y之间的关系时,常把它们写成点(x,y)的形式,以便利用平面直角坐标系来考虑它们之间的关系,此时x和y可以看成是描述同一个体的两个不同的特征量. (2)一般地,如果收集到了变量x和变量y的n对数据(简称为成对数据),则在平面直角坐标系xOy中描出点(xi,yi),i=1,2,3,…,n,就可以得到这n对数据的散点图. 3.线性相关关系 线性 相关 如果由变量的成对数据、散点图或直观经验可知,变量x与变量y之间的关系可以近似地用一次函数来刻画,则称x与y线性相关 正相关 在线性相关中,如果一个变量增大,另一个变量大体上也增大,则称这两个变量正相关 负相关 在线性相关中,如果一个变量增大,另一个变量大体上减少,则称这两个变量负相关 [微点练明] 1.下列两个量之间的关系是相关关系的是 (　　) A.匀速直线运动中时间与位移的关系 B.学生的成绩和身高 C.儿童的年龄与体重 D.物体的体积和质量 解析:选C　A、D是函数关系;B不是相关关系;C是相关关系,故选C. 2.在下列所示的四个图中,每个图的两个变量具有线性相关关系的图是 (　　) 解析:选B　A中,两个变量x与y之间具有函数关系,不是相关关系,不符合题意;B中,两个变量x与y构成的点在一条直线附近呈带状分布,所以两个变量之间是线性相关关系,符合题意;C、D中,两个变量x与y构成的点不在一条直线附近呈带状分布,所以两个变量之间不是线性相关关系,不符合题意. 3.某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系: 树龄 2 3 4 5 6 7 8 体积 30 34 40 60 55 62 70 (1)请作出这些数据的散点图; (2)你能由散点图发现木材的体积与树木的树龄近似呈什么关系吗? 解:(1)以x轴表示树木的树龄,y轴表示木材的体积,可得相应的散点图如图所示. (2)由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势,且散点落在一条直线附近,所以木材的体积与树木的树龄呈线性关系. 逐点清(二)　回归直线方程 [多维理解] 　　回归直线方程与最小二乘法 (1)一般地,已知变量x与y的n对成对数据(xi, yi),i=1,2,3,…,n.任意给定一个一次函数y=bx+a,对每一个已知的xi,由直线方程可以得到一个估计值=bxi+a,如果一次函数=x+能使残差平方和即(y1-)2+(y2-)2+…+(yn-)2=取得最小值,则=x+称为y关于x的回归直线方程(对应的直线称为回归直线). 因为是使得平方和最小,所以其中涉及的方法称为最小二乘法. (2),的计算方法 其中,称为回归系数,它实际上也就是回归直线方程的斜率,指的是1,x2,x3,…,xn的平均数,指的是x1,y2,y3,…,yn的平均数. [微点练明] 1.某同学计算两个线性相关变量x与y的回归直线方程是=-3.2x+40,则相对应于点(11,5)的残差 (=yi-)为 (　　) A.0.1　　 B.0.2 C.-0.1　　　 D.-0.2 解析:选B　因为=-3.2x+40,当x=11时,=-3.2×11+40=4.8,所以=5-4.8=0.2. 2.根据如下一组成对数据,得到回归直线方程=x+,则 (　　) x 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 -0.5 0.5 -2.0 -3.0 A.>0,<0　　 B.>0,>0 C.<0,>0　　　 D.<0,<0 解析:选A　∵==5.5,==0.25,∴xiyi-6=-23.75,x2-6=17.5,∴=-≈-1.36,=0.25-(-1.36)×5.5=7.73. 3.哈三中高二数学备课组对学生的记忆力x和判断力y进行统计分析,所得数据如下表所示: x 4 6 8 10 y 2 3 5 6 (1)请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程=x+; (2)根据(1)中求出的回归直线方程,预测记忆力为9的学生的判断力. 解:(1)由表中数据可得=(4+6+8+10)=7,=(2+3+5+6)=4,xiyi-4　=4×2+6×3+8×5+10×6-4×7×4=14, -4=42+62+82+102-4×72=20, 所以=-=4-0.7×7=-0.9,所以y关于x的回归直线方程为=0.7x-0.9. (2)当x=9时,=0.7×9-0.9=5.4,所以记忆力为9的学生的判断力约为5.4. 逐点清(三)　回归直线方程的性质 [多维理解] (1)回归直线一定过点(,). (2)一次函数=x+的单调性由的符号决定,函数递增的充要条件是>0.这说明:y与x正相关的充要条件是>0;y与x负相关的充要条件是<0. (3)回归系数的实际意义:当x增大一个单位时,增大个单位. |微|点|助|解| 　 回归直线性质的理解 (1)点(,)一定在回归直线上. (2)>0,说明两个变量正相关;<0,说明两个变量负相关. (3)回归系数的实际意义:当x增大一个单位时,增大个单位. [微点练明] 1.已知下表所示数据的回归直线方程为=4x-4,则实数m的值为 (　　) x 2 3 4 5 6 y 3 7 m 18 21 A.11　　 B.12 C.13　　　 D.14 解析:选A　因为==4,所以=4×4-4=12,所以=12,解得m=11. 2.若回归直线方程为=3+1.2x,则当变量x增加一个单位时 (　　) A.平均增加1.2个单位　　　　 B.平均增加3个单位 C.平均减少1.2个单位　　　　 D.平均减少3个单位 解析:选A　由回归直线方程的性质知,当变量x增加一个单位时,=3+1.2(x+1)=3+1.2x+1.2,平均增加1.2个单位. 3.某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时,获得该产品的售价x(单位:元)和销售量y(单位:百个)之间的四组数据如下表: 售价x/元 4 a 5.5 6 销售量y/百个 12 11 10 9 用最小二乘法求得销售量y与售价x之间的回归直线方程为=-1.4x+17.5,那么表中实数a的值为 (　　) A.4　　 B.4.7 C.4.6　　　 D.4.5 解析:选D　由题意,得==,==10.5.因为回归直线方程=-1.4x+17.5经过点(,),所以代入得10.5=-1.4×+17.5,解得a=4.5. 4.产量x(单位:台)与单位产品成本y(单位:元/台)之间的回归直线方程为y=356-1.5x,这说明 (　　) A.产量每增加一台,单位产品成本增加356元 B.产量每增加一台,单位产品成本减少1.5元 C.产量每增加一台,单位产品成本平均增加356元 D.产量每增加一台,单位产品成本平均减少1.5元 解析:选D　由题意知,该方程是一个递减的函数模型,由回归直线方程的性质可得,产量每增加一台,单位产品成本平均减少1.5元. 学科网（北京）股份有限公司 $