精品解析：浙江省缙云中学等校2025-2026学年高二下学期3月阶段练习数学试题

高二年级数学学科练习 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知双曲线：，其一条渐近线被圆截得的弦长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 5. 6名同学排成一排，其中甲､乙两人必须在一起的不同排法共有（ ） A. 720 B. 360 C. 240 D. 120 6. 已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 13 7. 已知函数在处取得极大值，则的值是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 8. 已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则数列严格增 B. 若，则数列严格增 C. 若数列严格增，则 D. 若数列严格增，则 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为3或2 B. 若数据，，，…，的标准差为，则，，，…，的标准差为 C. 二项式的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等 D. 若5名教师分到4所学校任教，每所学校至少分配1名教师，则分配方法有480种 10. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 当时，在上是增函数 C. 当时，在上的最大值是1 D. 当时，点是曲线的对称中心 11. 已知抛物线：的焦点为，的准线与轴交于点，过的一条直线与交于，两点，过，作的垂线，垂足分别为，，则（ ） A. 准线的方程为 B. C. 直线与的斜率之和为0 D. 与的面积相等 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式展开式中常数项为______． 13. 若，，，则______. 14. 已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列和等比数列满足，. （1）求数列，通项公式 （2）设数列中满足，求和 16. 如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 17. 年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过元（含元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸到个红球，享受免单优惠；若摸出个红球则打折，若摸出个红球，则打折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，有放回每次摸取球，连摸次，每摸到次红球，立减元. （1）若两个顾客均分别消费了元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 18. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求实数m的取值范围； （3）若是函数的极值点，求证：． 19. 已知椭圆的离心率为分别是椭圆的右顶点，上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点不在轴上，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级数学学科练习 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据倾斜角与斜率的关系即可求解． 【详解】设直线的倾斜角为， 由题可知，直线斜率为，则， 又， 所以直线的倾斜角是． 2. 已知为空间的一组基底，则下列向量也能作为空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】理解空间的基底是由不共面的三个向量构成，逐一判断选项即得. 【详解】对于A，因，即共面，故A不合题意； 对于B,因，，其中任何一个向量都不能用另外两个向量表示，故，，不共面，即B符合题意； 对于C，因，即，，共面，故C不合题意； 对于D，因，即，，共面，故D不合题意. 故选：B. 3. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由正态分布密度曲线的对称性，代入计算，即可得到结果. 【详解】根据题意可得，， 则. 故选:D 4. 已知双曲线：，其一条渐近线被圆截得的弦长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求双曲线的渐近线，再应用点到直线距离结合圆求弦长即可. 【详解】双曲线：的渐近线方程为， 圆，圆心，半径， 因为双曲线与圆都关于轴对称， 故取其中一条渐近线， 圆心到的距离， 故所求的弦长为. 5. 6名同学排成一排，其中甲､乙两人必须在一起的不同排法共有（ ） A. 720 B. 360 C. 240 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】先将甲乙捆绑在一起，然后将其看成一个元素与其余4人一起进行全排列可得. 【详解】先将甲､乙两人排成一排共种排法，将甲､乙两人看成一个元素，然后与其余4人一起排成一排，共有种，所以甲､乙两人在一起的不同排法共有种排法. 故选：C 6. 