11.1.6 第2课时 球的表面积和体积 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套练习word（人教B版）

11.1.6 第2课时 球的表面积和体积 [课时跟踪检测] 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.将直径为2的半圆绕直径所在的直线旋转半周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为 (　　) A.2π B.3π C.4π D.6π 解析:选B　由题意知,该几何体为半球,表面积为大圆面积加上半个球面面积,则S=π×12+×4×π×12=3π. 2.一个长、宽、高分别为80 cm、60 cm、100 cm的长方体形状的水槽装有适量的水,现放入一个直径为40 cm的木球(水没有溢出).如果木球正好一半在水中,一半在水上,那么水槽中的水面升高了 (　　) A. cm B. cm C. cm D. cm 解析:选B　直径为40 cm的木球,一半在水中,一半在水上,可得木球在水中的体积V=×πR3= cm3. ∵木球在水中的体积等于水槽上升的体积,水槽上升的体积为Sh, ∴水槽上升的高度h==.故选B. 3.用与球心距离为的平面去截球,截面面积为π,则球的体积为 (　　) A. B. C.8π D. 解析:选A　设截面半径为r,球的半径为R,截面与球心距离为d=.由题意得,截面面积S=πr2=π,解得r=1.因为R2=r2+d2=1+3=4,所以R=2.所以球的体积V=πR3=.故选A. 4.如图是某灯具厂生产的一批不倒翁型台灯外形,它由一个圆锥和一个半球组合而成,圆锥的高是0.4 m,底面直径和球的直径都是0.6 m,现对这个台灯表面涂胶,如果每平方米需要涂200克,则共需涂胶(精确到个位数) (　　) A.176克 B.207克 C.239克 D.270克 解析:选B　由已知得圆锥的母线长l==0.5,所以台灯表面积为S=πrl+2πr2=π×0.3×0.5+2π×0.32=0.33π.需要涂胶的重量为0.33π×200=66π≈66×3.14=207.24≈207(克),故选B. 5.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的底面为直角三角形,且两直角边长分别为1和2,此三棱柱的高为,则该三棱柱的外接球的体积为 (　　) A. B. C. D. 解析:选C　由题意,将直三棱柱ABC-A1B1C1补成长方体,如图所示,则该长方体的体对角线为=4,设长方体的外接球的半径为R,则2R=4,R=2,所以该长方体的外接球的体积V=πR3=. 6.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中,称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为π∶4.若正方体的棱长为2,则“牟合方盖”的体积为 (　　) A.16 B.16 C. D. 解析:选C　若正方体的棱长为2,则其内切球的半径r=1,∴正方体的内切球的体积V球=π×13=π.又已知=,∴V牟合方盖=×π=.故选C. 7.(2023·新课标Ⅰ卷)(多选)下列物体中,能够被整体放入棱长为1(单位:m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有 (　　) A.直径为0.99 m的球体 B.所有棱长均为1.4 m的四面体 C.底面直径为0.01 m,高为1.8 m的圆柱体 D.底面直径为1.2 m,高为0.01 m的圆柱体 解析:选ABD　因为棱长为1 m的正方体的内切球的直径为1 m,所以A正确;因为棱长为1 m的正方体中可放入棱长为 m的正四面体,且>1.4,所以B正确;因为正方体的棱长为1 m,体对角线长为 m,<1.8,所以高为1.8 m的圆柱体不可能整体放入正方体容器中,所以C不正确; 因为正方体的体对角线长为 m,且>1.2,设正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O,以AC1为轴对称放置圆柱,设圆柱的底面圆心O1到正方体的表面的最近的距离为h m,如图,结合对称性可知,OC1=C1A=,C1O1=OC1-OO1=-0.6,则=,即=,解得h=->0.01,所以能够被整体放入正方体内,所以D正确.