9.2 正弦定理与余弦定理的应用 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册配套练习word（人教B版）

9.2　正弦定理与余弦定理的应用 [课时跟踪检测] 1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的 (　　) A.北偏东10° B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10° 解析:选B　灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB=80°，∠CAB=∠CBA=50°，则α=60°-50°=10°，即北偏西10°.故选B. 2.已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC=120°，则A，C两地间的距离为 (　　) A.10 km B.10 km C.10 km D.10 km 解析:选D　如图所示，由余弦定理可得，AC2=100+400-2×10×20×cos 120°=700，∴AC=10(km). 3.一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 (　　) A. n mile/h B.34 n mile/h C. n mile/h D.34 n mile/h 解析:选A　如图所示，在△PMN中，=，∴MN==34. ∴v==(n mile/h).故选A. 4.在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为 (　　) A.20 m B.30 m C.40 m D.60 m 解析:选C　如图，设O为建筑物的顶端A在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB=30°，OB=20，BD=40，OD=20.在Rt△AOD中，OA=OD·tan 60°=60.∴AB=OA-OB=40.故选C. 5.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径的长度为 (　　) A.50 m B.50 m C.50 m D.50 m 解析:选B　设该扇形的半径为r，连接CO，如图所示.由题意，得CD=150(m)，OD=100(m)，∠CDO=60°，在△CDO中，由余弦定理得，CD2+OD2-2CD·OD·cos 60°=OC2，即1502+1002-2×150×100×=r2，解得r=50(m). 6.小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC，请从测得的数据①BC=12 m.②B处的仰角60°.③C处的仰角45°.④cos∠BAC=.⑤∠BOC=30°中选取合适的，计算出旗杆的高度为 (　　) A.10 m B.12 m C.12 m D.12 m 解析:选D　选①②③⑤，如图所示，则∠ABO=60°，∠ACO=45°，设OA=x，则OC=OA=x，OB= .在△BOC中，利用余弦定理BC2=122=x2+-2x··， 解得x=12，即OA=12 m，故选D. 7.(5分)如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC=BC=1 km，且C=120°，则A，B两点间的距离为　　　　 km.  解析:在△ABC中，易得A=30°，由正弦定理=，得AB===(km). 答案: 8.(5分)台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为　　　　 h.  解析:设t h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得(20t)2+402-2×20t×40×cos 45°=302.化简，得4t2-8t+7=0，∴t1+t2=2，t1t2=.从而|t1-t2|==1(h). 答案:1 9.(5分)如图，在一场足球比赛中，甲同学从点A处开始做匀速直线运动，到达点B时，发现乙同学踢着足球在点C处正以自己速度的向A做匀速直线运动，已知cos∠BAC=，AB=3 m，AC=7 m.若忽略甲同学转身所需的时间，则甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处　　　　 m的点.  解析:如图，设甲同学最快拦截乙同学的地点是点D，CD=x，则BD=2x，AD=7-x，所以在△ABD中，cos A==，整理可得15x2+52x-164=(15x+82)(x-2)=0，解得x=2或x=-(舍去).故甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处5 m的点. 答案:5 10.(5分)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC=15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC=45°，根据以上数据得cos θ=　　　　.  解析:∵∠DBC=45°，∠DAC=15°，∴∠BDA=30°.在△ABD中，由正弦定理有=，即=，即BD=100sin 15°=100×=25(-).在△BCD中，由正弦定理有=，即=，所以sin∠BCD=-1，因此cos θ=sin(π-∠BCD)=sin∠BCD=-1. 答案:-1 11.(10分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km处不能收到手机信号，检查员抽查青岛市一考点，在考点正西 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格? 解:如图所示，考点为A，检查开始处为B， 设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距离为1 km. 在△ABC中，AB=(km)，AC=1(km)，∠ABC=30°， 由正弦定理，得sin∠ACB=×AB=， ∴∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意). ∴∠BAC=30°，∴BC=AC=1(km). 在△ACD中，AC=AD=1，∠ACD=60°， ∴△ACD为等边三角形.∴CD=1(km). ∵×60=5，∴在BC上需5 min，CD上需5 min. ∴最长需要5 min检查员开始收不到信号，并持续至少5 min才算合格. 12.(15分)如图，A，B是在沿海海面上相距15+5海里的两个哨所，B位于A的正南方向.A哨所在凌晨1点发现其南偏东30°方向处有一艘走私船，同时，B哨所也发现走私船在其东北方向上.两哨所立即联系缉私艇前往拦截，缉私艇位于A点南偏西30°的D点，且A与D相距20海里，试求: (1)刚发现走私船时，走私船与哨所A的距离；(5分) (2)刚发现走私船时，走私船距离缉私艇多少海里?在缉私艇的北偏东多少度?(5分) (3)若缉私艇得知走私船以10海里/时的速度从C向北偏东15°方向逃窜，立即以30海里/时的速度进行追截，缉私艇至少需要多长时间才能追上走私船?(5分) 解:(1)由C在A的南偏东30°，在B的东北方向，在△ABC中， ∴∠ABC=45°，∠CAB=30°，∠ACB=105°，由正弦定理得=， ∴=.又sin 105°=sin(45°+60°)=sin 45°cos 60°+cos 45°sin 60°=， 代入上式得AC=10海里.故刚发现走私船时，走私船与哨所A的距离为10海里. (2)在△ACD中，AC=10海里，AD=20海里，∠DAC=60°， ∴DC2=AD2+AC2-2AD×AC×cos 60°=1 200+300-2×20×10×=900，解得DC=30海里.又cos∠ADC===， 且0°<∠ADC<180°，所以∠ADC=30°，故刚发现走私船时，走私船距离缉私艇30海里，在缉私艇的北偏东60°方向. (3)设t小时后缉私艇在M处追上走私船， 则MC=10t，DM=30t， 又∠DCA=90°，∴∠DCM=90°+30°+15°=135°. 在△CDM中，由余弦定理得DM2=DC2+MC2-2DC×MC×cos 135°， 即900t2=900+300t2-2×30×10t×cos 135°，化简得2t2-t-3=0， 解得t=(负值舍去).故缉私艇至少需要小时才能追上走私船. 学科网（北京）股份有限公司 $