全册综合检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套练习word（人教B版）

[阶段质量评价]　　　　　　　　　全册综合检测 A卷——基本知能盘查 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知向量a和b的夹角为120°,若|a|=3,a·b=-3,则|b|= (　　) A.1 B. C. D.2 解析:选D　由题可得a·b=|a||b|cos 120°=3×|b|×=-|b|=-3,所以|b|=2. 2.要得到函数y=sin 3x的图象,只需将函数y=sin的图象上的所有点沿x轴 (　　) A.向右平移1个单位 B.向左平移3个单位 C.向左平移1个单位 D.向右平移3个单位 解析:选C　因为y=sin 3x=sin[3(x+1)-3],所以要得到函数y=sin 3x的图象,只需将函数y=sin的图象上的所有点沿x轴向左平移1个单位. 3.已知sin=,则cos= (　　) A.- B.- C.- D. 解析:选A　由sin=cos=cos=,得cos=2cos2-1=-1=-. 4.函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则函数f(x)的单调递增区间为 (　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析:选D　由题图可知,=-=,则T=π,所以π=,得ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ), 因为f(x)的图象过点,所以sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,得φ=+2kπ,k∈Z,因为|φ|<, 所以φ=,所以f(x)=sin,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z, 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). 5.在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称.若sin α=,则cos= (　　) A.-1 B.- C. D. 解析:选B　角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称,由于sin α=,故sin β=,cos α与cos β互为相反数,不妨设cos α=,则cos β=-,cos=cos αcos β+sin αsin β=-+=-. 6.若函数f(x)=sin ωx(ω>0),在区间上单调递增,在区间上单调递减,则ω= (　　) A.1 B. C.2 D.3 解析:选B　依题意函数f(x)=sin ωx,在区间上单调递增,在区间上单调递减, 则即解得ω=. 7.若θ是△ABC的一个内角,且sin θcos θ=-,则sin-sin的值为 (　　) A.- B. C.- D. 解析:选D　已知θ是△ABC的一个内角,则0<θ<π,结合sin θcos θ=-,可知sin θ>0,cos θ<0, sin-sin=sin θ-cos θ,∵sin2θ+cos 2θ=1,∴=sin2θ+cos 2θ-2sin θcos θ=1+= , ∴sin θ-cos θ=或-(舍去).故选D. 8.将函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位后关于原点对称,则函数f(x)在上的最小值为 (　　) A.- B.- C. D. 解析:选A　函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向左平移个单位后,得到函数y=sin=sin的图象,又∵所得图象关于原点对称,可得+φ=kπ,k∈Z, ∴φ=-,f(x)=sin,由题意x∈,得2x-∈, ∴sin∈,∴函数f(x)=sin在区间上的最小值为-. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列函数中周期为π且为奇函数的是 (　　) A.y=sin B.y=cos C.y=tan x D.y=cos 解析:选BCD　A中,y=sin=cos 2x,周期为π且为偶函数,错误;B中,y=cos=-sin 2x,周期为π且为奇函数,正确;C中,y=tan x,周期为π且为奇函数,正确;D中,y=cos=sin 2x,周期为π且为奇函数,正确. 10.△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足=2a,=2a+b,则下列结论正确的是 (　　) A.a为单位向量 B.b为单位向量 C.a⊥b D.(4a+b)⊥ 解析:选AD　∵等边三角形ABC的边长为2, =2a,∴||=2|a|=2,∴|a|=1,故A正确;∵=+=2a+,∴=b, ∴|b|=2,故B错误;由于=2a,=b,∴a与b的夹角为120°,故C错误;又∵(4a+b)·=4a·b+|b|2=4×1×2×+4=0,∴(4a+b)⊥,故D正确. 11.已知函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象关于直线x=对称,且f(x)在上为单调函数,则下述四个结论正确的是 (　　) A.满足条件的ω取值有2个 B.为函数f(x)的一个对称中心 C.f(x)在上单调递增 D.f(x)在(0,π)上有一个极大值点和一个极小值点 解析:选ABC　因为函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象关于直线x=对称,所以ω=+kπ(k∈Z),解得ω=×>0(k∈Z),又f(x)在上为单调函数,所以≤,即ω≤2,所以ω=或ω=2,即f(x)=sinx或f(x)=sin 2x,所以总有f=0,故A、B正确;由f(x)=sinx或f(x)=sin 2x图象知,f(x)在上单调递增,故C正确;当x∈(0,π)时,f(x)=sinx只有一个极大值点,不符合题意,故D不正确.故选ABC. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 12.(5分)已知a=,b=,若a⊥b,则m=　　　　.  解析:由题意,因为a⊥b,所以a·b=2+3m=0, 解得m=-. 答案:- 13.(5分)已知sin 2α=,0<α<,则sin α-cos α=　　　　.  解析:因为0<α<,所以sin α-cos α<0, 所以sin α-cos α=- =-=-=-. 答案:- 14.(5分)已知函数y=g(x)的图象由f(x)=sin 2x的图象向右平移φ(φ>0)个单位得到,这两个函数的部分图象如图所示,则φ=　　　　.  解析:由题意,函数f=sin 2x的图象向右平移φ个单位,得到g=sin(2x-2φ)的图象,结合题图可知,f=g,即sin=,可得-2φ=+2kπ,k∈Z,即φ=-kπ,k∈Z,当k=0时,φ=. 答案: 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知a,b,c是同一平面内的三个向量,其中a=(1,2). (1)若|c|=2,且c∥a,求c的坐标;(6分) (2)若|b|=,且a+2b与2a-b垂直,求a与b的夹角θ.(7分) 解:(1)由a=(1,2),得|a|==, 因为|c|=2,所以|c|=2|a|. 又因为c∥a,所以c=±2a, 所以c=(2,4)或c=(-2,-4). (2)因为a+2b与2a-b垂直, 所以(a+2b)·(2a-b)=0, 即2|a|2+3a·b-2|b|2=0, 将|a|=,|b|=代入,得a·b=-, 所以cos θ==-1, 又由θ∈[0,π],得θ=π,即a与b的夹角为π. 16.(15分)已知=. (1)求tan θ的值;(5分) (2)求的值.(10分) 解:(1)由已知=, 化简得3sin θ-3cos θ=sin θ+cos θ,整理得sin θ=2cos θ,故tan θ=2. (2) ====. 17.(15分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式;(9分) (2)求函数y=f(x)在区间上的值域.(6分) 解:(1)由题图可知A=2, 因为T=2×=,所以ω=2, 所以f(x)=2sin(2x+φ). 因为点在f(x)的图象上, 所以2sin=2,+φ=+2kπ,k∈Z, 即φ=+2kπ,k∈Z,因为|φ|<,所以φ=. 故f(x)=2sin. (2)因为-≤x≤时,所以-≤2x+≤,可得-≤sin≤1,所以-1≤f(x)≤2, 所以函数f(x)在区间上的值域为[-1,2]. 18.(17分)已知函数f=sin++b(a>0,b>0)的图象与x轴相切,且图象上相邻两个最高点之间的距离为. (1)求a,b的值;(9分) (2)求f在上的最大值和最小值.(8分) 解:(1)由题意可知=⇒a=2,又b>0,且图象与x轴相切, 故f=-++b=0⇒b=-. (2)由(1)得函数表达式为f=sin+,x∈⇒4x+∈, 故f=×1+=2, f=×+=-1. 19.(17分)如图所示,在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ,沿由点B到点E的方向前进30 m至点C,测得顶端A的仰角为2θ,再沿刚才的方向继续前进10 m到点D,测得顶端A的仰角为4θ,求θ的大小和建筑物AE的高. 解:∵∠ACD=θ+∠BAC=2θ, ∴∠BAC=θ,∴AC=BC=30 m. 又∠ADE=2θ+∠CAD=4θ,∴∠CAD=2θ. ∴AD=CD=10 m. ∴在Rt△ADE中,AE=AD·sin 4θ=10sin 4θ(m), 在Rt△ACE中,AE=AC·sin 2θ=30sin 2θ(m), ∴10sin 4θ=30sin 2θ, 即20sin 2θcos 2θ=30sin 2θ.∴cos 2θ=. 又2θ∈,∴2θ=.∴θ=. ∴AE=30sin=15(m). ∴θ=,建筑物AE的高为15 m. B卷——高考能力达标 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.角α的终边经过点P(-3,4)且cos α=,则m的值为 (　　) A.6 B.-6 C.3 D.-3 解析:选B　由题意,cos α==,即=,解得m=-6,故选B. 2.已知平面向量a,b满足=2,=1,a与b的夹角为,且(a+λb)⊥(2a-b),则实数λ的值为 (　　) A.-7 B.-3 C.2 D.3 解析:选D　依题意得a·b=2×1×cos=-1,由·=0,得2a2-λb2+a·b=0,即-3λ+9=0,解得λ=3.故选D. 3.已知函数f=Asin在它的一个最小正周期内的图象上,最高点与最低点的距离是5,则A等于 (　　) A.1 B.2 C.2.5 D.4 解析:选B　函数f=Asin的最小正周期T===6. ∵函数f=Asin在它的一个最小正周期内的图象上,最高点与最低点的距离是5,∴=5,解得A=2.故选B. 4.