9.2 正弦定理与余弦定理的应用-【新课程能力培养】2025-2026学年高中数学必修第四册练习手册（人教B版）

b shB=s1得6=8sin&.:△ABC有两解，30cB<150 且B≠90，sinBe3,1小，be(4,8). 13.解：(1)方法一：由sin4+V3cosM=2,可得 之sim4+Y5cos41,即snlA+号j=1, 由于Ae0,m)归A+号（骨智）， 故A+号受解得A 6 方法二：由sinA+V3cosA=2. 又sin2A+cos2A=1,消去sinA,得 4cos2A-4V3 cosA+3=0(2cosA-V3)2=0. 解得c0sM=Yy3.又AE(0,m),故A=石 2 (2)由题设条件和正弦定理，得 V2 bsinC=csin2BV2 sinBsinC=2sinCsinBcosB. 又B,Ce(0,T),则sinBsinC≠0， .cosB=V2 ，∴B=T 2 4, 于是C=m-A-B=7m Γ12 sinC=sin (-A-B)=sin (A+B) =sinAcosB+sinBcosA=V2+V6 4 由正弦定理，可得a b sinA sinB sinC 即2=b sin 4 解得b=2V2,c=V6+V2, 故△ABC的周长为2+V6+3V2 14.解：(1)由余弦定理，有a2+b2-c2=2 abcosC, 对比已知a+b2-c2=V2ab. 可得cosC-d+b2-c2=V2b-V 2ab 2ab 2 .Ce(0,m),∴.sinC>0, 从面sinG-VI-=V(Y7=V 又'sinC=V2cosB,即cosB=3, 注意到B∈(0，π)，B=T Γ3 2)由ID可得6=号COsG-V2,Ce(0,. 2 参考答案。 从而G=子A=n骨子设，而 sin4=sin设）=sin年+g =x+2x2 2 2 2 4 由正弦定理，有a一=b=c 从而a=V6+V2V2c=V3+1c,6=Y3: 4 2 2 V2=y5. 2 由三角形面积公式，可知△ABC的面积可表示为 aw=absinC=-·VcYy6。Y2= 2 2 2 2 3+3c2, 8 由已知△ABC的面积为3+V了，可得3+y了c=3+ 2 V3,∴.c=2V2. ”9.2正弦定理与余弦定理的应用 1.B【解析】根据题意和仰角、俯角的概念画出草图， 如图.平行线之间内错角相等，则=B.故选B. 水平 BC-B 视线 4-a 一水平线 第1题答图 2.A【解析】由题意，可知∠ABC=45°+25=70°，AB= 20 n mile,由正弦定理，可得AC AB sin LABC-sin ZACB,代人 数据，得sinLACB=-2sin70°.故选A. 3 3.D【解析】记轮船初始位置为 C A,灯塔的位置为B,20min后轮船的 409 位置为C,如图所示.则AB=10,AC= A 6,∠CAB=120°，.在△ABC中，由余 弦定理，得BC=102+6-2×10x6×-2 1 209 =196,.BC=14.故20min后，轮船与 第3题答图 灯塔的距离为14 n mile.故选D. 4.B【解析】设BD=t,由余弦定理，可得BC=6+ (3V2)2-2x6×3V2cos∠BAC=90→BC=3V10,cos∠ABC= 59 N 高中数学必修第四册人教B版 6+-￡-64(3V⑩)2-(3V22→左V10.故选B. 2x6xt 2x6x3V10 5.C【解析】由题意，作出示意 图，则CA=CB=2km,∠ACB=120°， 由余弦定理，得AB2=CA2+CB2-2CA CB-c0s∠ACB=242-2x2x2x7） 12,AB=2V3km,即灯塔A与B 之间的距离为2V3km. 第5题答图 6.AB【解析】由题意，得∠ABC=30°，由余弦定理， 得c0s30°=49-3，解得x=2V3或x=V3. 6x 7.AC【解析】如图所示，在Rt△ABD中，∠ABD= 60°，BD=20m,AD=BDtan60°=20V3m,AB=BD 40m.在△ABC中，设AC=BC=x,由余弦定理，得AB2= AC2+BC2-2AC·BC·c0s∠ACB,即1600=x2+x2+x2,解得x= 40y3,则乙楼的高度为40y3m 3 A下J30 D 60°2B 地面 第7题答图 8.1【解析】如图，在△ABC中，∠A=80°+40°=120° AB=2,BC=V7. C V7 km 40% B 80 ..2km A: 第8题答图 由余弦定理BC=AB2+4C2-2AB·AC.cosA,可得 7=2+4C-2x2x4 Cxcost120°=4+MC-41Cx-7）=4C+ 4+2AC,即AC2+2AC-3=0, 解得AC=1,即乙、丙两人间的距离为1km. 故答案为1. 9.600【解析】∠MAD=45°，∠CAB=60°，.∠MAC= 180°45°-60°=75°，.∠MCA=180°-75°-60°=45°.又 :MA cos45°=MD=400m,MA=400V2m又AC sin60°= 60 0.4-40V3m,8c=4cn60r=400V3xVY 2 =600(m). 