故选A、B、D. 8.(5分)将一个棱长为6的正方体铁块磨制成一个球体零件,求可能制作的最大零件的体积为　　　　.  解析:正方体的棱长为6,要使制作成球体零件的体积最大,则球内切于正方体,则球的直径为6,半径为3.∴可能制作的最大零件的体积为V=π×33=36π. 答案:36π 9.(5分)(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为AB,C1D1的中点.以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有　　　　个公共点.  解析:如图,线段EF过正方体的中心,所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心,球的半径为.而正方体的中心到每一条棱的距离均为,所以以EF为直径的球与每一条棱均相切.所以共有12个公共点. 答案:12 10.(5分)若一个四面体的四个面中,有两个面都是直角边长为1的等腰直角三角形,另两个面都是直角边长分别为1和的直角三角形,则该四面体的外接球的表面积为　　　　　.  解析:满足题意的四面体为如图所示的正方体中的三棱锥V-ABC, VA=AB=BC=1,VB=AC=.其外接球即为该正方体的外接球,故其半径为R=.所以该四面体外接球的表面积为4π×=3π. 答案:3π 11.(5分)已知三棱锥A-BCD的所有棱长都为,则该三棱锥的外接球的表面积为　　　　.  解析:如图,构造正方体ANDM-FBEC.因为三棱锥A-BCD的所有棱长都为,所以正方体ANDM-FBEC的棱长为1.所以该正方体的外接球的半径为. 易知三棱锥A-BCD的外接球就是正方体ANDM-FBEC的外接球,所以三棱锥A-BCD的外接球的半径为.所以三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S球=4π×=3π. 答案:3π 12.(5分)(2025·全国Ⅱ卷)一个底面半径为4 cm,高为9 cm的封闭圆柱形容器(容器壁厚度忽略不计)内有两个半径相等的铁球,则铁球半径的最大值为　　　　cm.  解析:作出轴截面如图,当两圆相切时半径最大, 两圆的公切点为圆柱形的中心,设铁球半径为r,r∈(0,4), 在Rt△ABO1中,AO1=4-r,AB=-r,则有:(4-r)2+=r2, 解得r=或r=(舍去). 答案: 13.(10分)某组合体的直观图如图所示,它的中间为圆柱形,左、右两端均为半球形,若图中r=1,l=3,试求该组合体的表面积和体积. 解:该组合体的表面积S=4πr2+2πrl=4π×12+2π×1×3=10π,该组合体的体积V=πr3+πr2l=π×13+π×12×3=. 14.(15分)在高一年级一次社会实践活动中,一组学生的任务是用数控机床把一个半径为2的铝合金球加工成一个工件,这个工件是具有公共底面圆的两个圆锥形(如图),且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上,已知圆锥底面面积是这个球面面积的. (1)求此次加工工件的利用率(加工成品工件的体积与球的体积之比);(8分) (2)求工件的表面积.(7分) 解:(1)设球半径为R,圆锥底面半径为r. ∵πr2=×4πR2,∴r=R=. 如图,设较大圆锥与较小圆锥的高分别为h1,h2, 则V工件=V1+V2=πr2(h1+h2)=π()2×4=4π,加工工件的利用率==. (2)由题意知,OC=R=2,O1C=r=.∴OO1==1.∴BO1=h1=3,AO1=h2=1. 得大、小圆锥的母线长为l1=2,l2=2,大、小圆锥的侧面积之和为S=S1+S2=πr(l1+l2)=π×(2+2)=2(3+)π. 15.(15分)球的一个内接圆锥满足:球心到该圆锥底面的距离是球半径的一半,求该圆锥的体积和此球体积的比值. 解:①当圆锥顶点与底面在球心两侧时,如图所示,设球半径为r,则球心到该圆锥底面的距离是,于是圆锥的底面半径为 =,高为. 该圆锥的体积为×π××=πr3, 球的体积为πr3, ∴该圆锥的体积和此球体积的比值为=. ②同理,当圆锥顶点与底面在球心同侧时,该圆锥的体积和此球体积的比值为. 学科网（北京）股份有限公司 $