11.4.1 第1课时 直线与直线所成角及线面垂直的判定定理 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套练习word（人教B版）

11.4.1 第1课时 直线与直线所成角及线面垂直的判定定理 [课时跟踪检测] 1.(多选)下列条件中能推出l⊥α的有 (　　) A.直线l与平面α内一个三角形的两边垂直 B.直线l与平面α内一个梯形的两边垂直 C.直线l与平面α内无数条直线垂直 D.直线l与平面α内任意一条直线垂直 解析:选AD　由线面垂直的判定定理知A、D正确;对于B,当梯形的两边平行时,不能推出l⊥α;对于C,当无数条直线相互平行时,不能推出l⊥α.故选A、D. 2.正方体ABCD-A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是 (　　) A.平面DD1C1C B.平面A1DB C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB1 解析:选D　∵AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1,∴AD1⊥平面A1DB1.故选D. 3.如图,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是 (　　) A.异面 B.平行 C.垂直 D.不确定 解析:选C　∵AB⊥α,l⊂α,∴AB⊥l, 又∵BC⊥β,l⊂β,∴BC⊥l, 又AB∩BC=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC, ∴l⊥平面ABC, 又AC⊂平面ABC,∴l⊥AC. 4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P为B1D1的中点,则直线PB与AD1所成的角为 (　　) A. B. C. D. 解析:选D　如图,连接A1B,BC1,A1C1,易证四边形ABC1D1为平行四边形,所以AD1∥BC1,因此∠PBC1为异面直线PB与AD1所成的角.易知△A1BC1为等边三角形,所以∠A1BC1=.在正方形A1B1C1D1中,因为P是B1D1的中点,所以P是A1C1的中点,所以∠PBC1=∠A1BC1=.故选D. 5.(2025·全国Ⅰ卷)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC中点,则 (　　) A.AD⊥A1C B.BC⊥平面AA1D C.CC1∥平面AA1D D.AD∥A1B1 解析:选BC　设D1为B1C1的中点, 由题得AD⊥AA1,若AD⊥A1C,则AD⊥平面AA1C,则AD⊥AC,矛盾!故A错误; 由题得AD⊥BC,AA1⊥BC,则BC⊥平面AA1D,故B正确; 由题得AD∥A1D1,若AD∥A1B1,则A1D1∥A1B1,矛盾!故D错误; 由题得CC1∥AA1,又CC1不在平面AA1D上,故CC1∥平面AA1D,故C正确. 6.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,M,N分别是A1D,D1B的中点,则 (　　) A.直线A1D与直线D1B垂直,直线MN∥平面ABCD B.直线A1D与直线D1B平行,直线MN⊥平面BDD1B1 C.直线A1D与直线D1B相交,直线MN∥平面ABCD D.直线A1D与直线D1B异面,直线MN⊥平面BDD1B1 解析:选A　如图,连接AD1.因为四边形ADD1A1是正方形,且M是A1D的中点,所以点M是AD1的中点,A1D⊥AD1.又AB⊥平面ADD1A1,A1D⊂平面ADD1A1,所以AB⊥A1D.又AB∩AD1=A,所以A1D⊥平面ABD1.又D1B⊂平面ABD1,所以A1D⊥D1B,所以B错误.由图易知直线A1D与直线D1B异面,所以C错误.因为M,N分别是AD1,D1B的中点,所以MN∥AB.又MN⊄平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以MN∥平面ABCD,所以A正确.取AA1的中点E,连接NE,EB,ED1,ED,EB1,B1D,则B1D交D1B于点N.易证EB=ED1,ED=EB1.又N是D1B,B1D的中点,所以EN⊥D1B,EN⊥B1D.又D1B∩B1D=N,所以EN⊥平面BDD1B1.而MN∩NE=N,所以MN与平面BDD1B1不垂直,所以D错误.故选A. 7.(5分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,则图中共有直角三角形的个数为　　　　.  解析:∵PA⊥平面ABCD, ∴PA⊥BC. 又BC⊥AB,PA∩AB=A,PA⊂平面PAB,AB⊂平面PAB,∴BC⊥平面PAB. ∴BC⊥PB.同理得CD⊥PD.故共有4个直角三角形. 答案:4 8.(5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在侧面BCC1B1及其边界上运动,并且总是保持AP⊥BD1,则动点P的轨迹是　　　　.  解析:因为BD1⊥平面B1AC,平面B1AC∩平面BCC1B1=B1C,所以P为B1C上任何一点时,均有AP⊥BD1. 答案:线段B1C 9.