10.4V2【解析】依题意，有AB=24×20-8(km), 60 ∠BAS=30°，∠ABS=180°-75°=105°，故∠ASB=45°，由正 弦定理，得微品，解得4V2km 11.100(1+V3)【解析】如题图，∠MB45°，∴.∠MBA= 135°，∠AMB=15°，在△ABM中，由正弦定理，可知 100 AM siDB=sn2ABM，即√6V2=2，即AM= 4 2 100(V3+1). 12.解：如图. (1).tan∠ACD=3V7, 可得sn∠AcD=7, C Sao=号AC-CD:sin∠ACD=3Tm第12题答图 5 (2)am∠ACD=-3V7,cos∠ACD=g,AD= 16+22-2x1.6x2×g=5.76,则4AD=24.c0s∠4DC= 40+CD-4C=,sim∠ADC-Y47.又cos∠BDG3 2AD·CD -V7,LA0B=号，MB=VaBD=V2I 4 3(m). 13.解：由题知△ABC为锐角三角形，且BC=1, ∠BAC=a,∠ABC=B,且B=2a,则求救信号发出的位置A 与救助船乙的距离的取值范围即为AC的取值范围.在 △4c巾，由正孩定建，得品，即山， AC=2cosa,由△ABC为锐角三角形，得0°<2a<90°， 即0°<a<45°.又.0°<C=180°-3a<90°，.30°<a<60°，故30° <a<45°，Y20sa<Y3,故AC-2 cosa(V2, 2 2 V3). 14.C【解析】如图，AB=12V6,AC=12V3.在 △ABD中，∠ABD=180°-60°-75°=45°.在△ABD中，由正 弦定理，得4D。=4B=12Y6=24V2,4D=24.在 fsin45o=sin60°-V3 2 △ACD中，由余弦定理，得CD=ACP+AD-2AC·AD· c0s30°，AC=12V3,AD=24,.CD=12.由正弦定理，得 0Fn2m,n∠cD1=Y号，故∠c01=60或 AC ∠CDA=120°..AD>AC,.∠CDA为锐角，∴.∠CDA=60°， 故此时灯塔C位于游轮的南偏西60°的方向.故选C. 北 D 60 30 759 第14题答图 15.(V5+)km2【解析】在△0AB中，∠A0B=0. OB=1,0A=2,.AB-0B2+0A2-20B.0A.cos0,AB=V5 4cos6, Ss边eamo=Sa0+S=0A:0B:sin6+AB,Sg边Bam= sin0-2os0+3,则Ss边形amam=V5n(0-p)+号（其中 tamp=2),当n(0p)-l时，Sm影am取最大值V了+号， “直接监测覆盖区域”面积的最大值为V5+)km, 一"阶段性练习卷（二） 1.A【解析】由余弦定理，可得 -e-abecoM=39-2xVx3 .a=V3(负值舍去).故选A. 2.C【解折】由余弦定理，得c01=以-好 2bc 7,又Ae(0,,则A=60,故选C 3.B【解析】由正弦定理，可知sinA+sinB>sinC台a2+ b'>c2台cosC>0,sin2A+sin2B>sin2C不能得到△ABC是锐角三 角形，但△ABC是锐角三角形，则sin2A+sinB>sinC.故 “sinA+sinB>sin℃”是“△ABC是锐角三角形”的必要不 充分条件，故选B. 4C【解折】由正弦定理，得品=的，即 a2+c2=b2,∴.△ABC是直角三角形.故选C. 5.A【解析】如图，在△ABC中，AB=20,∠CAB= 30,∠4CB=5,裂锅正弦定理，得-5，解 得BC=10V2(n mile). 参考答案。 北 65C 第5题答图 6.C【解析】设航速为v n mile/h,在△ABS中，AB= 之，BS=8V7,∠B4=45,由正孩定理得8 sin30° sin45o,i=32 n mile/h,故选C. 7.BD【解析】若满足△ABC唯一确定，则a=bsinA=2x sin30°-1或a≥b=2,故选BD. 8BC【解标】由正弦定理，知4=2R,外接圆 半径是2，故A错误；由正弦定理及a b ssimB,可得 sin4=sinb=l,即tanA=1,由0<A<m,知A=45°，故B正 cosA sinB 确：um60C为链角，△4C一定是镜角三 角形，故C正确：若A=石，B=年，显然co1>cocB,故 D错误.故选BC 9.7【解析】由5m15Y5.得号×3X4Cm120 4 15V3AC=5,BABAC-2ABACc0s1209+ 4 25+2x3x5x2=49,解得BC=7. 10.Y了【解析】由题意和正弦定理，可得a=2R, 2 sinA=V3(R为△ABC外接圆半径1)，sinA=Y3 2 cos4=±号，由余弦定理，可得=b2+e2-2 c1,代入 数据，可得35bc,解得bc=2,besin4=V 2 11.15【解析】∴.令∠ACD=a,∠CDB=B,在△CBD 中，由余弦定理，得c0s8=BDCD CB_202+2312。-1， 2BD.CD-220x21 7’ :sing=4Yy3.