函数与导数：讨论零点个数问题、已知零点个数求参数范围问题复习讲义-2026届高三数学二轮复习讲义

函数与导数：讨论零点个数问题、已知零点个数求参数范围问题复习讲义 函数与导数：讨论零点个数问题、已知零点个数求参数范围问题复习讲义 考点目录 讨论零点个数问题 已知零点个数求参数范围问题 知识点解析 核心原理均依托函数零点存在定理（连续函数，区间内有零点）+函数单调性/图像特征，将零点问题转化为函数图像与x轴交点问题，数形结合求解。 考点一 讨论零点个数问题 解题思路（四步法） 1. 求定义域：确定函数的取值范围，划定分析区间； 1. 研单调性/极值：求导，找驻点、判断单调区间，求极值/最值/端点极限； 1. 画简图：根据单调性、极值、端点趋势（如时的变化），画出函数草图； 1. 定交点数：看草图与x轴的交点个数，即为零点个数（注意：单调函数最多1个零点，极值点处函数值符号决定零点个数）。 关键：极值点的函数值符号是判断零点个数的核心，结合端点趋势无遗漏。 考点二 已知零点个数求参数范围问题 解题思路（三步核心法，含2大常用方法） 通用前提：分离参数/构造函数 将含参函数转化为无参函数与常函数交点问题（核心转化思路），分2种方法： 方法1：分离参数法（优先用，计算简洁） 1. 分离参数：将方程变形为（确保分离后等价，无漏解/增解）； 1. 研：求的单调性、极值、最值、值域、端点趋势，画草图； 1. 定参数范围：根据零点个数（即与的交点个数），结合图像找的取值范围。 方法2：含参讨论法（分离困难时用，如含参在分母/根号内） 1. 求导分析：对求导，根据参数的不同范围，讨论的符号，确定的单调区间、极值； 1. 分析零点条件：结合零点个数，列极值点函数值、端点值的符号不等式/等式； 1. 解不等式：求解关于的不等式，得到参数范围（注意分类讨论的标准，不重不漏）。 关键：分离参数法需保证“等价分离”；含参讨论法需选准分类标准（如导函数的驻点是否在定义域内）。 通用提醒 1. 定义域优先，所有分析均在定义域内进行，避免忽略端点导致范围错误； 1. 数形结合是核心，草图无需精确，关键抓住单调性、极值点、端点趋势三个要素； 1. 注意“零点存在定理”的补充：时，区间内可能有0个/多个零点，需结合单调性判断。 考点一 讨论零点个数问题 【例题分析】 例1．（2026·江苏·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 【答案】(1)； (2)当时，的零点个数为0；当时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2； (3)证明见解析 【详解】（1）当时，． 所以曲线在处的切线方程为，即． 曲线在处的切线方程为. （2）因为，令，得，即. 令，所以的零点个数等价于与的图象交点的个数. 又因为，当时，；当时，. 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 且，有极大值也是最大值，如图： 由图可知，当时，函数与的图象无交点； 当时，函数与的图象有1个交点； 当时，函数与的图象有2个交点. 综上，时，的零点个数为0；时，的零点个数为1； 时，的零点个数为2. （3）①当时，， 令， 因为，所以，而，即，， 所以在区间上单调递增，所以，即， 所以在区间上单调递增．所以. ②当时，令，所以单调递增， 所以，即. 又因为， 令， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，的极小值为． 若，即，则，所以． 若，即，则在区间上单调递减， 所以． 所以，即． 综上可得，. 例2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数（），. (1)若，证明：，； (2)求函数的零点个数. 【答案】(1)证明见解析； (2)有个零点. 【详解】（1）当时，， 要证：，，只需证：，， 令， 故只需证：，即可， ， 当时，，故， 即在上单调递减. 又， 所以当时，，即， 故，. （2） 定义域为：，， 令，即，判别式， 所以方程有两个实根：或 因，故（舍去），， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故在处取得最大值 由于，所以 所以， 设，， ，所以在上单调递增， 又，所以，所以， 当时，，当时，. 由于，即是的一个零点. 又在单调递增，在单调递减； 则函数的零点有个. 所以，当时，有个零点. 例3．（2026·天津滨海·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)设，．讨论在内的零点个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【详解】（1）因为，所以， 因为，所以切线斜率为， 由，则曲线在处的切线方程为， 即． （2）因为， 所以, 令，则, 当时，因为， 所以，，所以恒成立， 此时，在内无零点， 当时，因为， 所以，则单调递增， 因为， 所以单调递增， ， 此时，在内无零点． 当时，因为， 所以，则单调递增， 因为，， 所以存在，使得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增． 因为，所以， 因为，所以在区间内有1个零点， 所以当时，在内的零点个数为0， 当时，在内的零点个数为1． 【变式训练】 变式1．（2026·广西南宁·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． 【答案】(1)的单调递减区间为；单调递增区间为，； (2)1个． 【详解】（1）解：由题可得， 令，解得或， 令，解得；令0，解得或， 所以的单调递减区间为；单调递增区间为，． （2）解：由（1）知，在上单调递增，在上单调递减， 故在上的最大值为， 因此在上无零点 在区间上，单调递增，且，， 故在上存在唯一零点 综上，函数仅有1个零点． 变式2．