4.2.2 离散型随机变量的分布列-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦离散型随机变量的分布列核心知识点，系统梳理分布列的概念、性质（概率非负性及和为1）与两点分布特点，搭建从随机变量到后续数字特征学习的关键支架。 采用梯度进阶式教学，通过基础训练、题型分类（分布列构建、性质应用、两点分布）及实际情境例题（如科普竞答选题），培养数学思维（推理与运算）和数学眼光（观察现实问题），课中助力教师分层教学，课后训练帮助学生巩固查漏。

4.2.2　离散型随机变量的分布列 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 　[课时目标] 1.理解离散型随机变量分布列的概念,了解分布列对刻画随机现象的重要性. 2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质.　　3.理解两点分布的特点. 1.离散型随机变量的分布列 一般地,当离散型随机变量X的取值范围是{x1,x2,…,xn}时,如果对任意k∈{1,2,…,n},概率P(X=xk)=pk都是已知的,则称X的概率分布是已知的.离散型随机变量X的概率分布可以用如下形式的表格表示,这个表格称为X的概率分布或分布列. X x1 x2 … xk … xn P p1 p2 … pk … pn 2.离散型随机变量分布列的性质 (1)pk≥0,k=1,2,…,n; (2)pk=p1+p2+…+pn=1. 3.两点分布 一般地,如果随机变量的分布列能写成如下表格的形式(其中0<p<1), X 1 0 P p 1-p 则称这个随机变量服从参数为p的两点分布(或0-1分布). 4.伯努利试验 所有可能结果只有两种的随机试验通常称为伯努利试验.两点分布也常称为伯努利分布,两点分布中的p也常被称为成功概率. 基础落实训练 1.设随机变量X的可能取值为1,2,…,n,并且取1,2,…,n是等可能的.若P(X<4)=0.3,则下列结论正确的是 (　　) A.n=3　　　　　　　　 B.n=4 C.n=10　　　　　　　　 D.n不能确定 解析:选C　因为随机变量X的可能取值为1,2,…,n,并且取1,2,…,n是等可能的,所以P(X<4)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)==0.3,解得n=10.故选C. 2.设随机变量X的分布列为P(X=k)=,k=0,1,2,3,则C=　　　　.  解析:由分布列的性质得C=1,所以C=. 答案: 3.在射击试验中,令X=如果射中的概率是0.9,则随机变量X的分布列为　　　　.  解析:由题意知X服从两点分布,故随机变量X的分布列为 X 0 1 P 0.1 0.9 答案: X 0 1 P 0.1 0.9 题型(一)　离散型随机变量的分布列 [例1]　某校组织科普知识竞答活动,要求每位参赛选手从4道“生态环保题”和2道“智慧生活题”中任选3道作答(每道题被选中的概率相等).设随机变量X表示某选手所选3道题中“智慧生活题”的个数. (1)求该选手恰好选中一道“智慧生活题”的概率; (2)求随机变量X的分布列. 解:(1)设“该选手恰好选中一道‘智慧生活题’”为事件A,则P(A)==. (2)由题意可知X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,所以X的分布列为 X 0 1 2 P 　　|思|维|建|模| 求离散型随机变量分布列的三个关键点 (1)随机变量的取值. (2)每一个取值所对应的概率. (3)用所有概率之和是否为1来检验(此种情况计算概率时不可用对立事件的概率). 　　[针对训练] 1.一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球,其中红球有2个,白球有3个.从中任意取出3个球, (1)求取出的3个球恰有一个红球的概率; (2)若随机变量X表示取得红球的个数,求随机变量X的分布列. 解:(1)设“取出的3个球恰有一个红球”为事件A,则P(A)===. (2)随机变量X的可能取值为0,1,2, 则P(X=0)==, P(X=1)==, P(X=2)==, 故X的分布列为 X 0 1 2 P 题型(二)　分布列的性质及其应用 [例2]　设随机变量X的分布列P=ak(k=1,2,3,4,5). (1)求常数a的值; (2)求P. 解:由题意知,所给分布列为 X 1 P a 2a 3a 4a 5a (1)由分布列的性质得a+2a+3a+4a+5a=1,解得a=. (2)法一　P=P+P+P(X=1)=++=. 法二　P=1-P=1-=. 　　[变式拓展] 本例条件不变,求P. 解:∵<X<, ∴X=,,. ∴P=P+P+P=++=. 　　|思|维|建|模| 分布列的性质及其应用 (1)利用分布列中各概率之和为1,可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数. (2)求随机变量在某个范围内的概率时,根据分布列,将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式. 　　[针对训练] 2.设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m (1)求随机变量η=|X-1|的分布列; (2)求随机变量ξ=X2的分布列. 解:(1)由分布列的性质知,0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3, 列表为 X 0 1 2 3 4 |X-1| 1 0 1 2 3 即随机变量η的可能取值为0,1,2,3, 所以P(η=0)=P(X=1)=0.1, P(η=1)=P(X=0)+P(X=2)=0.2+0.1=0.3,P(η=2)=P(X=3)=0.3,P(η=3)=P(X=4)=0.3, 故η=|X-1|的分布列为 η 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 (2)列表得 X 0 1 2 3 4 X2 0 1 4 9 16 即随机变量ξ的可能取值为0,1,4,9,16. 从而ξ=X2的分布列为 ξ 0 1 4 9 16 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 题型(三)　两点分布 [例3]　已知一批200件的待出厂产品中,有1件不合格品,现从中任意抽取2件进行检查,若用随机变量X表示抽取的2件产品中的次品数,求X的分布列. 解:由题意知,X服从两点分布,P(X=0)==,所以P(X=1)=1-=. 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 P 　　|思|维|建|模| 两点分布的4个特点 (1)两点分布中只有两个对应结果,且两结果是对立的; (2)两点分布中的两结果一个对应1,另一个对应0; (3)由互斥事件的概率求法可知,已知P(X=0)(或P(X=1)),便可求出P(X=1)(或P(X=0)); (4)在有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否发生,就可以利用两点分布来研究它. 　　[针对训练] 3.已知离散型随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=3-4P(X=1)=a,则a= (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:选C　因为X服从两点分布,所以P(X=0)+P(X=1)=1.因为P(X=0)=3-4P(X=1)=a,所以P(X=0)=3-4[1-P(X=0)],解得P(X=0)=,所以a=,故选C. 4.某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机变量X描述1次试验的成功次数,则P(X=1)等于 (　　) A.0　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:选D　设失败率为p,则成功率为2p,∴X的分布列如表所示. X 0 1 P p 2p ∴p+2p=1,解得p=,∴P(X=1)=,故选D. 学科网（北京）股份有限公司 $