4.2.2 离散型随机变量的分布列(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．给出下列四个命题： ①１５秒内，通过某十字路口的汽车的数量是随 机变量； ②在一段时间内，某候车室内候车的旅客人数 是随机变量； ③一条河流每年的最大流量是随机变量； ④一个剧场共有三个出口，散场后某一出口退 场的人数是随机变量． 其中正确的个数是 （Ｄ ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ ２．已知随机变量Ｙ ＝ ２Ｘ，且Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ ０． １，则 Ｐ（Ｙ ＝２）＝ （Ａ ） Ａ． ０． １ Ｂ． ０． ２ Ｃ． ０． ４ Ｄ．无法确定 ３．抛掷两枚骰子，所得点数之和记为ξ，那么ξ ＝ ４ 表示的事件是 （Ｄ ） Ａ．一枚是３点，一枚是１点 Ｂ．两枚都是２点 Ｃ．两枚都是４点 Ｄ．一枚是３点，一枚是１点或两枚都是２点 ４．抛掷两枚骰子一次，ξ为第一枚骰子掷出的点 数与第二枚骰子掷出的点数之差，则ξ的所有 可能的取值为 （Ｄ ） Ａ． ０≤ξ≤５，ξ∈Ｎ Ｂ． － ５≤ξ≤０，ξ∈Ｚ Ｃ． １≤ξ≤６，ξ∈Ｎ Ｄ． － ５≤ξ≤５，ξ∈Ｚ ５．一袋中装有６个同样大小的黑球，编号为１，２， ３，４，５，６．现从中随机取出２个球，以Ｘ表示取 出的球的最大号码，则“Ｘ ＝ ６”表示的事件的样 本点是（１，６），（２，６），（３，６），（４，６），（５，６）　 ． 请同学们认真完成练案［１１                              ］ ４． ２． ２　 离散型随机变量的分布列 !"#$%&'( 课程标准 １．理解取有限值的离散型随机变量的分布列及两点分布的概念及表示． ２．掌握离散型随机变量的分布列的性质． ３．会求某些简单的离散型随机变量的分布列（含两点分布）． 学法解读 １．通过学习离散型随机变量及两点分布的概念、表示及性质，体会数学抽象的素养． ２．借助离散型随机变量的分布列求法，培养数学运算的素养． )*+,%-.+ 离散型随机变量的分布列 　 　 （１）一般地，当离散型随机变量Ｘ的取值范 围是｛ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ｝时，如果对任意ｋ∈｛１，２，…， ｎ｝，概率Ｐ（Ｘ ＝ ｘｋ）＝ ｐｋ都是已知的，则称Ｘ的概 率分布是已知的． 离散型随机变量Ｘ的概率分布可以用如下形 式的表格表示，这个表格称为Ｘ        的概率分布或分 !%! ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 布列． Ｘ ｘ１ ｘ２ … ｘｋ … ｘｎ Ｐ ｐ１ ｐ２ … ｐｋ … ｐｎ 　 　 （２）离散型随机变量Ｘ的概率分布还可以用 图１或图２来直观表示，其中，图１中，ｘｋ 上的矩 形宽为１，高为ｐｋ，因此每个矩形的面积也恰为 　 　 　 　 ；图２中，ｘｋ上的线段长为　 　 　 　 ． （３）离散型随机变量的分布列必须满足： ①ｐｋ≥ 　 　 　 　 ，ｋ ＝１，２，…，ｎ． ②∑ ｎ ｋ ＝ １ ｐｋ ＝ ｐ１ ＋ ｐ２ ＋…＋ ｐｎ ＝ 　 　 　 　 ． 思考１：通过随机变量的分布列，你能得到哪 些信息？ 两点分布 　 　 （１）一般地，如果随机变量Ｘ的分布列能写 成如下表格的形式： Ｘ １ ０ Ｐ ｐ １ － ｐ 　 　 则称随机变量Ｘ服从参数为　 　 　 　 的两点 分布． （２）一个所有可能结果只有　 　 　 　 的随机 试验，通常称为伯努利试验．不难看出，如果将伯努 利试验的结果分别看成“成功”与“不成功”，并设 “成功”出现的概率为ｐ，一次伯努利试验中“成功” 出现的次数为Ｘ，则Ｘ服从参数为ｐ的　 　 　 　 分 布，因此两点分布也常称为伯努利分布，两点分布 中的　 　 　 　 也常被称为成功概率． 思考２：服从两点分布的随机变量Ｘ的取值 范围均为｛１，０｝吗                                                           ？ /012%345 题型探究 题型一 分布列及其性质的应用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．设随机变量Ｘ的分布列为Ｐ（Ｘ ＝ ｉ）＝ ｉａ（ｉ ＝１，２，３，４），求： （１）Ｐ（Ｘ ＝１或Ｘ ＝２）； （２）Ｐ １２ ＜ Ｘ ＜ ７( )２ ． ［分析］　 先由分布列的性质求ａ，再根据Ｘ ＝ １或Ｘ ＝２，１２ ＜ Ｘ ＜ ７ ２的含义，利用分布列求概率          ． !%" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 离散型随机变量分布列的性 质的应用 （１）求参数的取值或范围． （２）求随机变量在某个范围内取值的概率． （３）验证分布列是否正确． 对点训练? （１）设ξ是一个随机变量， 其分布列如下表所示： ξ －１ ０ １ Ｐ １２ １ － ２ｑ ｑ ２ 　 　 则ｑ ＝ （Ｄ ） Ａ． １ Ｂ． １ ±槡２２ Ｃ． １ ＋槡２２ Ｄ． １ －槡 ２ ２ （２）设随机变量Ｘ的分布列为Ｐ（Ｘ ＝ ｉ）＝ ｉ１０ （ｉ ＝１，２，３，４），若Ｐ（１≤Ｘ ＜ ａ）＝ ３５，则实数ａ的取值 范围为　 　 　 　 ． ［分析］　 先由分布列的性质求ａ，再根据Ｘ ＝ １或Ｘ ＝２，１２ ＜ Ｘ ＜ ７ ２的含义，利用分布列求概率． 题型二 两点分布的应用 ２．一个袋中装有除颜色外其他都相同的３个 白球和４个红球． （１）从中任意摸出１个球，用０表示摸出白 球，用１表示摸出红球，即Ｘ ＝ ０，摸出白球， １，摸出红球{ ，求Ｘ 的分布列； （２）从中任意摸出两个球，用Ｘ ＝ ０表示“两 个球全是白球”，用Ｘ ＝ １表示“两个球不全是白 球”，求Ｘ的分布列． ［分析］　 两问中Ｘ只有两个可能取值，且为 ０，１，属于两点分布，应用概率知识求出Ｘ ＝ ０的概 率，然后根据两点分布的特点求出Ｘ ＝ １的概率， 最后列表即可． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 两点分布的两个特点 （１）两点分布中只有两个对应结果，且两个 结果是对立的． （２）由对立事件的概率求法可知：Ｐ（Ｘ ＝ ０）＋ Ｐ（Ｘ ＝１）＝１． 对点训练? 在一次购物抽奖活动中，在 １０张奖券中有一等奖奖券１张，二等奖奖券３张， 其余６张没有奖品．某顾客从１０张奖券中任意抽 取１张，求中奖次数Ｘ的分布列． 题型三 离散型随机变量的分布列 ３．袋中装着标有数字１，２，３，４，５的小球各２ 个，从袋中任取３个小球，按３个小球上最大数字 的９倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用 Ｘ表示取出的３个小球上的最大数字，求： （１）取出的３个小球上的数字互不相同的 概率； （２）随机变量Ｘ的分布列； （３）计算介于２０分到４０分之间的概率                                                                        ． !%# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # ［分析］　 （１）借助古典概型的概率公式求 解；（２）列出Ｘ的所有可能取值，并求出相应的概 率，列出分布列；（３）根据分布列转化为求概率 之和． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 求离散型随机变量的分布列 应注意的问题 （１）正确求出分布列的前提是必须先准确写 出随机变量的所有可能取值，再依古典概型求出 每一个可能取值的概率．至于某一范围内取值的 概率，应等于它取这个范围内各个值的概率之和． （２）在求解过程中注重知识间的融合，常常 会用到排列组合、古典概型及互斥事件、对立事件 的概率等知识． 对点训练? 一批笔记本电脑共有１０台， 其中Ａ品牌３台，Ｂ品牌７台．如果从中随机挑选 ２台，求这２台电脑中Ａ品牌台数的分布列． 题型四 两个相关离散型随机变量的分布列 ４．已知离散型随机变量Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ ４ Ｐ ０． ２ ０． １ ０． １ ０． ３ ｍ 　 　 求：（１）２Ｘ ＋１的分布列； （２）｜Ｘ －１ ｜的分布列． ［分析］　 先由分布列的性质求出ｍ的值，然 后求出Ｘ取每一个值时对应的２Ｘ ＋ １，｜ Ｘ － １ ｜的 值，再分别把２Ｘ ＋ １，｜Ｘ － １ ｜取相同的值时所对应 的概率相加，列出分布列． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 已知离散型随机变量ξ的分布 列，求离散型随机变量η ＝ ｆ（ξ）的分布列的关键 是弄清楚ξ取每一个值时对应的η的值，再把η 取相同的值时所对应的事件的概率相加，列出概 率分布列即可． 对点训练? 已知随机变量ξ的分布列为 ξ －２ － １ ０ １ ２ ３ Ｐ １１２ １ ４ １ ３ １ １２ １ ６ １ １２ 　 　 分别求出随机变量η１ ＝ － ξ ＋ １２，η２ ＝ ξ ２ －２ξ的 分布列                                                                        ． !%$ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 易错警示 　 　 离散型随机变量的可能取值搞错致误 ５．小王参加一次比赛，比赛共设三关，第一、 二关各有两个必答题，如果每关两个问题都答对， 可进入下一关，第三关有三个问题，只要答对其中 两个问题，则闯关成功．每过一关可一次性获得价 值分别为１ ０００元，３ ０００元，６ ０００元的奖品（不重 复得奖）用Ｘ表示小王所获奖品的价值，写出Ｘ 的所有可能取值． ［错解］　 Ｘ的可能取值为０，１ ０００，３ ０００， ６ ０００． Ｘ ＝０表示一关没过； Ｘ ＝１ ０００表示只过第一关； Ｘ ＝３ ０００表示只过第二关； Ｘ ＝６ ０００表示只过第三关． ［辨析］　 ①对题目背景理解不准确；比赛设 三关，前一关不过是不允许进入下一关比赛的； ②忽略题目中的条件：忽略不重复得奖，最高 奖不会超过６ ０００元． ［正解］　 ［点评］　 理解题目背景，弄清各条件的含 义，挖掘出隐含条件，准确写出随机变量的所有可 能取值是本章学习的重要基本功                             ． 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．设离散型随机变量ξ的概率分布如下表： ξ １ ２ ３ ４ Ｐｉ １ ６ １ ３ １ ６ Ｐ 则Ｐ的值为 （Ｃ ） Ａ． １２ Ｂ． １ ６ Ｃ． １ ３ Ｄ． １ ４ ２．随机变量Ｘ的概率分布规律为Ｐ（Ｘ ＝ ｎ）＝ ａ ｎ（ｎ ＋１）（ｎ ＝ １，２，３，４），其中ａ是常数，则 Ｐ １２ ＜ Ｘ ＜ ５( )２ 的值为 （Ｄ ） Ａ． ２３ Ｂ． ３ ４ Ｃ． ４ ５ Ｄ． ５ ６ ３．已知随机变量Ｘ的分布列如下表所示，其中ｃ ＝ ２ｂ － ａ，则Ｐ（｜Ｘ ｜ ＝ １）等于 （Ｄ ） Ｘ －１ ０ １ Ｐ ａ ｂ ｃ Ａ． １３ Ｂ． １ ４ Ｃ． １ ２ Ｄ． ２ ３ ４．若Ｐ（Ｘ≤ｎ）＝１ － ａ，Ｐ（Ｘ≥ｍ）＝ １ － ｂ，其中｝ｎ， 则Ｐ（ｍ≤Ｘ≤ｎ）＝ （Ｃ ） Ａ．（１ － ａ）（１ － ｂ） Ｂ． １ － ａ（１ － ｂ） Ｃ． １ －（ａ ＋ ｂ） Ｄ． １ － ｂ（１ － ａ） ５．甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互 独立的随机变量ξ，η，已知甲、乙两名射手在每 次射击中射中的环数分别为７，８，９，１０，且甲射 中１０，９，８，７环的概率分别为２ａ，０． ２，ａ，０． ２，乙 射中１０，９，８，７环的概率分别为０． ３，０． ３，ｂ，ｂ， 求ξ，η的分布列． 请同学们认真完成练案［１２                                       ］ !%% 互独立事件的概率乘法公式，这段时间内３个开关都不能闭合 的概率是Ｐ（ＡＢＣ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ） ＝［１ － Ｐ（Ａ）］［１ － Ｐ（Ｂ）］［１ － Ｐ（Ｃ）］ ＝（１ － ０． ７）（１ － ０． ７）（１ － ０． ７）＝ ０． ０２７， 于是这段时间内至少有１个开关能够闭合，从而使线路能 正常工作的概率是１ － Ｐ（ＡＢＣ）＝ １ － ０． ０２７ ＝ ０． ９７３． 　 　 例４：在相互独立事件Ａ和Ｂ中，只有Ａ发生即事件Ａ Ｂ发 生，只有Ｂ发生即事件ＡＢ发生． ∵ Ａ和Ｂ相互独立，∴ Ａ与Ｂ，Ａ和Ｂ也相互独立． ∴ Ｐ（Ａ Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）·［１ － Ｐ（Ｂ）］＝ １４ ，① Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＝［１ － Ｐ（Ａ）］·Ｐ（Ｂ）＝ １４ ．② ① －②得Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）．③ 联立①③可解得Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）＝ １２ ． ∴ Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＝ １２ × １ ２ ＝ １ ４ ． 课堂检测·固双基 １． Ｃ　 因为事件Ａ、Ｂ相互独立，所以Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）＝ ０． ４． ２．Ａ　 设Ａ表示“第一个圆盘的指针落在奇数所在的区域”，则Ｐ（Ａ） ＝ ２３ ，Ｂ表示“第二个圆盘的指针落在奇数据在的区域”，则Ｐ（Ｂ） ＝ ２３ ．故Ｐ（ＡＢ）＝Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＝ ２ ３ × ２ ３ ＝ ４ ９ ． ３． Ｃ　 两班各自派出代表是相互独立事件，设事件Ａ，Ｂ分别为 甲班、乙班派出的三好学生，则事件ＡＢ为两班派出的都是三 好学生，则Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＝ ９３６ × ６ ３６ ＝ １ ２４ ． ４． Ｂ　 事件甲发生的概率Ｐ（甲）＝ １６ ，事件乙发生的概率Ｐ（乙） ＝ １６ ，事件丙发生的概率Ｐ（丙）＝ ５ ６ × ６ ＝ ５ ３６，事件丁发生的 概率Ｐ（丁）＝ ６６ × ６ ＝ １ ６ ．事件甲与事件丙同时发生的概率为 ０，Ｐ（甲丙）≠Ｐ（甲）Ｐ（丙），故Ａ错误；事件甲与事件丁同时 发生的概率为１６ × ６ ＝ １ ３６，Ｐ（甲丁）＝ Ｐ（甲）Ｐ（丁），故Ｂ正确； 事件乙与事件丙同时发生的概率为１６ × ６ ＝ １ ３６，Ｐ（乙丙）≠ Ｐ（乙）Ｐ（丙），故Ｃ错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相 互独立事件，故Ｄ错误．选Ｂ． ５． ６７７０ 　 ［解析］　 加工出来的零件的正品率为１ － １( )７０ × １ － １( )６９ × １ － １( )６８ ＝ ６７７０ ． ４． ２　 随机变量 ４． ２． １　 随机变量及其与事件的联系 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 （１）唯一确定　 （３）所有可能 思考：随机变量每取一个确定的值对应着试验的不同结果， 试验的结果对应着随机变量的值，即随机变量的取值实质上是 试验结果所对应的数． 　 　 知识点２　 （１）互斥　 （２）对立　 １ 　 　 知识点３　 （２）离散型　 区间 　 　 知识点４　 随机变量　 Ｐ（Ｙ ＝ ａｔ ＋ ｂ） 关键能力·攻重难 　 　 例１：Ｃ　 随机试验的结果可以一一列出的，就是离散型随 机变量．一天内的温度的取值不能一一列出，是连续型随机变 量．故选Ｃ． 　 　 对点训练１：（１）在标准大气压下，水沸腾的温度是１００ ℃， 是常量，故不是随机变量． （２）王老师在某天内接电话的次数是不确定的，因此是随 机变量． （３）作品获奖奖次的可能性不确定，可能是一，二或三，因 此是随机变量． （４）体积是６４ ｃｍ３的正方体的棱长是４ ｃｍ，因此不是随机 定量． 　 　 