（2026·河南南阳·一模）已知函数，其中，且． (1)当时，讨论的零点个数； (2)若恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，有1个零点；当或时，有2个零点 (2) 【详解】（1）函数（，）等价于， 两端同取自然对数得，即， 令，则原题转化为的解的个数， 由于， 当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 则在处取得最大值，最大值为， 又当时，；当时，，函数图象如图所示， 由图知，当时，，解得，此时有1个零点； 当时，，与有2个交点，此时2个零点； 当时，，与有2个交点，此时2个零点； 综上，当时，有1个零点；当或时，有2个零点． （2）由题知恒成立，即恒成立． 当时，若，则，显然不成立，故时不符合题意； 当时，由，可得， 因为曲线与关于直线对称， 所以， 令，则， 令，得，又因为单调递增， 所以当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 所以时，取得极小值，也是最小值， 所以的最小值为，其中， 由，得，即，得到，所以． 综上所述，实数的取值范围是． 考点二 已知零点个数求参数范围问题 【例题分析】 例1．（2026·广东广州·一模）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有且仅有1个零点，求的值； (3)若存在，使得对任意恒成立，证明：． 【答案】(1)的单调递增区间为 ，单调递减区间为. (2) (3)证明见解析； 【详解】（1）当时，，定义域为， 求导得到， 令，则当时， 所以在内单调递减，且， 即在内单调递减，且， 所以当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 综上所述，单调递增区间为 ，单调递减区间为. （2）因为有且仅有1个零点， 所以方程有且仅有1个解， 即有且仅有1个解， 令， ， 则， 令，则， 所以在区间 上单调递增， 又因为 ， 所以当 时，，即，单调递减； 当 时，，即，单调递增； 所以函数在处取得极小值也是最小值， 当时，，时，， 因为有且仅有1个解， 所以. （3）因为对任意恒成立， 所以，即， 因此， 要证，只需证明即可， 对函数求导得到， 令，则， 所以在区间单调递减， 即在区间单调递减， 存在唯一极大值点，满足，即， 在内函数单调递增， 内函数单调递减， 所以当时取得极大值也是最大值 . 因此， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 故在时取得最大值， 因此， 所以，所以， 故得证. 例2．（2026·山东临沂·一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 【详解】（1）已知，其定义域为.求导​. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当​时，，则，所以在上单调递增； 当​时，，则，所以在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意. 所以，此时在上单调递增，在上单调递减. 要使在上有且仅有两个零点，当趋近于时，趋近于, 所以根据零点存在定理， 则需满足， ，解得. ，化简得，解得. 又因可得. 综上，的取值范围是. 例3．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)当时，证明：当时，. (3)若有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）当时，，则， 从而，， 故曲线在点处的切线方程为， 即； （2）设，则. 显然在上恒成立，所以在上单调递减. 又，所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 故，即当时，. （3）由题意可得. 设，则. ①若，显然，则在上单调递增，即在上单调递增. 又，所以当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 又，所以只有一个零点，故不符合题意. ②若，则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 又，所以，又， 所以存在唯一的，使得. 当时，，当时，， 则在，上单调递增，在上单调递减. 又，所以，又当时，， 所以恰有两个零点，则符合题意. ③若，则由（2）知在R上恒成立，所以在上单调递增， 又，所以只有一个零点，则不符合题意. ④若，则当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增. 又，所以，又， 所以存在唯一的，使得. 当时，，当时，， 则在，上单调递增，在上单调递减. 又，所以，又当时，， 所以恰有两个零点，则符合题意. 综上，a的取值范围为. 【变式训练】 变式1．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若在上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 【答案】(1)时，在上单调递增，时，在上单调递减，在上单调递增 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）的定义域为，． 当时，在上单调递增；当时，由得， 由得，由得， 则在上单调递减，在上单调递增． 综上，时，在上单调递增， 时，在上单调递减，在上单调递增． （2）因为在上有两个零点，所以， 由得，令，则， 所以，时，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 有极大值，也就是最大值为， 又无限趋近时，无限趋近于0， 所以在上有两个零点时，， 所以，即的取值范围是． （3）因为有两个极值点， 所以，有两个实数根， 所以可得， 设，将代入，得， 所以， 所以要证，只需证，即． 设，则． 令，则，可知在上为增函数． 又，所以时，在上为增函数． 所以，即成立，所以成立． 变式2．（25-26高三下·重庆渝中·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)若函数在上有两个零点，求的取值范围； (3)①比较与的大小；②比较与的大小；其中为自然对数的底数． 【答案】(1)单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为，无极小值. (2) (3)①；② 【详解】（1）由题意，令，则， 则当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以是极大值点，极大值为，无极小值. 所以的单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为，无极小值. （2）由题意得在上有两个零点， 即有两个不同的正根， 即。 两边取对数得， 即，整理得， 即有两个不同的正根， 由（1）得在上单调递增，在上单调递减， 且时，，时，， 且， 所以当，即时，有两个不同的正根， 故的取值范围是. （3）① 对与同时取对数得，， 比较与等价于比较3与， 由（1）知，当时，单调递增， 故当时，，即， 令，得，即，故， 故， 即，即得证. ②对与同时取对数得，， 比较与等价于比较与， 由上知， 即，即得证. 变式3．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）已知函数． (1)在单调递减，求m的取值范围； (2)若有两个不同的零点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意， 因为在单调递减， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 又当且仅当即时取等号， 所以，即m的取值范围是； （2）由，得，定义域为， 当时，在恒成立，故在单调递减， 则在最多有一个零点，不合题意，舍去； 当时，令得， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 且当时，，所以， 当时，， 因为此时，所以， 要使得在有两个不同的零点， 只需满足即可，解得，又， 所以， 综上可知：在有两个不同的零点，的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $函数与导数：讨论零点个数问题、已知零点个数求参数范围问题复习讲义 函数与导数：讨论零点个数问题、已知零点个数求参数范围问题复习讲义 考点目录 讨论零点个数问题 已知零点个数求参数范围问题 知识点解析 核心原理均依托函数零点存在定理（连续函数，区间内有零点）+函数单调性/图像特征，将零点问题转化为函数图像与x轴交点问题，数形结合求解。 考点一 讨论零点个数问题 解题思路（四步法） 1. 求定义域：确定函数的取值范围，划定分析区间； 1. 研单调性/极值：求导，找驻点、判断单调区间，求极值/最值/端点极限； 1. 画简图：根据单调性、极值、端点趋势（如时的变化），画出函数草图； 1. 定交点数：看草图与x轴的交点个数，即为零点个数（注意：单调函数最多1个零点，极值点处函数值符号决定零点个数）。 关键：极值点的函数值符号是判断零点个数的核心，结合端点趋势无遗漏。 考点二 已知零点个数求参数范围问题 解题思路（三步核心法，含2大常用方法） 通用前提：分离参数/构造函数 将含参函数转化为无参函数与常函数交点问题（核心转化思路），分2种方法： 方法1：分离参数法（优先用，计算简洁） 1. 分离参数：将方程变形为（确保分离后等价，无漏解/增解）； 1. 研：求的单调性、极值、最值、值域、端点趋势，画草图； 1. 定参数范围：根据零点个数（即与的交点个数），结合图像找的取值范围。 方法2：含参讨论法（分离困难时用，如含参在分母/根号内） 1. 求导分析：对求导，根据参数的不同范围，讨论的符号，确定的单调区间、极值； 1. 分析零点条件：结合零点个数，列极值点函数值、端点值的符号不等式/等式； 1. 解不等式：求解关于的不等式，得到参数范围（注意分类讨论的标准，不重不漏）。 关键：分离参数法需保证“等价分离”；含参讨论法需选准分类标准（如导函数的驻点是否在定义域内）。 通用提醒 1. 定义域优先，所有分析均在定义域内进行，避免忽略端点导致范围错误； 1. 数形结合是核心，草图无需精确，关键抓住单调性、极值点、端点趋势三个要素； 1. 注意“零点存在定理”的补充：时，区间内可能有0个/多个零点，需结合单调性判断。 考点一 讨论零点个数问题 【例题分析】 例1．（2026·江苏·一模）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的零点个数； (3)当时，证明：． 例2．（2026·云南昆明·模拟预测）已知函数（），. (1)若，证明：，； (2)求函数的零点个数. 例3．（2026·天津滨海·模拟预测）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)设，．讨论在内的零点个数． 【变式训练】 变式1．（2026·广西南宁·模拟预测）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． 变式2．（2026·河南南阳·一模）已知函数，其中，且． (1)当时，讨论的零点个数； (2)若恒成立，求的取值范围． 考点二 已知零点个数求参数范围问题 【例题分析】 例1．（2026·广东广州·一模）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有且仅有1个零点，求的值； (3)若存在，使得对任意恒成立，证明：． 例2．（2026·山东临沂·一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 例3．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程. (2)当时，证明：当时，. (3)若有两个零点，求a的取值范围. 【变式训练】 变式1．（2026·陕西咸阳·二模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)若在上有两个零点，求实数的取值范围； (3)若函数有两个极值点，，证明：． 变式2．（25-26高三下·重庆渝中·月考）已知函数． (1)求函数的单调区间与极值； (2)若函数在上有两个零点，求的取值范围； (3)①比较与的大小；②比较与的大小；其中为自然对数的底数． 变式3．（25-26高三下·重庆北碚·开学考试）已知函数． (1)在单调递减，求m的取值范围； (2)若有两个不同的零点，求m的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $