3.1.2 第1课时 排列与排列数-【金版教程】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册创新导学案word（人教B版）

该高中数学导学案聚焦排列与排列数概念及公式，通过实例辨析（如从5人中选2人是否为排列问题）导入，衔接计数原理，为解决实际问题搭建知识支架。 资料以概念辨析（点拨排列与排列数区别）、例题分层（判断、列举、运算）及树形图直观方法为主，习题分层设计，助力学生理解抽象概念，提升逻辑推理与符号表达能力，培养数学思维。

数学　选择性必修 第二册 RJ 3.1.2　排列与排列数 第1课时　排列与排列数 (教师独具内容) 课程标准：1.通过实例，理解排列的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式． 教学重点：理解排列的概念及排列数公式． 教学难点：利用排列数公式解决一些简单的实际问题． 核心素养：通过排列、全排列、排列数等概念的学习提升数学抽象素养． 知识点一　排列的定义 一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同对象中取出m个对象的一个排列．特别地，m＝n时的排列(即取出所有对象的排列)称为全排列． [点拨]　排列的定义包括两个基本内容：一是“取出对象”；二是“按照一定的顺序排成一列”． [提醒]　所研究的n个对象是互不相同的，取出的m个对象也是不同的． 知识点二　排列数的定义 从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，称为从n个不同对象中取出m个对象的排列数，用符号A表示． [提醒]　“排列”与“排列数”不是同一个概念，排列是从n个不同对象中任取m个对象，按照一定的顺序排成一列，它不是一个数；排列数是指从n个不同对象中取出m个对象的所有排列的个数，它是一个数． 知识点三　排列数公式 (1)乘积形式：A＝＝n(n－1)…(n－m＋1)(n和m都是正整数，且m≤n)． (2)阶乘形式：A＝(n和m都是正整数，且m≤n)． (3)A＝n！． (4)规定：0！＝1，A＝1． 1．(排列的有关概念)从5个人中选取甲、乙2个人去完成某项工作，这________(填“是”或“不是”)排列问题． 答案：不是 2．(排列的列举问题)从1，2，3中任取两个数字可组成的不同的两位数有________个． 答案：6 3．(与排列数有关的运算)89×90×91×…×100可表示为A，则n＝________． 答案：12 题型一　排列的有关概念 例1　判断下列问题是否是排列问题： (1)从1，2，3，4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？ (2)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得到多少个不同的点的坐标？ (3)从10名同学中任抽2名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？ (4)有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙两个盒子里，有多少种不同的放法？ [解]　(1)不是．加法运算满足交换律，所以选出的两个数做加法时，与两个数的位置无关，所以这不是排列问题． (2)是．因为取出的两个数组成的点的坐标与哪一个数作横坐标，哪一个数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题． (3)不是．因为从10名同学中抽取2名同学去学校开座谈会不需要考虑两个人的顺序，所以这不是排列问题． (4)是．任取两个球分别放入甲、乙两个盒子里，这是有顺序的，所以这是排列问题． 【感悟提升】　判断一个具体问题是否为排列问题的方法 【跟踪训练】　 1．判断下列问题是否为排列问题： (1)会场有50个座位，要求选出3个座位，有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？ (2)从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程＋＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程－＝1? (3)从1，3，5，7，9中任取3个数字，有多少种方法？若这3个数字组成没有重复的三位数，又有多少种方法？ 解：(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题． (2)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程＋＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a>b，a，b的大小关系一定；在双曲线－＝1中，不管a>b还是a<b，方程－＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题． (3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从5个数字中取3个数字，与顺序无关；若这3个数字组成不同的三位数，则与顺序有关． 题型二　排列的列举问题 例2　(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？ [解]　列出每一个起点和终点的情况，如图所示． 故符合题意的机票有： 北京→广州，北京→南京，北京→天津，广州→南京，广州→天津，广州→北京，南京→天津，南京→北京，南京→广州，天津→北京，天津→广州，天津→南京，共12种． (2)两名老师M，N和两名学生A，B排成一排合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？ [解]　由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．此问题可分两类： 由此可知，所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种． 【感悟提升】　求解简单排列问题的策略 对于简单的排列问题，树形图是常见的解题方法．