又sina=sin(B-60°)=singcos60°-cos3· 7 0yx+x空，5，在△4CD中， 7 2 2 14 0品40-2-15(km).这人还要再走 sin60° 619.2 正弦定理与 基础练习 一、选择题 1.从A处望B处的仰角为，从B处望 A处的俯角为B,则，B的关系为() A.a>B B.=3 C.a+B=909 D.a+B=180 2.一艘船航行到点A处时，测得灯塔C 与其相距30 n mile,如图所示.随后该船以 20 n mile/h的速度沿直线向东南方向航行 1h后到达点B,测得灯塔C在其北偏东25 方向，则sin∠ACB=() 北 C 259 B 南 第2题图 A.2 in70° R子si0759 C.3cos7 D.V3 3 3.一艘轮船南偏东20°方向上10 n mile 处有一灯塔，该轮船以18 n mile/h的速度沿 北偏东40°的方向直线航行，行驶20min后， 轮船与灯塔的距离为() A.17 n mile B.16 n mile C.15 n mile D.14 n mile 4.海上有三个小岛A,B,C,测得 ∠BAC=135°，AB=6,AC=3V2,若在B,C 第九章解三角形。 余弦定理的应用 两岛的连线之间建一座灯塔D,使得灯塔D 到A,B两岛的距离相等，则B,D间的距离 为() A.3V10 B.V10 C.V13 D.3V2 5.已知两灯塔A和B与海洋观测站C 的距离都等于2km,灯塔A在观测站C的 北偏东25°，灯塔B在观测站C的南偏东 35°，则灯塔A与B之间的距离为() A.2 km B.2V2 km C.2V3 km D.4 km 6.(多选题)某人在A处向正东方向走 xkm后到达B处，他向右转150°，然后朝 新方向走3km到达C处，结果他离出发点 恰好V3km,那么x的值为() A.V3 B.2V3 C.3V3 D.3 7.(多选题)甲、乙两楼相距20m,从 乙楼底仰望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶 望乙楼顶的俯角为30°，则下列说法正确的 有() A.甲楼的高度为20V3m B.甲楼的高度为10V3m C.乙楼的高度为40y3m 3 D.乙楼的高度为10V3m 二、填空题 8.在定向越野活动中，测得甲在乙北偏 11 N 高中数学必修第四册人教B版 东80°的方向，甲、乙两人间的距离为2km, 丙在乙北偏西40°的方向，甲、丙两人间的 距离为V7km,则乙、丙两人间的距离为 km. 9.如图，在离地面高400m的热气球 上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A 处的俯角为45°，已知∠BAC=60°，则山的 高度BC= m. 115° 45 人60° D A 第9题图 10.小王骑电动自行车以24km/h的速 度沿着正北方向行驶，在点A处望见电视 塔S在北偏东30°的方向上，20min后到 点B处望见电视塔S在北偏东75°的方向上， 则小王在点B处时与电视塔S的距离是 km. 11.中国古代数学家刘徽在《九章算术· 注释》中指出：“凡望极高、测绝深而兼知 极远者，必用重差.”也就是说日标“极高” “绝深”等不能靠近进行测量时，必须用两 次（或两次以上）测量的方法加以实现，为 测量某山的高度，在A，B测得的数据如图 所示（单位：m),则点A到山顶的距离 AM= m. M 30°B人45 A 100 第11题图 (12)练 三、解答题 12.为了测出图中草坪边缘A,B两点 间的距离，找到草坪边缘的另外两个点C 与D(A,B,C,D四点共面)，测得AC= 1.6m,CD=2m,BD=1.8m,已知cos∠BDC= -V7,tan∠ACD=3V7. 4 (1)求△ACD的面积 (2)求A,B两点间的距离. 第12题图 13.甲、乙两艘救助船所在位置分别为 B,C,且B,C相距1 n mile,经测量求救 信号发出的位置A与这两艘船构成的角度为 (顶点为A),救助船甲与救助船乙及求救 信号发出的位置A所构成的角度为B(角的 顶点为B),《=B,可以判断三者构成的 △ABC是锐角三角形，求求救信号发出的位 置A与救助船乙的距离的取值范围. 第九章解三角形。 提升练习 14.一艘游轮航行到A处时，测得灯 塔B在A的北偏东75°方向上，距离为 12V6 n mile,灯塔C在A的北偏西30°方 向上，距离为12V√3 n mile,该游轮由A 沿正北方向继续航行到D处时，测得灯塔B 在其南偏东60°方向，则此时灯塔C位于游 轮的() A.正西方向 B.南偏西75方向 C.南偏西60°方向 D.南偏西45°方向 15.如图，某湖有一半径为1km的半圆 形岸边，现决定在圆心O处设立一个水文监 测中心（大小忽略不计），在其正东方向相 距2km的点A处安装一套监测设备.为了 使监测数据更加准确，在半圆弧上的点B以 及湖中的点C处，再分别安装一套监测设 备，且∠BAC=90°，AB=AC.定义：四边形 OACB及其内部区域为“直接监测覆盖区 域”，设∠AOB=.则“直接监测覆盖区域” 面积的最大值为 北 第15题图 练(13