(5分)如图所示,圆锥的底面直径AB=4,高OC=2,D为底面圆周上的一点,且∠AOD=120°,则直线AD与BC所成的角为　　　　.  解析:如图,延长DO交底面圆于点E,连接BE,CE,由AB,DE均为圆的直径知AD∥BE,且AD=BE,所以∠CBE即 为异面直线AD与BC所成的角或其补角.在△AOD中,AD=2OAsin 60°=2,在△CBE中,CB=CE=BE==2,所以△CBE为正三角形,所以∠CBE=60°,所以直线AD与BC所成的角为60°. 答案:60° 10.(5分)当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时,异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是　　　　.  解析:设正方体棱长为1,DP=x,则x∈[0,1],连接AD1,AP,由AD1∥BC1可知,∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成角.在△AD1P中,AD1=,AP=D1P=,故cos∠AD1P=,又∵x∈[0,1], ∴cos∠AD1P=∈, 又∠AD1P∈(0,π),∴∠AD1P∈. 答案: 11.(10分)地面上插有一根直杆,将地面看成平面,只借助于绳子与米尺,你能检测出直杆与地面是否垂直吗?写出你的方案并说明理由. 解:如图所示,将绳子的一端固定在直杆的A处,并使得AB=0.8 m.截取绳子的长度,使得绳长为1 m.拉紧绳子,并把它不固定的那端放在地面上与B不共线的两点C,D处.测量BC与BD的长度,如果它们的长度都是0.6 m,那么直杆就和地面垂直. 这是因为在△ABC中, 如果AB=0.8 m,AC=1 m,BC=0.6 m, 那么AB2+BC2=AC2, 所以∠ABC=90°,即AB⊥BC. 同理可知BD=0.6 m时,有AB⊥BD. 又因为B,C,D三点不共线,BC∩BD=B,BC,BD⊂平面BCD,所以AB⊥平面BCD, 即直杆与地面垂直. 12.(10分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,A1A=AB,E,F分别是BD1和AD的中点. 求证:CD1⊥EF. 证明:取CD1的中点G,连接EG,DG.∵E是BD1的中点, ∴EG∥BC,EG=BC. ∵F是AD的中点, 且AD∥BC,AD=BC, ∴DF∥BC,DF=BC. ∴EG∥DF,EG=DF. ∴四边形EFDG是平行四边形. ∴EF∥DG. 又A1A=AB,∴四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形,且G为CD1的中点, ∴DG⊥CD1.∴CD1⊥EF. 13.(15分)如图,四棱锥P-ABCD中,AD⊥平面PAB,AP⊥AB. (1)求证:CD⊥AP;(5分) (2)若CD⊥PD,求证:CD∥平面PAB.(10分) 证明:(1)因为AD⊥平面PAB,AP⊂平面PAB,所以AD⊥AP.又AP⊥AB,AB∩AD=A,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,所以AP⊥平面ABCD.因为CD⊂平面ABCD,所以CD⊥AP. (2)由(1)知CD⊥AP,又因为CD⊥PD,PD∩AP=P,PD⊂平面PAD,AP⊂平面PAD,所以CD⊥平面PAD　①. 因为AD⊥平面PAB,AB⊂平面PAB,所以AB⊥AD.又AP⊥AB,AP∩AD=A,AP⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,所以AB⊥平面PAD　②.由①②得CD∥AB,因为CD⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,所以CD∥平面PAB. 14.(15分)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=1,∠ACB=90°,AA1=,D是A1B1的中点. (1)求证:C1D⊥平面AA1B1B;(5分) (2)当点F在BB1上的什么位置时,会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论.(10分) 解:(1)证明:因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以A1C1=B1C1=1,且∠A1C1B1=90°.又D是A1B1的中点,所以C1D⊥A1B1.因为AA1⊥平面A1B1C1,C1D⊂平面A1B1C1,所以AA1⊥C1D,又A1B1∩AA1=A1,所以C1D⊥平面AA1B1B. (2)当点F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF.证明如下: 如图,作DE⊥AB1交AB1于E,延长DE交BB1于F,连接C1F,则AB1⊥平面C1DF,点F为所求. 因为C1D⊥平面AA1B1B,AB1⊂平面AA1B1B,所以C1D⊥AB1.又AB1⊥DF,DF∩C1D=D,所以AB1⊥平面C1DF. 因为AA1=A1B1=,所以四边形AA1B1B为正方形. 又D为A1B1的中点,DF⊥AB1,所以F为BB1的中点, 所以当点F为BB1的中点时,AB1⊥平面C1DF. 学科网（北京）股份有限公司 $