11.3.2 直线与平面平行-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“直线与平面平行”核心知识点，系统梳理判定定理（线线平行则线面平行）和性质定理（线面平行则线线平行），构建“线线平行-线面平行-线线平行”的转化支架，帮助学生形成空间平行关系的逻辑脉络。 资料采用梯度进阶式教学，通过微点助解明确定理条件（如判定定理三条件缺一不可），结合四棱锥、四面体等实例培养空间观念（数学眼光），思维建模总结解题步骤提升推理能力（数学思维）。课中助力分层教学，课后通过基础训练与变式拓展帮助学生查漏补缺，强化知识应用。

11.3.2　直线与平面平行 [教学方式:深化学习课梯度进阶式教学] [课时目标] 1.掌握直线与平面平行的判定定理,并会应用线面平行的判定定理证明线面平行. 2.掌握直线与平面平行的性质定理,并会应用线面平行的性质定理证明线线平行. 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线与这个平面平行 符号语言 ⇒l∥α 图形语言 |微|点|助|解| 　 1.判定定理的理解 (1)直线与平面平行的判定定理可简记为“线线平行,则线面平行”,此定理充分体现了等价转化思想,将“线面平行”问题转化为“线线平行”问题. (2)直线与平面平行的判定定理包含三个条件:①直线l在平面α外,即l⊄α;②直线m在平面α内,即m⊂α;③两直线l,m平行,即l∥m.三个条件缺一不可. 2.常用结论 (1)一条直线与平面内的一条直线平行,则直线与平面可能平行也可能在平面内. (2)如果一条直线与平面内无数条直线都平行,那么该直线与平面平行或直线在平面内. (3)如果一条直线与一个平面平行,那么这条直线与平面内的直线平行或异面. 2.直线与平面平行的性质定理 文字语言 如果一条直线与一个平面平行,且经过这条直线的平面与这个平面相交,那么这条直线就与两平面的交线平行 符号语言 l∥α,l⊂β,α∩β=m⇒l∥m 图形语言 |微|点|助|解| 　(1)直线与平面平行的性质定理可简记为“线面平行,则线线平行”.(2)性质定理中有三个条件,即l∥α,l⊂β,α∩β=m,这三个条件缺一不可.(3)直线与平面平行的性质定理可以作为证明直线与直线平行的依据.(4)定理揭示了当a∥α时,作直线a的平行线的方法,即过a作一平面与已知平面相交,交线b一定与a平行. 基础落实训练 1.能保证直线a与平面α平行的条件是 (　　) A.b⊂α,a∥b B.b⊂α,c∥α,a∥b,a∥c C.b⊂α,A,B∈a,C,D∈b,且AC∥BD D.a⊄α,b⊂α,a∥b 解析:选D　由线面平行的判定定理可知,D正确. 2.下列命题正确的是 (　　) A.如果一条直线不在平面内,则这条直线就与这个平面平行 B.过直线外一点,可以作无数个平面与这条直线平行 C.如果一条直线与平面平行,则它与平面内的任何直线平行 D.如果一条直线平行于平面内的无数条直线,则该直线与平面平行 解析:选B　不在平面内的直线还可与平面相交,故A错误;一条直线与平面平行,那么这条直线与平面内的直线平行或异面,故C错误;直线也可能在平面内,故D错误. 3.已知a,b是两条相交直线,a∥α,则b与α的位置关系是 (　　) A.b∥α　　　　　　 B.b与α相交 C.b⊂α D.b∥α或b与α相交 解析:选D　由题意得b∥α和b与α相交都有可能. 题型(一)　直线与平面平行的判定定理及其应用 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 [例1]　如图,S是平行四边形ABCD平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且=. 求证:MN∥平面SBC . 证明:连接AN并延长交BC于点P, 连接SP, 因为AD∥BC,所以=, 又因为=,所以=,所以MN∥SP, 又MN⊄平面SBC,SP⊂平面SBC, 所以MN∥平面SBC. 　　[变式拓展] 　本例中,若M,N分别是SA,BD的中点,试证明:MN∥平面SBC. 证明:如图,连接AC,由平行四边形的性质可知AC必过BD的中点N.在△SAC中,M,N分别为SA,AC的中点,所以MN∥SC,又因为SC⊂平面SBC,MN⊄平面SBC,所以MN∥平面SBC. 　　|思|维|建|模| 1.应用判定定理解题的关键点 利用直线和平面平行的判定定理来证明线面平行,关键是寻找平面内与已知直线平行的直线,常利用平行四边形的性质、三角形与梯形中位线性质、平行线截线段成比例定理、空间平行线的传递性等. 2.应用判定定理证明线面平行的步骤 　　[针对训练] 1.