11.3.3 第2课时 空间平行关系的综合问题 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套练习word（人教B版）

11.3.3 第2课时 空间平行关系的综合问题 [课时跟踪检测] 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点P在平面A1B1C1D1内,经过点P和棱BC将木块锯开,锯开的面必须平整,共有N种锯法,则N为 (　　) A.0 B.1 C.2 D.无数 解析:选B　因为锯开的面必须平整,故过P的直线l需和BC共面,此面即为平面PBC.因为BC∥B1C1,而BC⊄平面A1B1C1D1,B1C1⊂平面A1B1C1D1,故BC∥平面A1B1C1D1.而BC⊂平面PBC,平面A1B1C1D1∩平面PBC=l,故BC∥l,故l∥B1C1.故l唯一即锯法唯一. 2.如图所示,A是平面BCD外一点,E,F,G分别是BD,DC,CA的中点,设过这三点的平面为α,则在图中的6条直线AB,AC,AD,BC,CD,DB中,与平面α平行的直线有 (　　) A.0条 B.1条 C.2条 D.3条 解析:选C　显然AB,AC,DB,DC四条直线均与平面α相交.在△BCD中由已知得EF∥BC,又EF⊂α,BC⊄α,所以BC∥α.同理,AD∥α,所以在题图中的6条直线中,与平面α平行的直线有2条. 3.(多选)如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F,G,H,I分别为棱AB,CD,BC,A1D1,AD的中点,则下列结论正确的是 (　　) A.A1E∥D1F B.A1E∥HF C.EG∥平面D1IF D.A1E∥平面D1FGB1 解析:选ACD　连接FE,因为E,F为AB,CD的中点,故FE平行且等于AD.由题意知AD平行且等于A1D1,故FE平行且等于A1D1,所以四边形FEA1D1为平行四边形,所以A1E∥D1F,故A正确;显然A1E与HF为相交直线,故B错误;因为EG∥IF,同时IF⊂平面D1IF,且EG⊄平面D1IF,所以EG∥平面D1IF,故C正确; 因为A1E∥D1F,同时D1F⊂平面D1FGB1,且A1E⊄平面D1FGB1,所以A1E∥平面D1FGB1,故D正确.故选A、C、D. 4.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, 四边形ABCD为平行四边形,E,F分别在线段DB,DD1上,=,G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G,则= (　　) A. B. C. D. 解析:选B　在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连接B1D1,FG,如图所示.因为平面AEF∥平面BD1G,平面AEF∩平面BB1D1D=EF,平面BD1G∩平面BB1D1D=BD1,所以EF∥BD1,于是==.因为平面ADD1A1∥平面BCC1B1,而BG⊂平面BCC1B1,则BG∥平面ADD1A1,所以在平面ADD1A1内存在与AF不重合的直线l∥BG.又平面AEF∥平面BD1G,BG⊂平面BD1G,则BG∥平面AEF.所以在平面AEF内存在与AF不重合的直线m∥BG,从而m∥l,m⊂平面AEF,l⊄平面AEF,则l∥平面AEF.又l⊂平面ADD1A1,平面AEF∩平面ADD1A1=AF,因此AF∥l∥BG,BG,AF可确定平面ABGF.因为平面ABB1A1∥平面CDD1C1,平面ABGF∩平面ABB1A1=AB,平面ABGF∩平面CDD1C1=FG,于是AB∥FG,即有CD∥FG,所以==. 5.已知侧棱和底面垂直的三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为3,D为侧棱CC1的中点,M为侧棱AA1上一点,且A1M=1,N为B1C1上一点,且MN∥平面ABD,则NB1的长为 (　　) A.1 B.2 C. D. 解析:选B　如图,取BB1上一点F,B1F=1,延长DC1至点E,使DE=2.连接EF,EF∩B1C1=N.连接ME, ∵BF∥DE,BF=DE,∴四边形FBDE是平行四边形.∴EF∥BD,EF⊄平面ABD.∴EF∥平面ABD.∵MF∥AB,同理MF∥平面ABD,且MF∩EF=F,∴平面MEF∥平面ABD.MN⊂平面MEF,∴MN∥平面ABD. ∵EC1=DE-DC1=,△B1FN∽△C1EN, ∴==.又B1C1=3,∴NB1=2. 6.(5分)在△ABC中,AB=5,AC=7,∠A=60°,G是重心,过G的平面α与BC平行,AB∩α=M,AC∩α=N,则MN=　　　　.  解析:如图所示,若D为BC的中点,又G是重心,则AG=AD.由题意BC∥α,BC⊂平面ABC,平面ABC∩α=MN,故BC∥MN.所以==. 又BC==, 解得MN=. 答案: 7.