它能很好地确定排列中各对象的先后顺序，利用树形图可具体地列出各种情况，避免排列的重复和遗漏． 【跟踪训练】　 2．从0，1，2，3这四个数字中，每次取出三个不同数字排成一个三位数． (1)能组成多少个不同的三位数？并写出这些三位数； (2)若组成的这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个？并写出这些三位数． 解：(1)组成三位数分三个步骤： 第一步，选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法； 第二步，选十位上的数字，有3种不同的排法； 第三步，选个位上的数字，有2种不同的排法． 由分步乘法计数原理得，能组成3×3×2＝18个不同的三位数． 画出树形图如图： 由树形图知，所有的三位数为102，103，120，123，130，132，201，203，210，213，230，231，301，302，310，312，320，321. (2)直接画出树形图如图： 由树形图知，符合条件的三位数有8个，分别为201，210，230，231，301，302，310，312. 题型三　与排列数有关的运算 例3　(1)(x－2)(x－3)(x－4)…(x－15)(x∈N＋，x>15)可表示为(　　) A．A B．A C．A D．A [解析]　由题意x∈N＋，x>15.其中最大的数(x－2)为n，则m＝(x－2)－(x－15)＋1＝14，所以(x－2)(x－3)(x－4)…(x－15)＝A. [答案]　B (2)计算：. [解]　原式＝＝＝. (3)解方程3A＝4A. [解]　由3A＝4A， 得＝， 化简，得x2－19x＋78＝0， 解得x1＝6，x2＝13. 又x≤8，且x－1≤9， 所以原方程的解是x＝6. (4)解不等式A>6A，其中x≥3，x∈N＋. [解]　由原不等式，得>，其中3≤x≤9，x∈N＋，即(11－x)(10－x)>6， 整理，得x2－21x＋104>0， 解得x<8或x>13. 又3≤x≤9，x∈N＋， 所以x＝3，4，5，6，7. 故原不等式的解集为{3，4，5，6，7}． (5)求证：A－A＝n2A. [证明]　∵A－A＝n(n＋1)A－nA＝(n2＋n－n)A＝n2A， ∴A－A＝n2A. 【感悟提升】　与排列数有关运算的解题策略 (1)将连续正整数的乘积转化为排列数时，关键是搞清楚其中的最大因数以及因数的个数． (2)求解与排列数有关的方程或不等式时，通常是利用阶乘形式的排列数公式，将方程或不等式通过通分、约分等化简为普通方程或不等式，然后进行求解． (3)必须注意排列数A中m∈N，n∈N＋，且m≤n这些限制条件． (4)在解出方程或不等式后，要进行检验，把不符合题意的解舍掉． 【跟踪训练】　 3．(1)设a∈N＋，且a<27，则(27－a)(28－a)·…·(34－a)＝(　　) A．A B．A C．A D．A 答案：D 解析：27－a，28－a，…，34－a中最大的数为34－a，一共有34－a－(27－a)＋1＝8个因式，所以(27－a)(28－a)…(34－a)＝A. (2)若A＝2A，则m的值为(　　) A．5 B．3 C．6 D．7 答案：A 解析：若A＝2A，则m(m－1)(m－2)(m－3)·(m－4)＝2×m(m－1)(m－2)，即(m－3)(m－4)＝2，由m≥5可得m＝5. (3)计算：＝________． 答案：5 解析：解法一：＝＝5. 解法二：＝＝5. (4)不等式A－n<7的解集为________． 答案：{3，4} 解析：由A－n<7，得(n－1)(n－2)－n<7，整理，得n2－4n－5<0，解得－1<n<5.又n－1≥2且n∈N＋，所以3≤n<5且n∈N＋，所以n＝3或n＝4. (5)求证：A＝A·A. 证明：A·A＝·(n－m)！＝n！＝A，等式得证． 1.(多选)下列问题不是排列问题的是(　　) A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？ B．10个人互相发微信一次，共发了多少条微信？ C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点共可确定多少条直线？ D．从1，2，3，4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？ 答案：ACD 解析：排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序有关的，其他问题都与顺序无关．故选ACD. 2．计算＝(　　) A．12 B．24 C．30 D．36 答案：D 解析：因为A＝7×6×A，A＝6×A，所以原式＝＝36. 3．某段铁路所有车站共发行132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是(　　) A．8 B．12 C．16 D．24 答案：B 解析：设车站数为n，则A＝132，即n(n－1)＝132，所以n＝12. 4．若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种． 答案：23 解析：因为“word”有四个不同的字母，所以可能出现的错误的种数为A－1＝23. 5．将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，则所有可能的排法共有________种． 答案：9 解析：画出树形图如图： 由树形图知，所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共有9种排法． 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 对点 排列的概念 树形图解决与数字有关的排列问题 利用排列数公式计算 与数字有关的排列问题 利用排列数公式化简 树形图解决与数字有关的排列问题 利用排列数公式解方程 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 与数字、对数计算有关的排列问题 排列的概念 利用排列数公式求值、解方程、化简 与数字有关的排列问题 与数字有关的排列问题 排列数公式的应用 利用排列数公式解不等式、证明等式 一、选择题 1．下列问题属于排列问题的是(　　) ①从10人中选2人分别去种树和扫地； ②从10人中选2人去扫地； ③从班上30名同学中选出3名同学分别参加数学、物理、化学竞赛； ④从数字5，6，7，8中任取两个不同的数字作幂运算． A．①④ B．①② C．③④ D．①③④ 答案：D 解析：排列问题是与顺序有关的问题，由排列的定义易知①③④是排列问题，②不是排列问题．故选D. 2．由1，2，3，4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数有(　　) A．9个 B．12个 C．15个 D．18个 答案：B 解析：本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为 由此可知，这样的四位数共有12个． 3．若S＝A＋A＋A＋A＋…＋A，则S的个位数字是(　　) A．8 B．5 C．3 D．0 答案：C 解析：因为A＝1，A＝2，A＝6，A＝24，A＝120，所以当n≥5时，A的个位数字是0，故S的个位数字取决于前四个排列数．又A＋A＋A＋A＝33，所以S的个位数字是3. 4．从0～9这10个数字中任意取出3个数字，组成一个没有重复数字的三位数，则满足条件的三位数的个数是(　　) A．648 B．720 C．504 D．1000 答案：A 解析：因为0不能作首位，所以用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为A－A＝648.故选A. 5．(多选)下列各式中与排列数A相等的是(　　) A. B．n(n－1)(n－2)…(n－m) C. D．AA 答案：CD 解析：∵A＝，A显然不满足题意；∵n(n－1)(n－2)…(n－m)＝＝A，∴A≠n(n－1)(n－2)…(n－m)，故B不满足题意；∵＝·＝，∴A＝，故C满足题意；∵AA＝＝＝，∴A＝AA，故D满足题意．故选CD. 二、填空题 6．在1，2，3，4的排列a1a2a3a4中，满足a1>a2，a3>a2，a3>a4的排列个数是________． 答案：5 解析：首先注意a1位置的数比a2位置的数大，可以借助树形图进行筛选．满足a1>a2的树形图如下： 从而得出满足题意的排列有2143，3142，3241，4132，4231，共5个． 7．若A＝2A，则x＝________． 答案：3 解析：因为A＝2A，所以＝2·，且1≤x≤5，x∈N＋，所以(7－x)(6－x)＝12，解得x＝3或x＝10(舍去)，所以x＝3. 8．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是________． 答案：18 解析：由于lg a－lg b＝lg (a>0，b>0)，从1，3，5，7，9中任取两个不同的数作有A种情况，又与相同，与相同，故lg a－lg b的不同值的个数是A－2＝20－2＝18. 三、解答题 9．下列问题是不是排列问题： (1)同宿舍4人，每两人互通一封信； (2)同宿舍4人，每两人通一次电话； (3)高二(1)班有4个空位，安排从外校转来的3名学生坐到这4个空位中的3个上； (4)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员． 解：(1)是排列问题，相当于从4人中任取2人，并且按顺序排好． (2)不是排列问题，“通电话”不讲顺序，甲与乙通了电话，也就是乙与甲通了电话． (3)是排列问题，从4个空位中选出3个，分别安排给3名学生，与顺序有关． (4)是排列问题，每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，与顺序有关． 10．(1)求值：A－6A－6A； (2)解方程：A＝140A； (3)求值：； (4)化简：1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n！； (5)化简：＋＋＋…＋. 解：(1)原式＝7A－6A－A＝0. (2)根据原方程，x应满足 解得x≥3，x∈N＋. 根据排列数公式，原方程可化为(2x＋1)2x·(2x－1)(2x－2)＝140x(x－1)(x－2)． 又x≥3，两边同时除以4x(x－1)， 得(2x＋1)(2x－1)＝35(x－2)， 即4x2－35x＋69＝0， 解得x＝3或x＝(舍去)． 故原方程的解为x＝3. (3)原式＝·(n－m)！·＝·(n－m)！·＝1. (4)原式＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]＝(n＋1)！－1. (5)∵＝－， ∴＋＋＋…＋ ＝＋＋＋…＋＝1－. 11．用1，2，3，…，9这九个数字组成的无重复数字的四位奇数中，各位数字之和为偶数的共有(　　) A．120个 B．600个 C．720个 D．840个 答案：D 解析：当四位数各位数字均为奇数时，有A＝120个；当四位数各位数字中有两个奇数和两个偶数时，有3AA＝720个．所以各位数字之和为偶数的四位奇数共有120＋720＝840个．故选D. 12．一个数阵有m行7列，第一行中的7个数互不相同，其余行都由这7个数以不同的顺序组成．如果要使任意两行的顺序都不相同，那么m的最大值为________． 答案：5040 解析：由于7个数互不相同，故将这7个数全排列共有A＝5040种排序方法，而一个数阵有m行7列，要使任意两行的顺序都不相同，则m的最大值为5040. 13．一条铁路有n个车站，为适应客运需要，新增了m个车站，且知m>1，客运车票增加了62种，问原有多少个车站？现在有多少个车站？ 解：由题意可知，原有车票的种数是A，现有车票的种数是A，∴A－A＝62， 即(n＋m)(n＋m－1)－n(n－1)＝62， ∴m(2n＋m－1)＝62＝2×31. ∵m<2n＋m－1，且n≥2，m>1，m，n∈N＋， ∴解得 故原有15个车站，现在有17个车站． 14．(1)解不等式：A<6A； (2)求证：A＋mA＋m(m－1)A＝A(n，m∈N＋，n≥m>2)． 解：(1)由A<6A， 得<6·，2≤x≤8，x∈N， 化简，得x2－19x＋84<0，解得7<x<12. 所以x＝8. (2)证明：因为左边＝＋m·＋m(m－1)· ＝ ＝ ＝＝ ＝A＝右边， 所以等式成立． 13 学科网（北京）股份有限公司 $