例２：（１）Ｃ　 击中目标或子弹打完就停止射击，射击次数为 Ｘ ＝ ５，则说明前４次均未击中目标． （２）这名同学可能回答全对，两对一错，两错一对，全错四 种结果，相应得分为３００分，２００分，１００分，０分． ①所以Ｘ的取值范围是｛３００，２００，１００，０｝． ②因为事件Ｘ ＞ ０为“不得０分”，Ｘ ＜ ３００为“不得满分”， 所以Ｘ ＝ ０与Ｘ ＞ ０是对立事件，Ｘ ＝ ３００与Ｘ ＜ ３００是对立事件， 又Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ ０． ０６，Ｐ（Ｘ ＝ ３００）＝ ０． ４３，所以Ｐ（Ｘ ＞ ０）＝ １ － Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ １ － ０． ０６ ＝ ０． ９４； Ｐ（Ｘ ＜ ３００）＝ １ － Ｐ（Ｘ ＝ ３００）＝ １ － ０． ４３ ＝ ０． ５７． 　 　 对点训练２：设所需的取球次数为Ｘ，则Ｘ ＝ １，２，３，４，…， １０，１１， Ｘ ＝ ｉ表示前ｉ － １次取到红球，第ｉ次取到白球，这里ｉ ＝ １， ２，…，１１． 　 　 例３：（１）当Ｘ ＝ ２５时，Ｙ ＝ ２５ × １００ ＋ １ ５００ ＝ ４ ０００． （２）由题意可知Ｙ ＝ １００Ｘ ＋ １ ５００． （３）由Ｙ ＞ ３ ５００可知１００Ｘ ＋ １ ５００ ＞ ３ ５００，即Ｘ ＞ ２０． ∴ Ｐ（Ｘ ＞ ２０）＝ Ｐ（Ｙ ＞ ３ ５００）＝ ０． ７， ∴ Ｐ（Ｘ≤２０）＝ １ － ０． ７ ＝ ０． ３． 　 　 对点训练３：｛－ ２，－ １，０｝　 因为随机变量Ｘ的取值范围是 ｛－ １，０，１｝，且Ｙ ＝ Ｘ － １， 所以－ １ － １ ＝ － ２，０ － １ ＝ － １，１ － １ ＝ ０，所以Ｙ的取值范围 是｛－ ２，－ １，０｝． 课堂检测·固双基 １． Ｄ　 ２． Ａ　 因为随机变量Ｙ ＝ ２Ｘ，当Ｘ ＝ １时，Ｙ ＝ ２，所以Ｐ（Ｙ ＝ ２）＝ Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ ０． １． ３． Ｄ　 ξ ＝ ４可能出现的结果是一枚是３点，一枚是１点或两枚 都是２点． ４． Ｄ　 ξ的所有可能取值为－ ５，－ ４，－ ３，－ ２，－ １，０，１，２，３，４，５， 即－ ５≤ξ≤５，ξ∈Ｚ． ５．（１，６），（２，６），（３，６），（４，６），（５，６） ４． ２． ２　 离散型随机变量的分布列 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 （２）ｐｋ 　 ｐｋ 　 （３）①０　 ②１ 思考１：（１）随机变量的所有可能取值；（２）取每一个值的概 率的大小． 　 　 知识点２　 （１）ｐ　 （２）两种　 两点　 ｐ 思考２：是的． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）∵ ４ ｉ ＝ １ ｐｉ ＝ １ ａ ＋ ２ ａ ＋ ３ ａ ＋ ４ ａ ＝ １，∴ ａ ＝ １０， 则Ｐ（Ｘ ＝ １或Ｘ ＝ ２）＝ Ｐ（Ｘ ＝ １）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ２） ＝ １１０ ＋ ２ １０ ＝ ３ １０ ． （２）由ａ ＝ １０，可得Ｐ １２ ＜ Ｘ ＜( )                                                                       ７ ２ —１３７— ＝ Ｐ（Ｘ ＝ １）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ２）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ３） ＝ １１０ ＋ ２ １０ ＋ ３ １０ ＝ ３ ５ ． 　 　 