10.1.2 复数的几何意义-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第四册教师用书word（人教B版）

10.1.2　复数的几何意义 [教学方式:深化学习课梯度进阶式教学] [课时目标] 1.了解复平面的概念,理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系. 2.理解共轭复数的概念,并会求一个复数的共轭复数. 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法,会求复数的模,并能解决相关的问题. 　　　　　　　　　　　　　　　　 1.复平面的概念 建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.在复平面内,x轴上的点对应的都是实数,因此x轴称为实轴;y轴上的点除了原点外,对应的都是纯虚数,为了方便起见,称y轴为虚轴. 2.共轭复数 一般地,如果两个复数的实部相等,而虚部互为相反数,则称这两个复数互为共轭复数.复数z的共轭复数用表示,因此,当z=a+bi(a,b∈R)时,有=a-bi. 3.复数的几何意义 |微|点|助|解| 　 (1)理解复数与复平面内的点一一对应的注意点 ①复数的实质是有序实数对. ②复平面内的点Z的坐标是(a,b),而不是(a,bi).也就是说,复平面内的虚轴上的单位长度是1,而不是i. ③当a=0,b≠0时,a+bi=0+bi=bi是纯虚数,所以虚轴上的点(0,b)(b≠0)都表示纯虚数. ④复数z=a+bi中的z,书写时应小写;复平面内点Z(a,b)中的Z,书写时应大写. (2)如果Z是复平面内表示复数z=a+bi(a,b∈R)的点,则 ①当a>0,b>0时,点Z位于第一象限; 当a<0,b>0时,点Z位于第二象限; 当a<0,b<0时,点Z位于第三象限; 当a>0,b<0时,点Z位于第四象限. ②当a=0时,点Z在虚轴上; 当b=0时,点Z在实轴上. 4.复数的模 一般地,向量=(a,b)的长度称为复数z=a+bi的模(或绝对值),复数z的模用|z|表示,因此|z|=.当b=0时,|z|==|a|.一般地,两个共轭复数的模相等,即|z|=||. 基础落实训练 1.若=(0,-3),则对应的复数为 (　　) A.0 B.-3 C.-3i D.3 解析:选C　由复数的几何意义可知对应的复数为-3i.故选C. 2.复数z=(a2-2a)+(a2-a-2)i对应的点在虚轴上,则 (　　) A.a≠2或a≠1 B.a≠2或a≠-1 C.a=2或a=0 D.a=0 解析:选C　由题意知a2-2a=0,解得a=0或a=2.故选C. 3.(2024·新课标Ⅱ卷)已知z=-1-i,则|z|= (　　) A.0 B.1 C. D.2 解析:选C　由z=-1-i,得|z|==. 4.若复数z=-2+i,则复数z的共轭复数 等于 (　　) A.-2+i B.-2-i C.2+i D.2-i 解析:选B　因为复数z=-2+i,所以复数z的共轭复数=-2-i. 题型(一)　复数与复平面内点的关系 　　　　　　　　　　　　　　　　 [例1]　实数a取什么值时,复平面内表示复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i的点: (1)位于第二象限; (2)位于实轴上方; (3)位于直线y=x上. 解:根据复数的几何意义可知,复平面内表示复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i的点为Z(a2+a-2,a2-3a+2). (1)由点Z位于第二象限得解得-2<a<1.故满足条件的实数a的取值范围为(-2,1). (2)由点Z位于实轴上方得a2-3a+2>0, 解得a>2或a<1,故满足条件的实数a的取值范围为(-∞,1)∪(2,+∞). (3)由点Z位于直线y=x上得a2+a-2=a2-3a+2,解得a=1.故满足条件的实数a的值为1. 　　|思|维|建|模| 利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤 (1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据. (2)列出方程:此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.　 [提醒]　复数与复平面内的点是一一对应关系,因此复数可以用点来表示. 　　[针对训练] 1.复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于 (　　) A.第一象限 　　B.第二象限 C.第三象限 　　D.第四象限 解析:选C　z=-1-2i在复平面内对应的点为(-1,-2),它位于第三象限. 2.在复平面内,若表示复数z=m2-1+i的点在第四象限,则实数m的取值范围是 (　　) A.(-∞,-1) 　　B.(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) 　　D.(-1,1) 解析:选A　因为表示复数z=m2-1+i的点在第四象限,所以解得m<-1.故选A. 题型(二)　复数与复平面内向量的关系 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 [例2]　(1)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是 (　　) A.4+80i B.8+2i C.2+4i D.4+i (2)向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是 (　　) A.-10+8i B.10-8i C.0 D.10+8i 解析:(1)两个复数对应的点分别为A(6,5),B(-2,3),则C(2,4).故其对应的复数为2+4i. (2)由复数的几何意义,可得=(5,-4),=(-5,4),所以+=(5,-4)+(-5,4)=(0,0),所以+对应的复数为0. 答案:(1)C　(2)C |思|维|建|模| 复数与向量的对应和转化 (1)对应:复数z与向量是一一对应关系. (2)转化:复数的有关问题转化为向量问题求解. 　　[针对训练] 3.在复平面内,把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数是 (　　) A.2 B.-2i C.-3i D.3+i 解析:选B　复数对应的点为(3,-),对应的向量按顺时针方向旋转,则对应的点为(0,-2),所得向量对应的复数为-2i.故选B. 4.已知O是原点,向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是 (　　) A.-5+5i B.-5-5i C.5+5i D.5-5i 解析:选D　由复数的几何意义,得=(2,-3),=(-3,2),=-=(2,-3)-(-3,2)=(5,-5),所以对应的复数是5-5i. 题型(三)　复数的模 [例3]　(1)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|= (　　) A.1　　　B. C.　　　D.2 (2)复数z满足关系式2|z|2-7|z|+3=0,则复数在复平面内对应点的轨迹是 (　　) A.两条直线 B.一条直线和一个圆 C.两个圆 D.一个圆 解析:(1)因为(1+i)x=x+xi=1+yi,所以x=y=1,|x+yi|=|1+i|==,故选B. (2)由2|z|2-7|z|+3=0,解得|z|=或|z|=3.当|z|=时,复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心,半径为的圆.当|z|=3时,复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心,半径为3的圆. 答案:(1)B　(2)C |思|维|建|模| (1)复数z=a+bi模的计算:|z|= . (2)复数模的几何意义:复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离. (3)转化思想:利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件,是一种复数问题实数化思想.　 　　[针对训练] 5.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列选项正确的是 (　　) A.z1>z2 B.z1<z2 C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2| 解析:选D　|z1|=|5+3i|==,|z2|=|5+4i|==.因为<,所以|z1|<|z2|. 6.设z∈C,则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是 (　　) A.5π B.9π C.16π D.25π 解析:选C　满足条件|z|=3的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为3的圆.满足条件|z|=5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为5的圆,则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域为圆环,如图中阴影部分区域所示,在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是π×(52-32)=16π.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $