11.1.3 多面体与棱柱 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套练习word（人教B版）

11.1.3　多面体与棱柱 [课时跟踪检测] 1.(多选)下列图形中，能折成三棱柱的是 (　　) 解析:选ABD　C中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折成三棱柱. 2.(多选)下列关于棱柱的说法，正确的是 (　　) A.所有的面都是平行四边形 B.每一个面都不会是三角形 C.两底面平行，并且各侧棱也平行 D.被平面截成的两部分可以都是棱柱 解析:选CD　A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的定义易知；D正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱. 3.已知一直棱柱底面为正方形，它的底面边长为2，体对角线长为4，则这个棱柱的表面积是 (　　) A.8 B.16 C.8+12 D.8+16 解析:选D　由底面边长为2，体对角线长为4，知该直棱柱的高为2，所以表面积为2×2×2+2×2×4=8+16. 4.长方体交于一个顶点的三个面的面积分别是，则这个长方体的体对角线的长为 (　　) A.2 B.3 C.6 D. 解析:选D　设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，因为长方体的三个面的面积分别是，令解得所以长方体的体对角线长为=. 5.(多选)如图，M，N为正方体中所在棱的中点，过M，N两点作正方体的截面，则截面的形状可能为 (　　) A.三角形　　　　　 B.四边形 C.五边形 D.六边形 解析:选BD　如图，截面的形状只可能为四边形和六边形. 　　　　　　　　　　　　　　　　 6.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=2，由顶点B沿棱柱侧面(经过棱AA1)到达顶点C1，与AA1的交点记为M，则从点B经点M到C1的最短路线长为 (　　) A.2 B.2 C.4 D.4 解析:选B　如图，沿侧棱BB1将正三棱柱的侧面展开， 由侧面展开图可知，当B，M，C1三点共线时，从点B经点M到C1的路线最短.所以最短路线长为BC1==2.故选B. 7.边长为3的正方体切成27个全等的小正方体，则表面积之和比原来增加了 (　　) A.36 B.72 C.108 D.240 解析:选C　由已知，边长为3的正方体分成27个全等的小正方体，则小正方体的边长为1.边长为3的正方体表面积为6×3×3=54，每个小正方体的表面积为6×1×1=6，27个小正方体的表面积之和为6×27=162，162-54=108，所以表面积之和比原来增加了108. 8.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是 (　　) A.(1)(2) 　B.(2)(3) 　 C.(3)(4) 　D.(1)(4) 解析:选B　(1)图还原正方体后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；(2)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；(3)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；(4)图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面.综上可得，还原成正方体后，正方体完全一样的是(2)(3). 9.(5分)在五棱柱中，不同在任何侧面，且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线　　　　条.  解析:由题意，知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条，所以五棱柱共有对角线2×5=10(条). 答案:10 10.(5分)如图所示的三棱柱中，两个底面是边长为2的正三角形，侧面是全等的矩形，且矩形的长是4，宽是2，则该几何体的表面积为　　　　.  解析:该三棱柱的表面积为2×+3×(4×2)=24+2. 答案:24+2 11.(5分)如图(1)所示，已知正方体的面对角线长为a，沿阴影面将正方体切割成两块，拼成如图(2)所示的几何体，那么此几何体的表面积为　　　　.  解析:由已知得正方体的棱长为a，则正方体的表面积为3a2，新几何体的表面积比原来多了两个阴影部分的面积，少了正方体两个面的面积，故所求几何体的表面积为3a2+2×a2-2×a2=(2+)a2. 答案:(2+)a2 12.(5分)“阿基米德多面体”是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美.将正方体沿交于一个顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此截去八个三棱锥得到一个阿基米德多面体，则该阿基米德多面体的棱有　　　条.  解析:由题可知，如图，正方体每个面中有4条棱，所以该阿基米德多面体的棱共有4×6=24条. 答案:24 13.(5分)如图所示，有一滚筒是正六棱柱形(底面是正六边形，每个侧面都是矩形)，两端是封闭的，筒高1.6 m，底面外接圆的半径是0.46 m，问:制造这个滚筒需要　　　　m2铁板(精确到0.1 m2).  解析:因为此正六棱柱底面外接圆的半径为0.46 m，所以底面正六边形的边长为0.46 m.所以S侧=ch=6×0.46×1.6=4.416(m2).所以S表=S侧+S上底+S下底=4.416+2××0.462×6≈5.6(m2).故制造这个滚筒约需要5.6 m2铁板. 答案:5.6 14.(15分)已知一个直四棱柱的底面是边长为5 cm的正方形，侧棱长都是8 cm，回答下列问题: (1)这个直四棱柱一共有几个面?几个顶点?几条棱?(3分) (2)将这个直四棱柱的侧面展开成一个平面图形，这个图形是什么形状?面积是多少?(7分) 解:(1)由直四棱柱的特征可知直四棱柱一共有6个面，8个顶点，12条棱. (2)将直四棱柱的侧面展开是一个长方形.长方形的宽为直四棱柱的侧棱长，所以宽为8 cm，长为直四棱柱的底面边长的四倍，即5×4=20(cm)，所以长为20 cm，所以侧面展开图面积为8×20=160(cm2). 15.(10分)在一个长方体的容器中，里面装有少量水，现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中， (1)水面的形状不断变化，可能是矩形，对吗?(5分) (2)水的形状也不断变化，可能是棱柱，对吗?(5分) 解:(1)不对；水面的形状是矩形，不可能是其他非矩形的平行四边形. (2)对；此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱，或五棱柱. 学科网（北京）股份有限公司 $