对点训练１：（１）Ｄ　 由离散型随机变量分布列的性质得 １ ２ ＋（１ －２ｑ）＋ ｑ ２ ＝１， ０≤１ －２ｑ≤１， ｑ２≤１ { ， 解得ｑ ＝ １ －槡２２ ． （２）（３，４］　 因为Ｐ（Ｘ ＝ ｉ）＝ ｉ１０（ｉ ＝ １，２，３，４），所以Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ １１０，Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ ２ １０ ＝ １ ５ ，Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝ ３ １０，Ｐ（Ｘ ＝ ４）＝ ４ １０ ＝ ２ ５ ．又Ｐ（１≤Ｘ ＜ ａ）＝ ３ ５ ，故３ ＜ ａ≤４． 　 　 例２：（１）由题意知Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ ３７ ，Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ ４ ７ ． 所以Ｘ的分布列为： Ｘ ０ １ Ｐ ３７ ４ ７ 　 　 （２）由题意知Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ Ｃ ２ ３ Ｃ２７ ＝ １７ ， Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ １ － Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ ６７ ． 所以Ｘ的分布列为： Ｘ ０ １ Ｐ １７ ６ ７ 　 　 对点训练２：抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故Ｘ 的取值只有０和１两种情况． Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ Ｃ １ ４ Ｃ１１０ ＝ ４１０ ＝ ２ ５ ，则 Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ １ － Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ １ － ２５ ＝ ３ ５ ． 因为Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ Ｐ ３５ ２ ５ 　 　 例３：（１）解法一：记“一次取出的３个小球上的数字互不相 同”的事件记为Ａ，则Ｐ（Ａ）＝ Ｃ ３ ５Ｃ １ ２Ｃ １ ２Ｃ １ ２ Ｃ３１０ ＝ ２３ ． 　 　 解法二：记“一次取出的３个小球上的数字互不相同”为事 件Ａ，“一次取出的３个小球上的数字中有两个数字相同”为事 件Ｂ，事件Ａ和事件Ｂ是对立事件． 因为Ｐ（Ｂ）＝ Ｃ １ ５Ｃ ２ ２Ｃ １ ８ Ｃ３１０ ＝ １３ ， 所以Ｐ（Ａ）＝ １ － Ｐ（Ｂ）＝ １ － １３ ＝ ２ ３ ． （２）由题意，Ｘ所有可能的取值为２，３，４，５． Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ Ｃ ２ ２Ｃ １ ２ ＋ Ｃ １ ２Ｃ ２ ２ Ｃ３１０ ＝ １３０； Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝ Ｃ ２ ４Ｃ １ ２ ＋ Ｃ １ ４Ｃ ２ ２ Ｃ３１０ ＝ ２１５； Ｐ（Ｘ ＝ ４）＝ Ｃ ２ ６Ｃ １ ２ ＋ Ｃ １ ６Ｃ ２ ２ Ｃ３１０ ＝ ３１０； Ｐ（Ｘ ＝ ５）＝ Ｃ ２ ８Ｃ １ ２ ＋ Ｃ １ ８Ｃ ２ ２ Ｃ３１０ ＝ ８１５ ． 所以随机变量Ｘ的概率分布列为： Ｘ ２ ３ ４ ５ Ｐ １３０ ２ １５ ３ １０ ８ １５ 　 　 （３）记“一次取球得分介于２０分到４０分之间”为事件Ｃ，则 Ｐ（Ｃ）＝Ｐ（Ｘ ＝３或Ｘ ＝４）＝Ｐ（Ｘ ＝３）＋Ｐ（Ｘ ＝４）＝ ２１５ ＋ ３ １０ ＝ １３ ３０ ． 　 　 对点训练３：设挑选的２台电脑中Ａ品牌的台数为Ｘ，则Ｘ 的可能取值为０，１，２．根据古典概型的知识，可得Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ Ｃ０３Ｃ ２ ７ Ｃ２１０ ＝ ７１５，Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ Ｃ１３Ｃ １ ７ Ｃ２１０ ＝ ７１５，Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ Ｃ２３Ｃ ０ ７ Ｃ２１０ ＝ １１５ ． 用表格表示Ｘ的分布列，如下表所示． Ｘ ０ １ ２ Ｐ ７１５ ７ １５ １ １５ 　 　 例４：由分布列的性质知０． ２ ＋ ０． １ ＋ ０． １ ＋ ０． ３ ＋ ｍ ＝ １，解得 ｍ ＝ ０． ３． 由题意列表如下． Ｘ ０ １ ２ ３ ４ ２Ｘ ＋ １ １ ３ ５ ７ ９ ｜Ｘ － １ ｜ １ ０ １ ２ ３ Ｐ ０． ２ ０． １ ０． １ ０． ３ ０． ３ 　 　 （１）易得２Ｘ ＋ １的分布列为 ２Ｘ ＋ １ １ ３ ５ ７ ９ Ｐ ０． ２ ０． １ ０． １ ０． ３ ０． ３ 　 　 （２）易得｜Ｘ － １ ｜的分布列为 ｜Ｘ － １ ｜ ０ １ ２ ３ Ｐ ０． １ ０． ３ ０． ３ ０． ３ 　 　 对点训练４：由η１ ＝ － ξ ＋ １２ ，对于ξ ＝ － ２，－ １，０，１，２，３，得 η１ ＝ ５ ２ ， ３ ２ ， １ ２ ，－ １ ２ ，－ ３ ２ ，－ ５ ２ ，相应的概率值为 １ １２， １ ４ ， １ ３ ， １ １２， １ ６ ， １ １２ ． 故η１的分布列为 η１ ５ ２ ３ ２ １ ２ － １ ２ － ３ ２ － ５ ２ Ｐ １１２ １ ４ １ ３ １ １２ １ ６ １ １２ 　 　 由η２ ＝ ξ２ － ２ξ，对于ξ ＝ － ２，－ １，０，１，２，３，得η２ ＝ ８，３，０， － １，０，３．所以Ｐ（η２ ＝ ８）＝ １１２，Ｐ（η２ ＝ ３）＝ １ ４ ＋ １ １２ ＝ １ ３ ， Ｐ（η２ ＝ ０）＝ １３ ＋ １ ６ ＝ １ ２ ，Ｐ（η２ ＝ － １）＝ １ １２ ． 故η２的分布列为 η２ ８ ３ ０ － １ Ｐ １１２ １ ３ １ ２ １ １２ 　 　 例５：Ｘ的可能取值为０，１ ０００，３ ０００，６ ０００． ｛Ｘ ＝ ０｝表示“第一关就没有通过”； ｛Ｘ ＝ １ ０００｝表示“第一关通过，而第二关没有通过                                                                       ”； —１３８— ｛Ｘ ＝ ３ ０００｝表示“第一关通过、第二关通过而第三关没有通 过”； ｛Ｘ ＝ ６ ０００｝表示“三关都通过”． 课堂检测·固双基 １． Ｃ　 对于离散型随机变量分布列中的参数的确定，应根据随机 变量取所有值时的概率和等于１来确定，由１６ ＋ １ ３ ＋ １ ６ ＋ ｐ ＝ １得ｐ ＝ １３ ，选Ｃ． ２． Ｄ　 ∵ Ｐ（Ｘ ＝ ｎ）＝ ａｎ（ｎ ＋ １）（ｎ ＝ １，２，３，４）， ∴ ａ２ ＋ ａ ６ ＋ ａ １２ ＋ ａ ２０ ＝ １，∴ ａ ＝ ５ ４ ， ∵ Ｐ（１２ ＜ Ｘ ＜ ５ ２ ）＝ Ｐ（Ｘ ＝ １）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ ５ ４ × １ ２ ＋ ５ ４ × １ ６ ＝ ５６ ． ３． Ｄ　 ∵ ｃ ＝ ２ｂ － ａ ∴ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ ３ｂ ＝ １，∴ ｂ ＝ １３ ， ∴ Ｐ（｜Ｘ ｜ ＝ １）＝ Ｐ（Ｘ ＝ １）＋ Ｐ（Ｘ ＝ － １）＝ １ － Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ １ － １ ３ ＝ ２ ３ ，故选Ｄ． ４． Ｃ　 Ｐ（ｍ≤Ｘ≤ｎ）＝ Ｐ（Ｘ≤ｎ）－ Ｐ（Ｘ≤ｍ）＝ １ － ａ －［１ －（１ － ｂ）］＝ １ －（ａ ＋ ｂ）． ５．由题意得０． ２ ＋ ２ａ ＋ ａ ＋ ０． ２ ＝ １，解得ａ ＝ ０． ２， ０． ３ ＋ ０． ３ ＋ ２ｂ ＝ １，解得ｂ ＝ ０． ２， 所以ξ的分布列为 ξ １０ ９ ８ ７ Ｐ ０． ４ ０． ２ ０． ２ ０． ２ η的分布列为 η １０ ９ ８ ７ Ｐ ０． ３ ０． ３ ０． ２ ０． ２ ４． ２． ３　 二项分布与超几何分布 必备知识·探新知 　 　 知识点１　 相互独立 思考１：（１）每次试验的条件完全相同，相同事件的概率 不变； （２）各次试验结果互不影响； （３）每次试验结果只有两种，这两种结果是对立的． 　 　 知识点２　 Ｃｋｎｐｋｑｎ － ｋ 　 Ｘ ～ Ｂ（ｎ，ｐ） 知识点３　 （１）Ｃ ｋ ＭＣ ｎ － ｋ Ｎ －Ｍ ＣｎＮ 　 （３）Ｃ ｋ ＭＣ ｎ － ｋ Ｎ －Ｍ ＣｎＮ 　 ＣｓＭＣ ｎ － ｓ Ｎ －Ｍ ＣｎＮ 思考２：分子两个组合数的下标之和等于分母组合数的下 标，分子两个组合数的上标之和等于分母组合数的上标． 关键能力·攻重难 　 　 例１：记“打破１项世界纪录”为事件Ａ，则Ｐ（Ａ）＝ ０． ８，５个 项目需要该运动员参加５次比赛，５次比赛相当于５次独立重复 试验． （１）该运动员恰好打破３项世界纪录的概率为Ｃ３５ × ０． ８３ × ０． ２２ ＝ ０． ２０４ ８． （２）设该运动员打破世界纪录的项目数为ξ，则所求事件的 概率为Ｐ（ξ ＝ ３）＋ Ｐ（ξ ＝ ４）＋ Ｐ（ξ ＝ ５）＝ Ｃ３５ × ０． ８３ × ０． ２２ ＋ Ｃ４５ × ０． ８４ × ０． ２ ＋ Ｃ５５ × ０． ８ ５ ＝ ０． ９４２ ０８． （３）参加完第５项比赛时，恰好打破４项世界纪录，即第５ 项比赛打破世界纪录，前４项比赛中有３项打破世界纪录，因此 所求事件的概率为Ｃ３４ × ０． ８３ × ０． ２ × ０． ８ ＝ ０． ３２７ ６８． 　 　 对点训练１：（１）甲第一、二局获胜或第二、三局获胜或第 一、三局获胜，则Ｐ ＝ ( )２３ ２ ＋ Ｃ１２ × ２ ３ × １ ３ × ２ ３ ＝ ２０ ２７ ． （２）甲前三局获胜或甲第四局获胜，而前三局仅胜两局或 甲第五局获胜，而前四局仅胜两局，则 Ｐ ＝ ( )２３ ３ ＋ Ｃ２３ × ( )２３ ２ × １３ × ２ ３ ＋ Ｃ ２ ４ ( )２３ ２ × ( )１３ ２ × ２３ ＝ ６４８１ ． 　 　 例２：（１）ξ ～ Ｂ ５，( )１３ ，ξ的分布列为Ｐ（ξ ＝ ｋ）＝ Ｃｋ５ ( )１３ ｋ ( )２３ ５ － ｋ ，ｋ ＝ ０，１，２，３，４，５． 故ξ的分布列为 ξ ０ １ ２ ３ ４ ５ Ｐ ３２２４３ ８０ ２４３ ８０ ２４３ ４０ ２４３ １０ ２４３ １ ２４３ 　 　 （２）η的分布列为Ｐ（η ＝ ｋ）＝ ｐ（前ｋ个是绿灯，第ｋ ＋ １个 是红灯）＝ ( )２３ ｋ ·１３ ，ｋ ＝ ０，１，２，３，４； Ｐ（η ＝ ５）＝ ｐ（５个均为绿灯）＝ ( )２３ ５ ． 故η的分布列为 η ０ １ ２ ３ ４ ５ Ｐ １３ ２ ９ ４ ２７ ８ ８１ １６ ２４３ ３２ ２４３ 　 　 对点训练２：（１）设事件Ａ表示“甲选做１４题”，事件Ｂ表示 “乙选做１４题”，则甲、乙２名考生选做同一道题的事件为 “ＡＢ ＋ Ａ　Ｂ”且事件Ａ、Ｂ相互独立． 所以Ｐ（ＡＢ ＋ Ａ　Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＋ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ） ＝ １２ × １ ２ ＋ １ －( )１２ × １ －( )１２ ＝ １２ ． （２）随机变量ξ的可能取值为０，１，２，３，４，且ξ ～Ｂ ４，( )１２ ．所以 Ｐ（ξ ＝ ｋ）＝Ｃｋ４ ( )１２ ｋ １ －( )１２ ４ － ｋ ＝Ｃｋ４ ( )１２ ４ （ｋ ＝０，１，２，３，４）． 所以随机变量ξ的分布列为 ξ ０ １ ２ ３ ４ Ｐ １１６ １ ４ ３ ８ １ ４ １ １６ 　 　 例３：由题意知，ξ的可能取值为０，１，２，３，且 Ｐ（ξ ＝ ０）＝ Ｃ０３ １ －( )２３ ３ ＝ １２７， Ｐ（ξ ＝ １）＝ Ｃ１３ ２３ １ －( )２３ ２ ＝ ２９ ， Ｐ（ξ ＝ ２）＝ Ｃ２３ ( )２３ ２ １ －( )２３ ＝ ４９ ， Ｐ（ξ ＝ ３）＝ Ｃ３３ ( )２３ ３ ＝ ８２７ ． 所以ξ的分布列为 ξ ０ １ ２ ３ Ｐ １２７ ２ ９ ４ ９ ８                                                                      ２７ —１３９—