(5分)如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,AB=2A1B1,E,F分别是AC,BC的中点,点M在AA1上,AM=2MA1,若点N在平面ABB1A1内,且MN∥平面C1EF,则点N的位置是　　　.(写出一种即可)  解析:当BN=2B1N时,连接MN(图略),因为AM=2A1M,所以MN∥AB.因为E,F分别为AC,BC的中点,所以EF∥AB,从而MN∥EF.又EF⊂平面C1EF,MN⊄平面C1EF,所以MN∥平面C1EF. 答案:N是线段BB1上靠近点B1的三等分点 8.(5分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,过BB1的中点E作一个与平面ACB1平行的平面交AB于点M,交BC于点N,则=　　　.  解析:∵平面MNE∥平面ACB1,平面MNE∩平面ABB1A1=EM,平面ACB1∩平面ABB1A1=B1A,平面MNE∩平面CBB1C1=EN,平面ACB1∩平面CBB1C1=B1C,∴由两个平面平行的性质定理可得EN∥B1C,EM∥B1A.∴=,=.又∵E为BB1的中点,∴M,N分别为BA,BC的中点.∴MN=AC,即=. 答案: 9.(5分)在三棱锥A-BCD中,AB=CD=2,过BC的中点E的截面与AB,CD都平行,则截面的周长为　　　　.  解析:设CA,AD,DB的中点分别为F,G,H,连接EF,FG,GH,HE.根据三角形中位线定理,可得EF∥AB,FG∥CD,GH∥AB,HE∥CD,EF=AB=1,FG=CD=1,所以EF∥GH,FG∥HE.因此四边形EFGH是平行四边形.因为EF∥AB,EF⊂平面EFGH,AB⊄平面EFGH,所以AB∥平面EFGH.同理CD∥平面EFGH.因此平行四边形EFGH的周长为2(1+1)=4. 答案:4 10.(10分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,N,M,Q分别为PB,PD,PC的中点. (1)求证:QN∥平面PAD;(4分) (2)记平面CMN与底面ABCD的交线为l,试判断直线l与平面PBD的位置关系,并证明.(6分) 解:(1)证明:∵底面ABCD是菱形,N,Q分别为PB,PC的中点, ∴QN∥BC,BC∥AD.∴QN∥AD.∵QN⊄平面PAD,AD⊂平面PAD,∴QN∥平面PAD. (2)直线l与平面PBD平行,证明如下: ∵M,N分别为PD,PB的中点, ∴MN∥BD.∵BD⊂平面ABCD,MN⊄平面ABCD,∴MN∥平面ABCD. ∵平面CMN与底面ABCD的交线为l, ∴由线面平行的性质得MN∥l. ∵MN∥BD,∴BD∥l.∵C∈l,C∉平面PBD,且BD⊂平面PBD,l⊄平面PBD, ∴l∥平面PBD. 11.(15分)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,Q,S分别是AB,BC,C1D1,D1A1的中点. (1)求证:MN∥QS;(5分) (2)记MNQS确定的平面为α,作出平面α被该正方体所截的多边形截面,写出作法步骤.并说明理由,然后计算截面面积;(5分) (3)求证:平面ACD1∥平面α.(5分) 解:(1)证明:连接SQ,MN,AC,A1C1.如图,正方体中AA1∥CC1,AA1=CC1,四边形ACC1A1为平行四边形,则有AC∥A1C1.∵M,N,Q,S分别是AB,BC,C1D1,D1A1的中点,∴MN∥AC,SQ∥A1C1,∴MN∥SQ. (2)取AA1,CC1的中点E,F,连接S,Q,F,N,M,E,如图, 则正六边形SQFNME为平面α被该正方体所截的多边形截面,MN= =, ∴S正六边形SQFNME=6××××sin 60°=3. (3)证明:∵MN∥AC,AC⊄平面α,MN⊂平面α,∴AC∥平面α. ∵S,E分别为A1D1,AA1的中点,∴SE∥AD1.∵SE⊂平面α,AD1⊄平面α,∴AD1∥平面α. 又∵AD1∩AC=A,AC⊂平面ACD1,AD1⊂平面ACD1, ∴平面ACD1∥平面α. 12.(15分)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,点M是线段B1D1上的一个动点,E,F分别是BC,CM的中点. (1)求证:EF∥平面BDD1B1;(6分) (2)设G为棱CD的中点,求证:平面GEF∥平面BDD1B1.(9分) 证明:(1)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,连接BM.如图, 因为E,F分别是BC,CM的中点, 所以EF∥BM. 又EF⊄平面BDD1B1,BM⊂平面BDD1B1, 所以EF∥平面BDD1B1. (2)取CD的中点G,连接EG,FG.如图, E是BC的中点, 得EG∥BD.又EG⊄平面BDD1B1,BD⊂平面BDD1B1,得EG∥平面BDD1B1.由(1)知EF∥平面BDD1B1, EF∩EG=E,且EF,EG⊂平面GEF,所以平面GEF∥平面BDD1B1.所以当G是DC的中点时,平面GEF∥平面BDD1B1. 学科网（北京）股份有限公司 $