如图,正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE,BD上各有一点P,Q,且AP=DQ. 求证:PQ∥平面BCE. 证明:如图所示,作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接MN. ∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB, ∴AE=BD.又AP=DQ, ∴PE=QB.又PM∥AB∥QN, ∴===.∴=. ∴PM∥QN且PM=QN,即四边形PMNQ为平行四边形.∴PQ∥MN. 又MN⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE, ∴PQ∥平面BCE. 题型(二)　直线与平面平行的性质定理及其应用 [例2]　如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体,求证:截面MNPQ是平行四边形. 证明:因为AB∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB⊂平面ABC, 所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN. 同理AB∥PQ, 所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP. 所以截面MNPQ是平行四边形. 　　[变式拓展] 1.若本例条件不变,求证:=. 证明:由例2知PQ∥AB,∴=. 又QM∥DC,∴=.∴=. 2.若本例中添加条件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四边形MNPQ的面积. 解:由例2知,四边形MNPQ是平行四边形, ∵AB⊥CD,∴PQ⊥QM. ∴四边形MNPQ是矩形. 又BP∶PD=1∶1, ∴PQ=5,QM=4. ∴四边形MNPQ的面积为5×4=20. |思|维|建|模| 　　线面平行的性质和判定经常交替使用,也就是通过线线平行得到线面平行,再通过线面平行得线线平行.利用线面平行的性质定理解题的具体步骤: (1)确定(或寻找)一条直线平行于一个平面; (2)确定(或寻找)过这条直线且与这个平行平面相交的平面; (3)确定交线; (4)由性质定理得出线线平行的结论. 　　[针对训练] 2.如图所示,四边形ABCD是矩形,P∉平面ABCD,过BC作平面BCFE交AP于E,交DP于F. 求证:四边形BCFE是梯形. 证明:∵四边形ABCD为矩形,∴BC∥AD. 又∵AD⊂平面PAD,BC⊄平面PAD, ∴BC∥平面PAD. ∵平面BCFE∩平面PAD=EF,∴BC∥EF. 又∵AD=BC,AD≠EF,∴BC≠EF. ∴四边形BCFE是梯形. 题型(三)　与线面平行有关的计算问题 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例3]　如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是菱形,点E是棱AD的中点,点F在棱SC上,且=λ,SA∥平面BEF.求实数λ的值. 解:如图,连接AC交BE于点G,连接FG,则平面SAC∩平面BEF=FG. ∵SA∥平面BEF,SA⊂平面SAC,平面SAC∩平面EFB=FG,∴SA∥FG.∴=. ∵AE∥BC,∴△GEA∽△GBC. ∴==.∴==, 即SF=SC,∴λ=. |思|维|建|模| 　　对于与平行有关的计算问题,解题的关键是利用线面平行的判定和性质实现平面几何与立体几何的转化,再依据平行关系确定线段的比例关系,然后解决平面图形的计算问题. 　　[针对训练] 3.如图,四边形ABDC是梯形,AB∥CD,且AB∥平面α,M是AC的中点,BD与平面α交于点N,AB=4,CD=6,则MN等于 (　　) A.4.5 B.5 C.5.4 D.5.5 解析:选B　因为AB∥平面α,AB⊂平面ABDC,平面ABDC∩平面α=MN,所以AB∥MN.又M是AC的中点,所以MN是梯形ABDC的中位线.故MN=(AB+CD)=5.故选B. 4.如图,在三棱锥P-ABC中,点D,E分别为棱PB,BC的中点,点G为CD,PE的交点,若点F在线段AC上,且满足AD∥平面PEF,求的值. 解:由于AD∥平面PEF,AD⊂平面ACD,平面ACD∩平面PEF=FG, 根据线面平行的性质定理可知AD∥FG. 因为点D,E分别为棱PB,BC的中点,点G为CD,PE的交点, 所以G是三角形PBC的重心. 所以==. 学科网（北京）股份有限公司 $