第八章 专题微课 平面向量数量积的综合问题 课时跟踪检测-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第三册配套练习word（人教B版）

第八章 专题微课 平面向量数量积的综合问题 [课时跟踪检测]　　　　　　 　　　　　 　　　　　 1.已知△ABC中,AB=4,AC=3,cos A=.若D为边BC上的动点,则·的取值范围是 (　　) A.[4,12] B.[8,16] C.[4,16] D.[2,4] 解析:选C　由题意得=λ+(1-λ),0≤λ≤1,·=·[λ+(1-λ)]=λ+(1-λ)||||cos A=16λ+4-4λ=12λ+4∈[4,16]. 2.设a,b是单位向量,则(a+b)2-a·b的最小值是 (　　) A.-1 B.0 C. D.1 解析:选D　设a,b的夹角为θ∈[0,π],因为|a|=|b|=1,所以a·b=|a||b|cos θ=cos θ∈[-1,1],可得(a+b)2-a·b=a2+b2+a·b=2+cos θ≥1,当且仅当cos θ=-1时,等号成立,所以(a+b)2-a·b的最小值是1. 3.已知向量a,b满足|a|=1,a与b的夹角为,若对一切实数x,|xa+2b|≥|a+b|恒成立,则|b|的取值范围是 (　　) A. B. C.[1,+∞) D.(1,+∞) 解析:选C　因为|a|=1,a与b的夹角为,所以a·b=|b|cos=|b|. 把|xa+2b|≥|a+b|两边平方,整理可得x2+2|b|x+3|b|2-|b|-1≥0, 所以Δ=4|b|2-4(3|b|2-|b|-1)≤0,即(|b|-1)(2|b|+1)≥0,解得|b|≥1. 4.在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,AC与BD相交于点O,过点A作AE⊥BD,则·= (　　) A. B. C. D. 解析:选D　由极化恒等式结论可得·=||2-||2=||2=. 5.设a,b均是非零向量,且|a|=2|b|,若关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,则a与b的夹角的取值范围为 (　　) A. B. C. D. 解析:选B　因为关于x的方程x2+|a|x+a·b=0有实根,所以|a|2-4a·b≥0,所以a·b≤.因为a,b均是非零向量,且|a|=2|b|,所以cos <a,b>=≤==.因为<a,b>∈[0,π],所以<a,b>∈,故选B. 6.对任意非零向量a,b,定义新运算:a×b=.已知非零向量m,n满足|m|>3|n|,且向量m,n的夹角θ∈,若4(m×n)和4(n×m)都是整数,则m×n的值可能是 (　　) A.2 B.3 C.4 D. 解析:选B　由题意可得n×m==(k∈Z).因为|m|>3|n|>0,所以0<<.因为θ∈,所以<sin θ<1.所以0<sin θ<,即0<<,解得0<k<.因为k∈Z,所以k=1.所以n×m==.则=4sin θ,则=<,得<sin θ<1,故m×n==4sin2θ∈,符合该条件的是3. 7.(5分)已知a=(2sin 13°,2sin 77°),|a-b|=1,a与a-b的夹角为,则a·b=　　　　.  解析:因为a=(2sin 13°,2sin 77°),所以|a|===2. 又因为|a-b|=1,向量a与a-b的夹角为, 所以cos====,所以a·b=3. 答案:3 8.(5分)已知A,B(1,4),且=(sin α,cos β),α,β∈,则α+β=　　　　.  解析:由题意知==(sin α,cos β),∴sin α=-,cos β=. 又∵α,β∈,∴α=-,β=或β=-. ∴α+β=或α+β=-. 答案:或- 9.(5分)定义a*b是向量a和b的“向量积”,其长度为|a*b|=|a|·|b|·sin θ,其中θ为向量a和b的夹角.若a=(2,0),b=(1,),则|a*(a+b)|=　　　　.  解析:因为a=(2,0),b=(1,), 所以a+b=(3,).所以|a|=2,|a+b|=2. 所以cos <a,a+b>==. 因为􀎮a,a+b􀎯∈[0,π],所以sin<a,a+b>=. 所以|a*(a+b)|=2×2×=2. 答案:2 10.(5分)如图,在四边形ABCD中,∠B=60°,AB=3,BC=6,且=λ,·=-,则实数λ的值为　　　　,若M,N是线段BC上的动点,且||=1,则· 的最小值为　　　　.  解析:依题意得AD∥BC,∠BAD=120°,由·=cos ∠BAD=-=-,得=1,因此λ==.取MN的中点E,连接DE,则+=2,·=[(+)2-(-)2]=-=-.注意到线段MN在线段BC上运动时,DE的最小值等于点D到直线BC的距离,即AB·sin∠B=,因此-的最小值为-=,即·的最小值为. 答案:　 11.(10分)已知向量a,b满足|a|=1,(a-b)⊥(3a-b),求a与b的夹角的最大值. 解:设a与b的夹角为θ,θ∈[0,π].因为(a-b)⊥(3a-b),所以(a-b)·(3a-b)=0. 整理可得3a2-4a·b+b2=0,即3|a|2-4a·b+|b|2=0.将|a|=1代入3|a|2-4a·b+|b|2=0, 可得3-4|b|cos θ+|b|2=0,整理可得cos θ=+≥2=, 当且仅当=,即|b|=时取等号,故cos θ≥,结合θ∈[0,π],可知θ的最大值为. 12.(15分)如图,在直角三角形ABC中,AC⊥BC,AB=2,D是AB的中点,M是CD上的动点. (1)若M是CD的中点,求·的值;(7分) (2)求(+)·的最小值.(8分) 解:(1)∵CD是Rt△ABC的斜边AB上的中线,∴CD=AB=1,得MD=CD=, ∵=+,=+=-,∴·=(+)·(-)=-=-12=-. (2)设MD=x,则MC=1-x,其中0≤x≤1.∵MD是△MAB的中线,∴+=2,得(+)·=2·=-2||·||=-2x(1-x)=2-,∵0≤x≤1,∴当x=时,(+)·的最小值为-. 13.(15分)如图,扇形AOB的弧的中点为M,动点C,D分别在OA,OB上,且OC=BD,OA=1,∠AOB=120°. (1)若点D是线段OB靠近点O的四等分点,用,表示向量;(5分) (2)求·的取值范围.(10分) 解:(1)由已知可得=,四边形OAMB是菱形,则=+,所以=-=-(+)=--. (2)易知∠DMC=60°,且||=||, 那么只需求MC的最大值与最小值即可. 当MC⊥OA时,MC最小,此时MC=, 则·=××cos 60°=. 当MC与MO重合时,MC最大,此时MC=1, 则·=cos 60°=. 所以·的取值范围为. 14.(15分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知向量a=(-1,2),又点A(8,0),B(n,t),C(ksin θ,t). (1)若⊥a,且||=||,求向量;(6分) (2)若向量与向量a共线,常数k>0,当f(θ)=tsin θ取最大值4时,求·.(9分) 解:(1)=(n-8,t),∵⊥a, ∴8-n+2t=0,又||=||, ∴(n-8)2+t2=5×64,解得t=±8, ∴或 ∴=(24,8)或(-8,-8). (2)=(ksin θ-8,t),∵向量与向量a共线,∴t=-2ksin θ+16,tsin θ=(-2ksin θ+16)sin θ=-2k+.①当k>4时,0<<1,∴sin θ=时,tsin θ取最大值为,由=4,得k=8,此时θ=,=(4,8),∴·=(8,0)·(4,8)=32;②当0<k<4时,>1, ∴sin θ=1时,tsin θ取最大值为-2k+16,由-2k+16=4,得k=6(舍去).综上所述,·=32. 学科网（北京）股份有限公司 $