已知圆：，直线：，设为圆上的一动点，则点到直线的最大距离为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】先求得圆心到直线的最大距离，再根据圆周上的点到直线距离的最大值为即可求解． 【详解】由题意得圆心，半径为3， 因为直线：，所以直线过定点， 数形结合可知，圆心到直线的最大距离， 所以点到直线的最大距离为． 7. 已知函数在处取得极大值，则的值是（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】由求出的值并检验的极值点即可. 【详解】函数，有， 在处取得极大值，则有，解得或， 当时，， ，解得或；，解得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，不合题意； 当时，， ，解得或；，解得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，满足题意，所以. 8. 已知等比数列的前项和为，前项积为，则下列选项中正确的是（ ） A. 若，则数列严格增 B. 若，则数列严格增 C. 若数列严格增，则 D. 若数列严格增，则 【答案】D 【解析】 【分析】A项、B项、C项可通过举反例判断，由数列是单调递增可证得，，进而可判断D项. 【详解】设等比数列,, 对于A，由，得，则，即， 所以当时，满足，但不是单调递增，故A错误； 对于B，由，得，则， 所以当时，满足，满足，但不是单调递增，故B错误； 对于C，当时，由，，此时满足数列单调递增,但， 故C错误； 对于D，由数列是单调递增，则，所以,故， 即，所以，且， 又因为所以即，故D正确. 故选:D 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值为3或2 B. 若数据，，，…，的标准差为，则，，，…，的标准差为 C. 二项式的展开式中第二项与第四项的二项式系数相等 D. 若5名教师分到4所学校任教，每所学校至少分配1名教师，则分配方法有480种 【答案】AB 【解析】 【分析】根据组合数性质解方程判断A；根据数据方差的计算性质，以及标准差的概念判断B；根据二项式定理写出展开式，利用二项式系数的定义判断C；按照先分组再分配的方法，结合排列组合公式，即可求解判断D. 【详解】对于A，由组合数的性质可得，解得， 又，所以或，解得或，正确； 对于B，设数据的平均数为， 则数据的平均数为， 由数据的标准差， 则数据的标准差为，正确； 对于C，由二项式的展开式为， 则第二项的二项式系数为，第四项的二项式系数为，错误； 对于D，由题意可知，5位教师的分组情况为2,1,1,1的分组，再分配到4所学校， 所以分配方案有，错误. 10. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ） A. 有两个极值点 B. 当时，在上是增函数 C. 当时，在上的最大值是1 D. 当时，点是曲线的对称中心 【答案】BCD 【解析】 【分析】求函数的导函数，根据极值点的定义判断A，结合导数判断函数的单调性求最值，判断B，C，结合奇函数的定义判断D. 【详解】因为， 所以， 当时，，当且仅当时， 函数在上单调递增， 函数没有极大值点也没有极小值点，A错误； 当时，， 当时，，函数在上单调递增，B正确； 当时，， 令可得，或， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 又， 所以函数在上的最大值为1，C正确； 当时，， ， 设， 则，， 所以函数为奇函数， 所以函数的图象关于原点对称， 所以函数关于点对称，D正确. 故选：BCD. 11. 已知抛物线：的焦点为，的准线与轴交于点，过的一条直线与交于，两点，过，作的垂线，垂足分别为，，则（ ） A. 准线的方程为 B. C. 直线与的斜率之和为0 D. 与的面积相等 【答案】ACD 【解析】 【详解】解：选项A，由抛物线的定义知，，选项A正确； 选项B，因为轴，所以， 若，则， 即，显然该等式不一定成立，故选项B错误； 选项C，设，，且， 由题意知，直线的斜率一定存在，且不为0， 设其方程为，联立，消去得，， 因为直线与抛物线有两个交点，所以， 即：，得：或，当时， ， 所以，且， 由韦达定理知：，，所以 ，故选项C正确； 选项D，的面积 ， 的面积， 所以与的面积相等，故选项D正确. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 二项式展开式中常数项为______． 【答案】45 【解析】 【分析】求得二项展开式的通项，令，即可求解展开式的常数项，得到答案. 【详解】由题意，二项式的展开式的通项为， 令，得， 可得，即展开式的常数项是. 故答案为：. 13. 若，，，则______. 【答案】 【解析】 【详解】因为，则 又因为，则 所以 14. 已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】设双曲线上的点，可得，利用点到直线的距离公式可求得，由恒成立可得，从而可求得离心率的取值范围. 【详解】双曲线：（，）的两条渐近线的方程为和， 点到两条渐近线的距离之积为， 而恒成立，又因为的最小值为， 故只需，又点满足双曲线的方程， ，，即， 则的离心率，. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列和等比数列满足，. （1）求数列，通项公式 （2）设数列中满足，求和 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件利用等差等比数列的通项公式列方程可得公差，公比，进而可得通项公式； （2）由（1）得数列的通项公式，然后利用分组分解法可求和. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 则，解得， ， ，解得， ， 即，； 【小问2详解】 由（1）得， . 16. 如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面. （2）利用向量法求得平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【小问1详解】 过作于点，则，， 由于平面，平面，所以， 以为原点，所在的直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 因为为的中点，所以， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则， 所以平面的法向量为， 因为，所以， 又因为平面，所以平面 【小问2详解】 由（1）知，，平面的法向量为， 设平面的法向量为，则， 故可设， 所以， 故平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 17. 年春节期间，某服装超市举办了一次有奖促销活动，消费每超过元（含元），均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，一次性摸出个球，其中奖规则为：若摸到个红球，享受免单优惠；若摸出个红球则打折，若摸出个红球，则打折；若没摸出红球，则不打折.方案二：从装有个形状、大小完全相同的小球（其中红球个，黑球个）的抽奖盒中，有放回每次摸取球，连摸次，每摸到次红球，立减元. （1）若两个顾客均分别消费了元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率； （2）若某顾客消费恰好满元，试从概率的角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？ 【答案】（1）；（2）选择第一种抽奖方案更合算. 【解析】 【分析】（1）选择方案一，利用积事件的概率公式计算出两位顾客均享受到免单的概率； （2）选择方案一，计算所付款金额的分布列和数学期望值，选择方案二，计算所付款金额的数学期望值，比较得出结论. 【详解】（1）选择方案一若享受到免单优惠，则需要摸出三个红球， 设顾客享受到免单优惠为事件，则， 所以两位顾客均享受到免单的概率为； （2）若选择方案一，设付款金额为元，则可能的取值为、、、. ，， ，. 故的分布列为， 所以（元）. 若选择方案二，设摸到红球的个数为，付款金额为，则， 由已知可得，故， 所以（元）. 因为，所以该顾客选择第一种抽奖方案更合算. 【点睛】本题考查独立事件的概率乘法公式，以及离散型随机变量分布列与数学期望，同时也考查了二项分布的数学期望与数学期望的性质，解题时要明确随机变量所满足的分布列类型，考查计算能力，属于中等题. 18. 已知函数． （1）求在处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求实数m的取值范围； （3）若是函数的极值点，求证：． 【答案】（1）； （2）； （3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线方程. （2）由参数分离整理不等式，并构造函数，利用导数求得新函数的最值，可得答案； （3）根据极值点与导数的关系，可得极值点的取值范围以及等量关系，整理所证的不等式，可得答案. 【小问1详解】 函数，求导得，则，而， 所以函数的图象在处的切线方程为. 【小问2详解】 不等式， 令，依题意，对任意的恒成立， 而，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以实数m的取值范围是. 【小问3详解】 依题意，，求导得，令， 求导得在上恒成立， 则函数在上单调递增，由是函数的极值点， 得，即，由，则， 所以. 19. 已知椭圆的离心率为分别是椭圆的右顶点，上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）过点的直线与椭圆交于两点，其中点在第一象限，点不在轴上，设直线的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）设直线与轴交于点，求的面积的最大值. 【答案】（1） （2） （i）设直线的方程为，其中，且， 联立方程组， 整理得， 所以. 所以 ， 故为定值. （ii）. 【解析】 【分析】（1）由椭圆离心率和得出椭圆方程； （2）（i）先设直线的方程，并与椭圆方程联立得到关于的不等式，再由韦达定理得出结论；（ii）先由直线与的斜率关系得到的面积等于2倍的的面积，故问题转化为求面积的最大值；因为，由三角形面积公式，只需求出点到直线的距离的最大值即可；当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值，由与椭圆相切求出直线的方程，再由两平行线间距离公式得出的最大值，最后得出结论. 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为， 所以，即； 因为， 又， 解得， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 （i）略. （ii）直线的方程为，令，得，故， 设直线与轴交于点，直线的方程为， 令，得，故； 由（i）可知，故，所以点是线段的中点， 故的面积，其中为点到直线的距离. 显然，当过点且与直线平行的直线与椭圆相切时，取最大值. 设直线的方程为，即， 联立， 整理得，由，解得. 所以平行直线与之间的距离为， 即的最大值为， 此时的面积为， 所以的面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $