4.1.2 第2课时 乘法公式与全概率公式的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式的应用，衔接前期条件概率基础，通过复杂事件概率计算、实际情境问题解决等例题与训练，构建从公式理解到实际应用的学习支架。 以习题讲评式教学为特色，结合取球、上班通勤等实例，引导学生用数学眼光观察现实问题中的数量关系，通过思维建模培养逻辑推理的数学思维，课中助力教师高效授课，课后训练帮助学生巩固应用，提升用数学语言解决实际问题的能力。

第2课时　乘法公式与全概率公式的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 　[课时目标 进一步学习乘法公式与全概率公式、贝叶斯公式,会利用条件概率、乘法公式和全概率公式、贝叶斯公式解决一些简单的实际问题. 题型(一)　复杂事件的乘法公式 [例1]　已知1号箱中有2个白球和4个红球,2号箱中有5个白球和3个红球,现随机从1号箱中取出一球放入2号箱,然后从2号箱中随机取出一球,则从2号箱中取出红球的概率是 (　　) A. B. C. D. 解析:选A　记事件A为“从2号箱中取出的是红球”,事件B为“从1号箱中取出的是红球”,则根据古典概型的概率计算公式和对立事件的概率和为1可知,P(B)==,P()=1-=.根据条件概率公式可知,P(A|B)==,P(A|)===,所以P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)P(B)+P(A|)P()=×+×=. |思|维|建|模| 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P((B∪C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)便可求得较复杂事件的概率. 　　[针对训练] 1.已知猎手在距猎物10米处开枪,击中的概率为0.6,若击不中,待开第二枪时猎物已逃至30米远,此时击中的概率为0.25,则猎物两枪内被击中的概率为 (　　) A.0.7 B.0.8 C.0.6 D.0.9 解析:选A　以Ai表示第i枪击中猎物(i=1,2),则P(A1)=0.6,P()=0.4,P(A2|)=0.25,故所求概率为P(A1)+P(A2)=P(A1)+P()P(A2|)=0.6+0.4×0.25=0.7. 题型(二)　全概率公式的实际应用 [例2]　为践行“保护环境,绿色出行”的环保理念, 李先生每天从骑自行车、坐公交车两种方式中随机选择一种去上班.已知他选择骑自行车的概率为0.6,且骑自行车准时到达单位的概率为0.95,若李先生准时到达单位的概率为0.93,则他坐公交车准时到达单位的概率为 (　　) A.0.6 B.0.7 C.0.8 D.0.9 解析:选D　设A1=“李先生骑自行车上班”,A2=“李先生坐公交车上班”,B=“李先生准时到达单位”,根据题意得,P(A1)=0.6,P(A2)=1-0.6=0.4,P(B|A1)=0.95.设P(B|A2)=m,则P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.6×0.95+0.4m=0.93,解得m=0.9.故选D. |思|维|建|模| 当事件A发生的概率不易直接求出时，可以采用化整为零的方式，即把事件A分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率. 　　[针对训练] 2.小李经常参加健身运动,他周一去健身的概率为,周二去健身的概率为,且小李周一不去健身的条件下周二去的概率是周一去健身的条件下周二去的概率的2倍,则小李周一、周二都去健身的概率为　　　　.  解析:设“小李周一去健身”为事件A,“小李周二去健身”为事件B,则“小李周一、周二都去健身”为事件AB,由题意可知P(A)=,P(B)=,且P(B|)=2P(B|A),由全概率公式可知P(B)=P(B|)P()+P(B|A)P(A),即=P(B|A)+P(B|A),解得P(B|A)=,所以P(AB)=P(B|A)P(A)=×=. 答案: 3.设甲袋中有4个白球和4个红球,乙袋中有1个白球和2个红球(每个球除颜色以外均相同). (1)从甲袋中取4个球,求这4个球中恰好有3个红球的概率; (2)先从乙袋中取2个球放入甲袋,再从甲袋中取2个球,求从甲袋中取出的是2个红球的概率. 解:(1)依题意知,从甲袋8个球中取4个球有种取法,其中4个球中恰好有3个红球, 即恰好有3个红球、1个白球,有种取法, 所以4个球中恰好有3个红球的概率 P==. (2)记A1为“从乙袋中取出1个红球、1个白球”,A2为“从乙袋中取出2个红球”,B为“从甲袋中取出2个红球”, 则P(A1)==,P(A2)==, P(B|A1)==, P(B|A2)==, 所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=×+×=. 题型(三)　*贝叶斯公式的实际应用 [例3]　玻璃杯整箱出售,共3箱,每箱20只.假设各箱含有0,1,2只残次品的概率对应为0.8,0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯,在购买时,售货员随机取一箱,而顾客随机查看4只玻璃杯,若无残次品,则买下该箱玻璃杯;否则不买.设事件A表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”,事件Bi表示“箱中恰好有i(i=0,1,2)只残次品”,求: (1)顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率P(A); (2)在顾客买下的一箱中,没有残次品的概率P(B0|A). 解:(1)由题设可知,P(B0)=0.8,P(B1)=0.1,P(B2)=0.1,且P(A|B0)=1,P(A|B1)==,P(A|B2)==, 所以P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=0.8×1+0.1×+0.1×=. 即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为. (2)因为P(B0|A)===,所以在顾客买下的一箱中,没有残次品的概率是. |思|维|建|模| 如果随机试验可以看成两个阶段进行，且第一阶段的各试验具体结果怎样未知，那么：(1)若要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；(2)若第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，则一般用贝叶斯公式.要熟记这个特征. 　　[针对训练] 4.(2025·郑州调研)[多选]有3台车床加工同一型号的零件.第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起,已知第1,2,3台车床的零件数分别占总数的25%,30%,45%,则下列选项正确的有 (　　) A.任取一个零件是第1台车床加工出来的次品概率为0.015 B.任取一个零件是次品的概率为0.052 5 C.如果取到的零件是次品,则是第2台车床加工的概率为 D.如果取到的零件是次品,则是第3台车床加工的概率为 解析:选ABC　对于A,由题意任取一个零件是第1台车床加工出来的次品概率为6%×25%=1.5%,正确;对于B,由题设,任取一个零件是次品的概率为6%×25%+5%×30%+5%×45%=5.25%,正确;对于C,由条件概率,取到的零件是次品,则是第2台车床加工的概率为=,正确;对于D,由条件概率,取到的零件是次品,则是第3台车床加工的概率为=,错误. 学科网（北京）股份有限公司 $