11.1.1 空间几何体与斜二测画法 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套练习word（人教B版）

11.1.1　空间几何体与斜二测画法 [课时跟踪检测] 1.根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O'x'，O'y'，O'z'，则∠x'O'y'与∠x'O'z'的度数分别为 (　　) A.90°，90° B.45°，90° C.135°，90° D.45°或135°，90° 解析:选D　根据斜二测画法的规则，∠x'O'y'的度数应为45°或135°，∠x'O'z'指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.故选D. 2.水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A'B'C'，则△ABC是 (　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.任意三角形 解析:选C　将△A'B'C'还原，由斜二测画法知，△ABC为钝角三角形. 3.如图所示的是水平放置的三角形的直观图，D'是△A'B'C'中B'C'边的中点，且A'D'平行于y'轴，那么A'B'，A'D'，A'C'三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中 (　　) A.最长的是AB，最短的是AC B.最长的是AC，最短的是AB C.最长的是AB，最短的是AD D.最长的是AD，最短的是AC 解析:选C　因为A'D'∥y'轴，所以在△ABC中，AD⊥BC.又因为D'是B'C'的中点，所以D是BC的中点，所以AB=AC>AD.故选C. 4.一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 cm，5 cm，10 cm，四棱锥的高为8 cm，若按5∶1的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高可分别为 (　　) A.4 cm，1 cm，2 cm，1.6 cm B.4 cm，0.5 cm，2 cm，0.8 cm C.4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm D.4 cm，0.5 cm，1 cm，0.8 cm 解析:选C　原图形中平行于x轴、z轴的线段在直观图中分别平行于x'轴、z'轴，且长度不变；原图形中平行于y轴的线段在直观图中平行于y'轴，且长度变为原来的一半. 5.用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形，其直观图是一个底角为45°，腰长为，上底长为1，下底长为3的等腰梯形，那么原平面图形的最长边长为 (　　) A.2 B.2 C.2 D.3 解析:选B　如图(1)所示，直观图O'A'B'C'是一个底角为45°，腰长为，上底长为1，下底长为3的等腰梯形，把直观图还原成平面图形OABC，则这个平面图形OABC是直角梯形，根据斜二测画法规则，可得OC=2，OA=3，BC=1，所以原平面图形OABC的最长边长为AB==2. 6.已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为 (　　) A.2 cm B.3 cm C.2.5 cm D.5 cm 解析:选D　圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2+3=5(cm)，在直观图中与z轴平行线段长度不变，仍为5 cm.故选D. 7.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下述结论正确的是 (　　) A.梯形的直观图仍旧是梯形 B.若△ABC的直观图是边长为2的等边三角形，那么△ABC的面积为 C.△ABC的直观图如图所示，A'B'在x'轴上，且A'B'=2，B'C'与x'轴垂直，且B'C'=，则△ABC的面积为4 D.菱形的直观图可以是正方形 解析:选AC　由于斜二测画法平行关系不变，故梯形的直观图仍旧是梯形，故A正确；直观图面积为×4=，根据直观图与原图面积关系可得=S，解得S=2，故B错误；直观图中S△A'B'C'=×2×=，则△ABC的面积S==4，故C正确；由于平行于y轴的线段长度减半，故菱形的直观图一定是邻边不等的平行四边形，故D错误.故选A、C. 8.(5分)如图，在直观图中，四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为　　　　(填形状)，面积为　　　　 cm2.  解析:由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA=2 cm，OC=4 cm，所以四边形OABC的面积S=2×4=8(cm2). 答案:矩形　8 9.(5分)如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2， 2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A'B'C'D'中，顶点B'到x'轴的距离为　　　　.  解析: 正方形的直观图A'B'C'D'如图所示，因为O'A'=B'C'=1，∠B'C'x'=45°，所以顶点B'到x'轴的距离为1×sin 45°=. 答案: 10.(5分)有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为　　　　 cm2.  解析:该矩形的面积为S=5×4=20(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S'=S=5(cm2). 答案:5 11.(5分)如图所示，△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图，点B'在x'轴上，A'O'与x'轴垂直，且A'O'=2，则△AOB的边OB上的高为　　　　.  解析:设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中边O'B'与原图形中边OB的长度相等，及S原图=2S直观图，得OB×h=2××A'O'×O'B'，则h=4.故△AOB的边OB上的高为4. 答案:4 12.(10分)如图，△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其恢复成原图形. 解:(1)画直角坐标系xOy，在x轴上取OA=O'A'，即CA=C'A'. (2)在图①中，过点B'作B'D'∥y'轴，交x'轴于点D'，在x轴上取OD=O'D'，过点D作DB∥y轴，并使DB=2D'B'. (3)连接AB，BC，则△ABC即为△A'B'C'原来的图形，如图②. 13.(10分)已知圆柱的底面半径和高分别为2 cm，3 cm，画出该圆柱的直观图. 解:第一步:画轴，如图1，画x，z轴，使得∠xOz=90°； 第二步:画下底面，以O点为中心，在x轴上取线段AB，使得OA=OB=2 cm，利用椭圆模板画椭圆，使其经过A，B两点，这个椭圆就是圆柱的底面； 第三步:画上底面，在Oz上截取点O'，使得OO'=3 cm，过O'作平行于x轴的x'轴，类似下底面的作法做出圆柱的上底面； 第四步:成图，顺次连接AA'，BB'，再去掉辅助线，将遮挡的部分改为虚线，就得到圆柱的直观图，如图2. 14.(10分)如图所示，图形是从斜二测画法下的棱长为a的空心正方体ABCD-A1B1C1D1的直观图中分离出来的. (1)求直观图中△A1C1D1的面积；(5分) (2)如果用图示中这样一个装置来盛水，那么盛满水后，水的形状可以抽象出一个什么几何体?(5分) 解:(1)由题意可知，A1D1=，D1C1=a，∠A1D1C1=135°，所以=A1D1·D1C1·sin∠A1D1C1=××a×=a2. (2)水的形状可以抽象出一个三棱锥，如图所示. 学科网（北京）股份有限公司 $