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则φ的值为 (　　) A.- B. C.- D. 解析:选B　由题图,得=-=,所以T=π,由T=,得ω=2,由题图可知A=1,所以f(x)=sin(2x+φ).又因为f=sin=0,-<φ<,所以φ=. 5.已知向量a,b满足|a|=4,b在a上投影的数量为-2,则|a-3b|的最小值为 (　　) A.12 B.10 C. D.2 解析:选B　b在a上投影的数量为-2,即|b|cos <a,b>=-2.∵|b|>0,∴cos <a,b><0,则cos <a,b>∈[-1,0),∴|b|min=2,|a-3b|2=a2-6a·b+9b2=|a|2-6|a||b|cos <a,b>+9|b|2=9|b|2+64,∴|a-3b|min==10.故选B. 6.函数f(x)=sin ωx(ω>0)的图象向右平移个单位得到函数y=g(x)的图象,并且函数g(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减,则实数ω的值为 (　　) A. B. C.2 D. 解析:选C　由题意得g(x)=sin=sin,又因为函数g在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以x=时,g取得最大值,即ω×-=+2kπ,k∈Z,又ω>0,当k=0时,解得ω=2,故选C. 7.已知菱形ABCD的边长为2,∠B=,点P满足=λ,λ∈R,若·=-3,则λ的值为 (　　) A. B.- C. D.- 解析:选A　法一　由题意可得·=2×2cos=2,·=(+)·(-)=(+)·[(-)-]=(+)·[(λ-1)-]=(1-λ) -·+(1-λ)·-=4(1-λ)-2+2(1-λ)-4=-6λ=-3,∴λ=.故选A. 法二　建立如图所示的平面直角坐标系,则B(2,0),C(1,),D(-1,). 令P(x,0),由·=(-3,)·(x-1,-)=-3x+3-3=-3x=-3得x=1.∵=λ,∴λ=.故选A. 8.若sin 2α=,sin=,且α∈,β∈,则α+β的值是 (　　) A. B. C.或 D.或 解析:选A　∵α∈,∴2α∈. ∵sin 2α=,∴2α∈, ∴α∈,cos 2α=-. ∵β∈,∴β-α∈, ∴cos=-, ∴cos=cos=cos 2αcos(β-α)-sin 2αsin=×-×=. 又∵α+β∈,∴α+β=.故选A. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.下列式子中值为正的是 (　　) A.tan 485°sin 　B.sincostan C. 　D.sin 305°cos 460° 解析:选ACD　对于A,485°是第二象限角,所以tan 485°<0,-447°是第四象限角,所以sin(-447°)<0,所以tan 485°sin>0. 对于B,是第三象限角,则sin<0,是第二象限角,则cos<0,是第四象限角,则tan<0,所以sincostan<0. 对于C,188°是第三象限角,则tan 188°>0,-55°是第四象限角,则cos>0,所以>0. 对于D,305°是第四象限角,则sin 305°<0,460°是第二象限角,则cos 460°<0,所以sin 305°cos 460°>0. 10.已知函数f(x)=cos xsin,则下列结论错误的是 (　　) A.f(x)既是奇函数又是周期函数 B.f(x)的图象关于直线x=对称 C.f(x)的最大值为1 D.f(x)在区间上单调递减 解析:选ACD　f(x)=cos xsin=sin xcos x+cos2x=sin 2x+(1+cos 2x)=sin+,所以f(x)不是奇函数,f(x)的最大值不为1,f(x)在区间上不是单调函数,所以A、C、D错误.令2x+=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,当k=0时,x=,故f(x)的图象关于直线x=对称,故选ACD. 11.已知正三角形ABC的边长为6,且==,=,则下列结论正确的是 (　　) A.=+ B.·=24 C.与+的夹角为120° D.·=-9 解析:选AD　=+=+=+=+,故A正确; 同理可得=+=+=+=+, 所以·=·=+·+=+cos 60°+=×62+×6×6×+×62=26,故B错误;如图所示,取DE的中点M,连接BM,则+=2,因为△ABC为等边三角形,所以与的夹角为60°,故C错误; 因为=,所以·=·=·+·+·+·=-3-6+6-6=-9,故D正确.故选AD. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分) 12.(5分)已知向量m=(-1,2),n=(2,λ),若m⊥n,则2m+n与m夹角的余弦值为　　　　.  解析:因为向量m=(-1,2),n=(2,λ),m⊥n,所以有m·n=-2+2λ=0,解得λ=1,所以2m+n=(0,5),所以2m+n与m夹角的余弦值为==. 答案: 13.(5分)函数f=Asin在一个周期内的图象如图所示,则此函数的解析式f=　　　　　　　.  解析:由振幅得A=, 由题图可得T=4×=π, ∴ω==2,∴f(x)=sin(2x+φ). 当x=时,y=-, ∴2×+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=-+2kπ, k∈Z,又|φ|<,∴φ=-, ∴f(x)=sin. 答案:sin 14.(5分)在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=135°,M是△ABC所在平面上的动点,则w=·+·+·的最小值为　　　　.  解析:以A为原点,AC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系,如图所示. 因为AB=2,AC=3,∠BAC=135°, 所以A(0,0),B(-,),C(3,0),设M(x,y), 则=(-x,-y),=(--x,-y),=(3-x,-y), 所以w=·+·+·=x(+x)+y(y-)+(+x)(x-3)+y(y-)+x(x-3)+y2=3x2-4x+3y2-2y-6=3+3-,当x=,y=时,w有最小值-. 答案:- 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知函数f(x)=sin x+3|sin x|. (1)用分段函数形式写出f(x)在x∈[0,2π]的解析式,并画出其图象;(7分) (2)直接写出f(x)(x∈R)的最小正周期及其单调递增区间.(6分) 解:(1)当x∈[0,π]时,sin x≥0,|sin x|=sin x,f(x)=4sin x. 当x∈(π,2π]时,sin x≤0,|sin x|=-sin x, f(x)=-2sin x,所以f(x)= 其图象如图所示. (2)由f(x+2π)=sin(x+2π)+3|sin(x+2π)|=sin x+3|sin x|=f(x), 可知2π为函数f(x)的一个周期, 结合图象可得2π为函数f(x)的最小正周期, (直接写出答案也可以给满分) 由图可得,x∈[0,2π]时,函数f(x)的单调递增区间为,, 又f(x)的最小正周期为2π,故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z). 16.(15分)(2025·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)=cos(2x+φ)(0≤φ<π),f(0)=. (1)求φ;(3分) (2)设函数g(x)=f(x)+f,求g(x)的值域和单调区间.(12分) 解:(1)f(0)=cos φ=,由0≤φ<π,故φ=. (2)由(1)可知f(x)=cos, ∴g(x)=f(x)+f=cos+cos 2x=cos,故g(x)的值域为[-,], 令2kπ≤2x+≤π+2kπ,k∈Z,解得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,即g(x)的单调递减区间为,k∈Z, 令2kπ+π≤2x+≤2π+2kπ,k∈Z,解得π+kπ≤x≤π+kπ,k∈Z,即g(x)的单调递增区间为,k∈Z. 17.(15分)如图,在平行四边形ABCD中,E是AD的中点,点F,G分别在边AB,DC上,且满足=3,=3. (1)当||=||时,求证:EF⊥EG;(7分) (2)若||=,||=2,且·=1,求·+·的值.(8分) 解:(1)证明:因为=-,=+. 又=,=,E是AD的中点. 所以=-,=+. 所以·=·=-. 因为=,所以·=×-=0. 且≠0,≠0,所以⊥,所以EF⊥EG. (2)=-=-,=+=+.因为||=,||=2, 所以=-·+=2,=+·+=4. 两式相减得·=1,所以+=3. 因为·=·=-=1,所以=2,=4. 所以·+·=·+·=-=×2-×4=-. 18.(17分)已知函数f=2cos x(sin x-cos x)+. (1)求f的最小正周期、对称中心和f的单调递减区间;(13分) (2)当x∈时,求函数f的最小值及取得最小值时x的值.(4分) 解:(1)因为f=2sin xcos x-2cos 2x+=sin 2x-2·+=sin 2x-cos 2x=2sin, 所以函数f的最小正周期为T==π. 由2x-=kπ,可得x=+, 函数f的对称中心为. 解不等式+2kπ≤2x-≤+2kπ, 解得kπ+≤x≤kπ+. 因此,函数f的单调递减区间为. (2)当x∈时,≤2x-≤, 当2x-=,即x=时, 函数f取得最小值,最小值为-2. 19.(17分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)+B的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式;(7分) (2)将函数y=f(x)的图象上所有的点向右平移个单位,再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象.当x∈时,方程g(x)-a=0恰有三个不相等的实数根x1,x2,x3(x1<x2<x3),求实数a的取值范围和x1+2x2+x3的值.(10分) 解:(1)由题图得A==2,B==3,又=-=,所以T=π,所以ω==2,所以f(x)=2sin(2x+φ)+3,又因为f(x)过点,所以5=2sin+3,即sin=1,所以+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin+3. (2)由已知得g(x)=2sin+3,当x∈时,x+∈,令t=x+∈,则2sin+3=2sin t+3,令h(t)=2sin t+3,则h=2sin+3=4,h=2sin+3=5,h=2sin+3=1,h=2sin+3=3+,由题意知,y=h(t)的图象与直线y=a有三个不同的交点,所以a∈.因为h(t)-a=0有三个不同的实数根t1,t2,t3(t1<t2<t3),则t1+t2=2×=π,t3=2π+t1,所以t1+2t2+t3=4π,即+2+=4π,所以x1+2x2+x3=. 120 / 121 学科网（北京）股份有限公司 $