11.1.4 棱锥与棱台 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套练习word（人教B版）

11.1.4　棱锥与棱台 [课时跟踪检测] 1.(多选)下列图形中，为棱锥的是 (　　) 解析:选ABD　一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，显然A、B、D满足棱锥定义，C不满足棱锥定义，所以A、B、D是棱锥，C不是棱锥. 2.有一个多面体，共有四个面围成，每一个面都是三角形，则这个空间图形为 (　　) A.四棱柱　　　　　　 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱锥 解析:选D　根据棱锥的定义可知该空间图形是三棱锥. 3.如图所示的组合体的结构特征是 (　　) A.一个棱柱中截去一个棱柱 B.一个棱柱中截去一个圆柱 C.一个棱柱中截去一个棱锥 D.一个棱柱中截去一个棱台 解析:选C　由此组合体的图形知，此组合体的结构特征是一个棱柱中截去一个棱锥. 4.下列说法正确的是 (　　) A.各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B.各侧面都是面积相等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 C.各侧面都是全等的等腰三角形的棱锥为正棱锥 D.底面是正多边形且各侧面是全等三角形的棱锥为正棱锥 解析:选D　各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，A错误；各侧面都是面积相等的等腰三角形，但无法保证各个等腰三角形全等且腰长均为侧棱长，B错误；各侧面都是全等的等腰三角形，但无法保证等腰三角形的腰长为侧棱长，C错误；底面是正多边形，各侧面是全等三角形，则可以保证顶点在底面的射影为底面中心，满足正棱锥定义，D正确. 5.如图，能推断这个空间图形可能是三棱台的是 (　　) A.A1B1=2，AB=3，B1C1=3，BC=4 B.A1B1=1，AB=2，B1C1=1.5，BC=3，A1C1=2，AC=3 C.A1B1=1，AB=2，B1C1=1.5，BC=3，A1C1=2，AC=4 D.AB=A1B1，BC=B1C1，AC=A1C1 解析:选C　棱台的上、下底面相似，据此判断. 对于A，≠，故A不正确； 对于B，=≠，故B不正确； 对于C，==≠1，故C正确； 对于D，===1，不是三棱台，故D不正确. 6.(多选)对如图的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是 (　　) A.由一个长方体割去一个四棱柱所构成 B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成 C.由一个长方体挖去一个四棱台所构成 D.由一个长方体与两个四棱台组合而成 解析:选AB　如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成.故选A、B. 7.用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是 (　　) A.四边形 B.三角形 C.三角形或四边形 D.不可能为四边形 解析:选C　按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形. 8.如图所示，在三棱台A'B'C'-ABC中，沿平面A'BC截去三棱锥A'-ABC，则剩余的部分是 (　　) A.三棱锥　　　　 B.四棱锥 C.三棱柱 D.三棱台 解析:选B　在三棱台A'B'C'-ABC中，沿平面A'BC截去三棱锥A'-ABC，剩余的部分是以A'为顶点，四边形BCC'B'为底面的四棱锥A'-BCC'B'. 9.下列说法正确的是 (　　) A.三棱锥的四个面不可能都是直角三角形 B.棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥 C.用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体是棱台 D.棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥 解析:选B　对于A，如图1，三棱锥P-ABC的四个面都是直角三角形，故A错误；对于B，棱柱被平面分成的两部分可以都是棱锥.如三棱柱ABC-A1B1C1被平面A1BC分为两个棱锥，如图2所示，故B正确；对于C，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体才是棱台，故C错误；对于D，棱锥被平面分成的两部分可以都是棱锥.如四棱锥S-ABCD被平面SAC分成两个三棱锥，如图3所示，故D错误.故选B. 10.如图，正三棱锥S-ABC中，∠BSA=30°，SB=2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为 (　　) A.2 B.4 C.2 D.2 解析:选C　将三棱锥S-ABC沿侧棱SB展开，其侧面展开图如图所示，则BB'即为最短路线.因为∠BSA=30°，SB=2，所以△BB'S为等腰直角三角形，故沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为BB'==2. 11.(5分)一个棱台至少有　　　　个面，面数最少的棱台有　　　　个顶点，有　　　　条棱.  解析:面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱. 答案:5　6　9 12.(5分)一个几何体的表面展开图如图所示，该几何体中与“数”字面相对的是“　　　　”字面.  解析:把平面图还原得到一个三棱台，“数”“学”所在的两个平面分别为上、下底面，所以与“数”字面相对的是“学”字面. 答案:学 13.(5分)正四棱台两底面边长分别为3 cm和5 cm，那么它的中截面(平行于两底面且与两底面距离相等的截面)的面积为　　　　cm2.  解析:正四棱台的中截面是正方形，其边长为(3+5)=4 cm.由此S截=42=16 cm2. 答案:16 14.(10分)正四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条侧棱作截面，求截面的面积. 解:取AC的中点O，连接SO，则SO⊥AC，如图所示. ∵正四棱锥S-ABCD的所有棱长都等于a， ∴AC=a，SO==a， 则截面△SAC的面积为×a×a=a2. 15.(15分)某个实心零部件的直观图如图所示，其下部是上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台ABCD-A1B1C1D1，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10 cm，A1B1=20 cm，AA2=30 cm，AA1=13 cm，每平方厘米的加工处理费为0.2元，求需要多少元加工处理费. 解:因为四棱柱ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形， 所以该零部件上部的表面积S1=+S四个侧面矩形=(A2B2)2+4AB·AA2=102+4×10×30=1 300(cm2). 又四棱台ABCD-A1B1C1D1的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形， 所以该零部件下部的表面积S2=+S四个侧面梯形=(A1B1)2+4××(AB+A1B1)×h等腰梯形=202+4××(10+20)×=1 120(cm2). 所以该实心零部件的表面积S=S1+S2=1 300+1 120=2 420(cm2)， 又0.2S=0.2×2 420=484(元)，故需要加工处理费484元. 学科网（北京）股份有限公司 $